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1. 已知三点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$均在双曲线$y=\frac{4}{x}$上且$x_1＜x_2＜0＜x_3$，下列各式正确的是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
B
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断三个点纵坐标的大小关系，解题思路分为三步：第一步先根据反比例函数的解析式确定k的正负，明确函数图象所在象限和增减性；第二步根据三个点横坐标的正负，判断各点分别所在的象限，不同象限的点，第一象限的纵坐标恒为正，第三象限的纵坐标恒为负，由此可以先确定y3是最大的；第三步对同处第三象限的两个点，利用反比例函数在第三象限的增减性，结合x1＜x2的条件比较y1和y2的大小，最终得到三者的大小关系。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{4}{x}$，其中$k=4＞0$，
∴函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$x_1＜x_2＜0$，
∴点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$位于第三象限，
∴$y_1＜0$，$y_2＜0$，
又
∵在第三象限内$y$随$x$增大而减小，$x_1＜x_2$，
∴$y_2＜y_1＜0$。
∵$x_3＞0$，
∴点$(x_3,y_3)$位于第一象限，
∴$y_3＞0$。
综上可得：$y_2＜y_1＜y_3$，故正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象、反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用，解题的关键点是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不可直接跨象限用增减性比较函数值大小，需先判断点所在象限，先区分不同象限点的函数值正负，再比较同象限内的函数值大小。
【难度系数】
0.8
要判断三个点纵坐标的大小关系，解题思路分为三步：第一步先根据反比例函数的解析式确定k的正负，明确函数图象所在象限和增减性；第二步根据三个点横坐标的正负，判断各点分别所在的象限，不同象限的点，第一象限的纵坐标恒为正，第三象限的纵坐标恒为负，由此可以先确定y3是最大的；第三步对同处第三象限的两个点，利用反比例函数在第三象限的增减性，结合x1＜x2的条件比较y1和y2的大小，最终得到三者的大小关系。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{4}{x}$，其中$k=4＞0$，
∴函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$x_1＜x_2＜0$，
∴点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$位于第三象限，
∴$y_1＜0$，$y_2＜0$，
又
∵在第三象限内$y$随$x$增大而减小，$x_1＜x_2$，
∴$y_2＜y_1＜0$。
∵$x_3＞0$，
∴点$(x_3,y_3)$位于第一象限，
∴$y_3＞0$。
综上可得：$y_2＜y_1＜y_3$，故正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象、反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用，解题的关键点是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不可直接跨象限用增减性比较函数值大小，需先判断点所在象限，先区分不同象限点的函数值正负，再比较同象限内的函数值大小。
【难度系数】
0.8
2. ★★★(2025·内蒙古中考)已知点$A(m,y_1)$，$B(m+1,y_2)$都在反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的图象上，则下列结论一定正确的是 (
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.当$m＜0$时，$y_1＜y_2$
D.当$m＜-1$时，$y_1＜y_2$
D
)A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.当$m＜0$时，$y_1＜y_2$
D.当$m＜-1$时，$y_1＜y_2$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先先明确反比例函数的基本性质：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，当$k＜0$时，图象位于第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，注意增减性仅在同一象限内成立。本题中两个点的横坐标相差1，需要分情况讨论两个点所在的象限，再结合增减性判断$y_1$和$y_2$的大小，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
