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1. 多项式$3x - 4xy$各项的公因式是(
A.$x$
B.$y$
C.$3x$
D.$xy$
A
).A.$x$
B.$y$
C.$3x$
D.$xy$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要明确公因式的定义：多项式中每一项都含有的相同因式叫做公因式。找公因式可遵循两个步骤：①确定系数部分：取各项系数的最大公约数；②确定字母部分：取各项都包含的相同字母，且相同字母取次数最低的幂次。结合本题多项式的两个项按上述步骤逐一分析，即可得到公因式。
【解析】
多项式$3x - 4xy$包含两项：$3x$和$-4xy$。
1. 分析系数：3和-4的最大公约数是1；
2. 分析字母：两项都含有的字母是$x$，且$x$的次数均为1次；字母$y$仅在第二项出现，第一项不含$y$，不属于公共字母。
因此两项的公共因式为$x$，即该多项式各项的公因式是$x$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定
【点评】
本题是基础题，主要考查公因式的找法，熟练掌握找公因式的两步规则是解题核心，需注意只有所有项共同含有的字母才能作为公因式的组成部分。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确公因式的定义：多项式中每一项都含有的相同因式叫做公因式。找公因式可遵循两个步骤：①确定系数部分：取各项系数的最大公约数；②确定字母部分：取各项都包含的相同字母，且