已知反比例函数为$y=-\dfrac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，因此该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
选项A、B：未给出$m$的取值范围，点A、B可能在同一象限，也可能在不同象限，$y_1$与$y_2$的大小关系无法确定，因此A、B错误。
选项C：当$m＜0$时，分两种情况：①若$-1＜m＜0$，则$m+1＞0$，此时点A在第二象限（$y_1＞0$），点B在第四象限（$y_2＜0$），可得$y_1＞y_2$，因此结论$y_1＜y_2$不恒成立，C错误。
选项D：当$m＜-1$时，可得$m＜m+1＜0$，两点都位于第二象限，根据同一象限内$y$随$x$增大而增大的性质，由$m＜m+1$可得$y_1＜y_2$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；函数值大小比较
【点评】
本题的易错点是忽略反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，解题时需根据横坐标的取值范围判断点所在的象限，分情况讨论后再比较函数值的大小，避免直接套用增减性出现错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先先明确反比例函数的基本性质：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，当$k＜0$时，图象位于第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，注意增减性仅在同一象限内成立。本题中两个点的横坐标相差1，需要分情况讨论两个点所在的象限，再结合增减性判断$y_1$和$y_2$的大小，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
已知反比例函数为$y=-\dfrac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，因此该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
选项A、B：未给出$m$的取值范围，点A、B可能在同一象限，也可能在不同象限，$y_1$与$y_2$的大小关系无法确定，因此A、B错误。
选项C：当$m＜0$时，分两种情况：①若$-1＜m＜0$，则$m+1＞0$，此时点A在第二象限（$y_1＞0$），点B在第四象限（$y_2＜0$），可得$y_1＞y_2$，因此结论$y_1＜y_2$不恒成立，C错误。
选项D：当$m＜-1$时，可得$m＜m+1＜0$，两点都位于第二象限，根据同一象限内$y$随$x$增大而增大的性质，由$m＜m+1$可得$y_1＜y_2$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；函数值大小比较
【点评】
本题的易错点是忽略反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，解题时需根据横坐标的取值范围判断点所在的象限，分情况讨论后再比较函数值的大小，避免直接套用增减性出现错误。
【难度系数】
0.6
3. ★★★ (2025·重庆期中)如果四个点$M_1(-2,y_1),M_2(-1,y_2),M_3(2,y_3)$和$M_4(1,m^2+1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,那么$y_1,y_2,y_3$之间的大小关系是 (
A.$y_2＜y_1＜y_3$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_2＜y_3＜y_1$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
A
)A.$y_2＜y_1＜y_3$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_2＜y_3＜y_1$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
答案
3. A
解析
【分析】
解题首先需要确定反比例函数中k的符号，我们可以利用点$M_4$在函数图象上的条件，结合平方的非负性判断k的正负；再根据反比例函数的图象性质：k＞0时，图象在一、三象限，同一象限内y随x的增大而减小，分象限比较三个点的函数值大小即可。注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需先区分各点所在象限，再分别比较。
【解析】
∵点$M_4(1,m^2+1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴将$x=1$，$y=m^2+1$代入得：$k=1×(m^2+1)=m^2+1$
∵$m^2≥0$，
∴$m^2+1≥1＞0$，即$k＞0$
∴反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小
∵点$M_1(-2,y_1)$、$M_2(-1,y_2)$的横坐标均为负数，两点都在第三象限
∴$y_1＜0$，$y_2＜0$，又
∵$-2＜-1＜0$，根据增减性可得$y_2＜y_1＜0$
∵点$M_3(2,y_3)$的横坐标为正数，点在第一象限
∴$y_3＞0$
综上可得：$y_2＜y_1＜y_3$，故选A
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质，非负数的性质，反比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数函数值比较的典型题，解题核心是先确定k的符号，再利用反比例函数的增减性比较大小，要特别注意反比例函数的增减性仅在同一象限内适用，跨象限比较时可直接根据象限对应的函数值正负判断，避免误用增减性。
【难度系数】
0.7
解题首先需要确定反比例函数中k的符号，我们可以利用点$M_4$在函数图象上的条件，结合平方的非负性判断k的正负；再根据反比例函数的图象性质：k＞0时，图象在一、三象限，同一象限内y随x的增大而减小，分象限比较三个点的函数值大小即可。注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需先区分各点所在象限，再分别比较。
【解析】
∵点$M_4(1,m^2+1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴将$x=1$，$y=m^2+1$代入得：$k=1×(m^2+1)=m^2+1$
∵$m^2≥0$，
∴$m^2+1≥1＞0$，即$k＞0$
∴反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小
∵点$M_1(-2,y_1)$、$M_2(-1,y_2)$的横坐标均为负数，两点都在第三象限
∴$y_1＜0$，$y_2＜0$，又
∵$-2＜-1＜0$，根据增减性可得$y_2＜y_1＜0$
∵点$M_3(2,y_3)$的横坐标为正数，点在第一象限
∴$y_3＞0$
综上可得：$y_2＜y_1＜y_3$，故选A
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质，非负数的性质，反比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数函数值比较的典型题，解题核心是先确定k的符号，再利用反比例函数的增减性比较大小，要特别注意反比例函数的增减性仅在同一象限内适用，跨象限比较时可直接根据象限对应的函数值正负判断，避免误用增减性。
【难度系数】
0.7
4. （2025·济南期中）已知反比例函数$y=\frac{a-2}{x}(a≠2)$，点$M(x_1,y_1)$和$N(x_2,y_2)$是反比例函数图象上的两点。若对于$x_1=2a,5≤x_2≤6$，都有$|y_1|＞|y_2|$，则$a$的取值范围是（
A.$-\frac{5}{2}＜a＜0$或$2＜a＜\frac{5}{2}$
B.$-3＜a＜\frac{5}{2}$且$a≠2,a≠0$
C.$-3＜a＜-\frac{5}{2}$或$0＜a＜2$
D.$-\frac{5}{2}＜a＜\frac{5}{2}$且$a≠2,a≠0$
D
）A.$-\frac{5}{2}＜a＜0$或$2＜a＜\frac{5}{2}$
B.$-3＜a＜\frac{5}{2}$且$a≠2,a≠0$
C.$-3＜a＜-\frac{5}{2}$或$0＜a＜2$
D.$-\frac{5}{2}＜a＜\frac{5}{2}$且$a≠2,a≠0$
答案
4. D 解析:对于$y=\frac{a-2}{x}(a≠2)$,$a-2$未知,需分类讨论,当$a-2＞0$时,如图①,反比例函数的图象在第一、三象限,此时$a＞2$,$\therefore x_1=2a＞0$.$\because 5≤x_2≤6$,$\therefore$ 点 M 和 N 都在第一象限的图象上,且$y_1$和$y_2$都大于0,$\therefore |y_1|＞|y_2|$,即$y_1＞y_2$,$\therefore x_2＞x_1$.$\because 5≤x_2≤6$,$\therefore 5＞2a$,解得$a＜\frac{5}{2}$,即$2＜a＜\frac{5}{2}$;
当$a-2＜0$时,如图②,反比例函数的图象在第二、四象限,此时$a＜2$,由图象可知,$5≤x_2≤6$时,$y_2＜0$,$\therefore$ 点 N 在第四象限的图象上,对于$x_1$分类讨论,当$0＜a＜2$时,$x_1＞0$,此时点 M 在第四象限的图象上,y随x的增大而增大,$\because |y_1|＞|y_2|$,$y_1＜0$,$y_2＜0$,$\therefore y_2＞y_1$,$\therefore x_2＞x_1$.
$\because 5≤x_2≤6$,$\therefore 5＞2a$,解得$a＜\frac{5}{2}$,即$0＜a＜2$;当$a＜0$时,$x_1＜0$,此时点 M 在第二象限的图象上,则$y_1＞0$,$y_2＜0$,$\therefore |y_1|=y_1$,$|y_2|=-y_2$.
$\because |y_1|＞|y_2|$,$y_1＞-y_2$,取点 N 关于原点的中心对称点$N'$,则点$N'(-x_2,-y_2)$,$\because 5≤x_2≤6$,$\therefore -6≤-x_2≤-5$,此时点 M 和点$N'$都在第二象限的图象上,y 随 x 的增大而增大.$\because y_1＞-y_2$,$\therefore x_1＞-x_2$,$\therefore 2a＞-5$,解得$a＞-\frac{5}{2}$,即$-\frac{5}{2}＜a＜0$;当$a=0$时,$\therefore x_1=2a=0$,此时点 M 不在反比例函数的图象上,舍去.综上,$-\frac{5}{2}＜a＜\frac{5}{2}$且$a≠2$,$a≠0$,故选 D.
解析
【分析】
要解这道题，首先需明确反比例函数性质与系数k的关系，由于k=a-2的正负不确定，需先分k＞0和k＜0两类讨论，再结合自变量$x_1=2a$的正负进一步细分情况。解题时先将$|y_1|＞|y_2|$根据点所在象限转化为函数值的大小关系，再利用反比例函数在对应象限的增减性转化为自变量的大小关系，结合$5≤x_2≤6$的范围推导a的范围，最后排除反比例函数无意义的a值即可得到结果。
【解析】
已知反比例函数为$y=\frac{a-2}{x}(a≠2)$，分情况讨论：
1. 当$a-2＞0$，即$a＞2$时：
反比例函数图象位于第一、三象限，此时$x_1=2a＞0$，结合$5≤x_2≤6$，可知M、N两点都在第一象限的图象上，函数值均为正，且第一象限内y随x的增大而减小。
由$|y_1|＞|y_2|$得$y_1＞y_2$，因此$x_1＜x_2$，要对所有$5≤x_2≤6$成立，需$x_1$小于$x_2$的最小值，即$2a＜5$，解得$a＜\frac{5}{2}$，故此时$2＜a＜\frac{5}{2}$。
2. 当$a-2＜0$，即$a＜2$时：
反比例函数图象位于第二、四象限，$5≤x_2≤6$为正，故点N在第四象限的图象上，$y_2＜0$，再分两种子情况：
（1）当$0＜a＜2$时，$x_1=2a＞0$，点M也在第四象限的图象上，第四象限内y随x的增大而增大。
$|y_1|＞|y_2|$且$y_1、y_2$均为负，故$y_1＜y_2$，因此$x_1＜x_2$，同理得$2a＜5$，解得$a＜\frac{5}{2}$，结合前提得$0＜a＜2$。
（2）当$a＜0$时，$x_1=2a＜0$，点M在第二象限的图象上，$y_1＞0$，此时$|y_1|=y_1$，$|y_2|=-y_2$，不等式转化为$y_1＞-y_2$。
取点N关于原点的对称点$N'(-x_2,-y_2)$，则$N'$在第二象限的图象上，且$-6≤-x_2≤-5$。第二象限内y随x的增大而增大，故$y_1＞-y_2$等价于$x_1＞-x_2$，要对所有$5≤x_2≤6$成立，需$2a＞-5$，解得$a＞-\frac{5}{2}$，结合前提得$-\frac{5}{2}＜a＜0$。
另外，当$a=0$时，$x_1=2a=0$，反比例函数自变量x不能为0，故a=0舍去。
综上，a的取值范围是$-\frac{5}{2}＜a＜\frac{5}{2}$且$a≠2,a≠0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；分类讨论思想；绝对值的性质
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，解题关键是根据反比例系数的符号、自变量的正负合理分类，结合图象将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，同时需注意反比例函数自变量不能为0的隐含条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.5
要解这道题，首先需明确反比例函数性质与系数k的关系，由于k=a-2的正负不确定，需先分k＞0和k＜0两类讨论，再结合自变量$x_1=2a$的正负进一步细分情况。解题时先将$|y_1|＞|y_2|$根据点所在象限转化为函数值的大小关系，再利用反比例函数在对应象限的增减性转化为自变量的大小关系，结合$5≤x_2≤6$的范围推导a的范围，最后排除反比例函数无意义的a值即可得到结果。
【解析】
已知反比例函数为$y=\frac{a-2}{x}(a≠2)$，分情况讨论：
1. 当$a-2＞0$，即$a＞2$时：
反比例函数图象位于第一、三象限，此时$x_1=2a＞0$，结合$5≤x_2≤6$，可知M、N两点都在第一象限的图象上，函数值均为正，且第一象限内y随x的增大而减小。
由$|y_1|＞|y_2|$得$y_1＞y_2$，因此$x_1＜x_2$，要对所有$5≤x_2≤6$成立，需$x_1$小于$x_2$的最小值，即$2a＜5$，解得$a＜\frac{5}{2}$，故此时$2＜a＜\frac{5}{2}$。
2. 当$a-2＜0$，即$a＜2$时：
反比例函数图象位于第二、四象限，$5≤x_2≤6$为正，故点N在第四象限的图象上，$y_2＜0$，再分两种子情况：
（1）当$0＜a＜2$时，$x_1=2a＞0$，点M也在第四象限的图象上，第四象限内y随x的增大而增大。
$|y_1|＞|y_2|$且$y_1、y_2$均为负，故$y_1＜y_2$，因此$x_1＜x_2$，同理得$2a＜5$，解得$a＜\frac{5}{2}$，结合前提得$0＜a＜2$。
（2）当$a＜0$时，$x_1=2a＜0$，点M在第二象限的图象上，$y_1＞0$，此时$|y_1|=y_1$，$|y_2|=-y_2$，不等式转化为$y_1＞-y_2$。
取点N关于原点的对称点$N'(-x_2,-y_2)$，则$N'$在第二象限的图象上，且$-6≤-x_2≤-5$。第二象限内y随x的增大而增大，故$y_1＞-y_2$等价于$x_1＞-x_2$，要对所有$5≤x_2≤6$成立，需$2a＞-5$，解得$a＞-\frac{5}{2}$，结合前提得$-\frac{5}{2}＜a＜0$。
另外，当$a=0$时，$x_1=2a=0$，反比例函数自变量x不能为0，故a=0舍去。
综上，a的取值范围是$-\frac{5}{2}＜a＜\frac{5}{2}$且$a≠2,a≠0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；分类讨论思想；绝对值的性质
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，解题关键是根据反比例系数的符号、自变量的正负合理分类，结合图象将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，同时需注意反比例函数自变量不能为0的隐含条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.5
5. ★★★（2025·淄博期中）已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当自变量$x$满足$-4≤ x≤ -\frac{1}{2}$时，对应的函数值$y$满足$-16≤ y≤ -2$，则$k$的值为
8
。答案
5. 8
解析
【分析】
首先根据x、y的取值范围均为负数，可判断反比例函数的比例系数k为正数，因此函数图象位于第三象限，在第三象限内y随x的增大而减小。由此可知x取最小值时对应y的最大值，x取最大值时对应y的最小值，将对应的x、y值代入函数解析式即可求出k，最后验证结果是否符合题意即可。
【解析】
解：
∵自变量x的取值范围是$-4≤ x≤ -\frac{1}{2}$，对应的函数值y的范围是$-16≤ y≤ -2$，x与y均为负数，
∴$k=xy＞0$，即反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第三象限，在第三象限内y随x的增大而减小。
∴当$x=-4$时，y取最大值$-2$，代入$y=\frac{k}{x}$得：
$-2=\frac{k}{-4}$，解得$k=8$。
验证：当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=\frac{8}{-\frac{1}{2}}=-16$，符合y的最小值为$-16$，故k=8成立。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的图象与性质；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题核心是先根据x、y的符号判断k的正负，再结合增减性确定x与y的对应关系，求出k后注意验证结果是否符合整个取值范围，避免因对应关系搞反出错。
【难度系数】
0.6
首先根据x、y的取值范围均为负数，可判断反比例函数的比例系数k为正数，因此函数图象位于第三象限，在第三象限内y随x的增大而减小。由此可知x取最小值时对应y的最大值，x取最大值时对应y的最小值，将对应的x、y值代入函数解析式即可求出k，最后验证结果是否符合题意即可。
【解析】
解：
∵自变量x的取值范围是$-4≤ x≤ -\frac{1}{2}$，对应的函数值y的范围是$-16≤ y≤ -2$，x与y均为负数，
∴$k=xy＞0$，即反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第三象限，在第三象限内y随x的增大而减小。
∴当$x=-4$时，y取最大值$-2$，代入$y=\frac{k}{x}$得：
$-2=\frac{k}{-4}$，解得$k=8$。
验证：当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=\frac{8}{-\frac{1}{2}}=-16$，符合y的最小值为$-16$，故k=8成立。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的图象与性质；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题核心是先根据x、y的符号判断k的正负，再结合增减性确定x与y的对应关系，求出k后注意验证结果是否符合整个取值范围，避免因对应关系搞反出错。
【难度系数】
0.6
6. ★★★ (2025·南京月考) 下列函数中:①$y=-2x+1$;②$y=3x$;③$xy=0.5$;④$y=\frac{m^2+2m+5}{x}(x＜0)$;⑤$y=-\frac{2}{x}$. y随x的增大而减小的是
①④
.(填序号)答案
6. ①④
解析
【分析】
要判断各函数中y是否随x的增大而减小，需结合不同函数的增减性规则逐一分析：
1. 一次函数$y=kx+b(k≠0)$的增减性由$k$的符号决定：$k＜0$时，在全体实数范围内$y$随$x$增大而减小；$k＞0$时$y$随$x$增大而增大。
2. 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的增减性有前提限制：仅在同一个象限（或$x$的同一连续取值区间）内可判断整体增减性，$k＞0$时每个象限内$y$随$x$增大而减小，$k＜0$时每个象限内$y$随$x$增大而增大，若未限定$x$取值范围，不能直接说$y$随$x$增大而减小。
按照上述规则逐个验证5个函数即可得到答案。
【解析】
逐个分析各函数：
① $y=-2x+1$是一次函数，$k=-2＜0$，在全体实数范围内$y$随$x$的增大而减小，符合要求；
② $y=3x$是一次函数，$k=3＞0$，$y$随$x$的增大而增大，不符合要求；
③ 将$xy=0.5$整理得$y=\frac{0.5}{x}$，是反比例函数，$k=0.5＞0$，但未限定$x$的取值范围，当$x$从负数变为正数时，$y$也从负数变为正数，不满足$y$随$x$增大而减小，不符合要求；
④ 先化简系数：$m^2+2m+5=(m+1)^2+4$，由完全平方的非负性可知$(m+1)^2≥0$，因此$m^2+2m+5≥4＞0$，该函数是反比例函数，且题目限定$x＜0$，即仅在第三象限的单分支上，$k＞0$时该区间内$y$随$x$增大而减小，符合要求；
⑤ $y=-\frac{2}{x}$是反比例函数，$k=-2＜0$，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，不符合要求。
综上，符合条件的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
一次函数的增减性，反比例函数的增减性，完全平方的非负性
【点评】
本题的易错点是忽略反比例函数增减性的适用前提，只有在同一象限或同一连续的$x$取值区间内，才能判断反比例函数的整体增减性，未限定范围时不能直接说$y$随$x$增大而减小或增大。
【难度系数】
0.5
要判断各函数中y是否随x的增大而减小，需结合不同函数的增减性规则逐一分析：
1. 一次函数$y=kx+b(k≠0)$的增减性由$k$的符号决定：$k＜0$时，在全体实数范围内$y$随$x$增大而减小；$k＞0$时$y$随$x$增大而增大。
2. 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的增减性有前提限制：仅在同一个象限（或$x$的同一连续取值区间）内可判断整体增减性，$k＞0$时每个象限内$y$随$x$增大而减小，$k＜0$时每个象限内$y$随$x$增大而增大，若未限定$x$取值范围，不能直接说$y$随$x$增大而减小。
按照上述规则逐个验证5个函数即可得到答案。
【解析】
逐个分析各函数：
① $y=-2x+1$是一次函数，$k=-2＜0$，在全体实数范围内$y$随$x$的增大而减小，符合要求；
② $y=3x$是一次函数，$k=3＞0$，$y$随$x$的增大而增大，不符合要求；
③ 将$xy=0.5$整理得$y=\frac{0.5}{x}$，是反比例函数，$k=0.5＞0$，但未限定$x$的取值范围，当$x$从负数变为正数时，$y$也从负数变为正数，不满足$y$随$x$增大而减小，不符合要求；
④ 先化简系数：$m^2+2m+5=(m+1)^2+4$，由完全平方的非负性可知$(m+1)^2≥0$，因此$m^2+2m+5≥4＞0$，该函数是反比例函数，且题目限定$x＜0$，即仅在第三象限的单分支上，$k＞0$时该区间内$y$随$x$增大而减小，符合要求；
⑤ $y=-\frac{2}{x}$是反比例函数，$k=-2＜0$，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，不符合要求。
综上，符合条件的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
一次函数的增减性，反比例函数的增减性，完全平方的非负性
【点评】
本题的易错点是忽略反比例函数增减性的适用前提，只有在同一象限或同一连续的$x$取值区间内，才能判断反比例函数的整体增减性，未限定范围时不能直接说$y$随$x$增大而减小或增大。
【难度系数】
0.5
7. ★★★已知点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$是反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$图象上的两点.请用“＞”“=”或“＜”填空.
(1)若$x_1=-2$，$x_2=-3$，$k=2$，则$y_1$
(2)若$x_1=2$，$x_2=3$，$k=-2$，则$y_1$
(3)若$x_1=-2$，$x_2=3$，$k＞0$，则$y_1$
(4)若$y_1＜0＜y_2$，$k=m^2+1$，则$x_1$
变式:反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$中，若$k＜0$，$y_1＜y_2$，请讨论$x_1$，$x_2$的大小情况.
(1)若$x_1=-2$，$x_2=-3$，$k=2$，则$y_1$
＜
$y_2$；(2)若$x_1=2$，$x_2=3$，$k=-2$，则$y_1$
＜
$y_2$；(3)若$x_1=-2$，$x_2=3$，$k＞0$，则$y_1$
＜
$y_2$；(4)若$y_1＜0＜y_2$，$k=m^2+1$，则$x_1$
＜
$x_2$.变式:反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$中，若$k＜0$，$y_1＜y_2$，请讨论$x_1$，$x_2$的大小情况.
答案
7. (1)＜ (2)＜ (3)＜ (4)＜
变式:$\because k＜0$,$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大.①当$0＜y_1＜y_2$时,$x_2＞x_1$;②当$y_1＜y_2＜0$时,$x_2＞x_1$;③当$y_1＜0＜y_2$时,$x_2＜x_1$.
变式:$\because k＜0$,$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大.①当$0＜y_1＜y_2$时,$x_2＞x_1$;②当$y_1＜y_2＜0$时,$x_2＞x_1$;③当$y_1＜0＜y_2$时,$x_2＜x_1$.
解析
【分析】
本题考查反比例函数的图象与性质，解题核心是掌握反比例函数的增减性规律，同时注意：反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，若两点在不同象限，需先判断函数值或自变量的正负再比较大小。解题时先根据k的正负确定函数图象所在象限，再判断两点是否同象限，同象限用增减性比较，跨象限利用正负性比较；变式需分两点同象限、不同象限三类情况讨论。
【解析】
原题填空：
(1) 当$k=2＞0$时，反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
已知$x_1=-2$，$x_2=-3$均为负数，两点同属第三象限，且$-2＞-3$，因此$y_1＜y_2$。
(2) 当$k=-2＜0$时，反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
已知$x_1=2$，$x_2=3$均为正数，两点同属第四象限，且$2＜3$，因此$y_1＜y_2$。
(3) 当$k＞0$时，反比例函数图象在第一、三象限：$x_1=-2＜0$，对应点在第三象限，故$y_1＜0$；$x_2=3＞0$，对应点在第一象限，故$y_2＞0$，因此$y_1＜y_2$。
(4) 因为$m^2≥0$，所以$k=m^2+1＞0$，反比例函数图象在第一、三象限：$y_1＜0$说明点$A$在第三象限，故$x_1＜0$；$y_2＞0$说明点$B$在第一象限，故$x_2＞0$，因此$x_1＜x_2$。
变式解答：
$\because k＜0$，$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大，分三类讨论：
① 当$0＜y_1＜y_2$时，两点均在第四象限，由增减性得$x_2＞x_1$；
② 当$y_1＜y_2＜0$时，两点均在第二象限，由增减性得$x_2＞x_1$；
③ 当$y_1＜0＜y_2$时，点$A$在第四象限（$x_1＞0$），点$B$在第二象限（$x_2＜0$），故$x_2＜x_1$。
【答案】
(1)＜ (2)＜ (3)＜ (4)＜
变式:$\because k＜0$,$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大.①当$0＜y_1＜y_2$时,$x_2＞x_1$;②当$y_1＜y_2＜0$时,$x_2＞x_1$;③当$y_1＜0＜y_2$时,$x_2＜x_1$.
【知识点】
反比例函数的增减性；反比例函数象限特征；分类讨论思想
【点评】
本题围绕反比例函数的增减性设置问题，易错点是忽略“增减性仅在同一象限内成立”的前提，跨象限比较大小时直接套用增减性导致错误，变式的分类讨论能有效训练思维的严谨性，巩固反比例函数的核心性质。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数的图象与性质，解题核心是掌握反比例函数的增减性规律，同时注意：反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，若两点在不同象限，需先判断函数值或自变量的正负再比较大小。解题时先根据k的正负确定函数图象所在象限，再判断两点是否同象限，同象限用增减性比较，跨象限利用正负性比较；变式需分两点同象限、不同象限三类情况讨论。
【解析】
原题填空：
(1) 当$k=2＞0$时，反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
已知$x_1=-2$，$x_2=-3$均为负数，两点同属第三象限，且$-2＞-3$，因此$y_1＜y_2$。
(2) 当$k=-2＜0$时，反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
已知$x_1=2$，$x_2=3$均为正数，两点同属第四象限，且$2＜3$，因此$y_1＜y_2$。
(3) 当$k＞0$时，反比例函数图象在第一、三象限：$x_1=-2＜0$，对应点在第三象限，故$y_1＜0$；$x_2=3＞0$，对应点在第一象限，故$y_2＞0$，因此$y_1＜y_2$。
(4) 因为$m^2≥0$，所以$k=m^2+1＞0$，反比例函数图象在第一、三象限：$y_1＜0$说明点$A$在第三象限，故$x_1＜0$；$y_2＞0$说明点$B$在第一象限，故$x_2＞0$，因此$x_1＜x_2$。
变式解答：
$\because k＜0$，$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大，分三类讨论：
① 当$0＜y_1＜y_2$时，两点均在第四象限，由增减性得$x_2＞x_1$；
② 当$y_1＜y_2＜0$时，两点均在第二象限，由增减性得$x_2＞x_1$；
③ 当$y_1＜0＜y_2$时，点$A$在第四象限（$x_1＞0$），点$B$在第二象限（$x_2＜0$），故$x_2＜x_1$。
【答案】
(1)＜ (2)＜ (3)＜ (4)＜
变式:$\because k＜0$,$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大.①当$0＜y_1＜y_2$时,$x_2＞x_1$;②当$y_1＜y_2＜0$时,$x_2＞x_1$;③当$y_1＜0＜y_2$时,$x_2＜x_1$.
【知识点】
反比例函数的增减性；反比例函数象限特征；分类讨论思想
【点评】
本题围绕反比例函数的增减性设置问题，易错点是忽略“增减性仅在同一象限内成立”的前提，跨象限比较大小时直接套用增减性导致错误，变式的分类讨论能有效训练思维的严谨性，巩固反比例函数的核心性质。
【难度系数】
0.7
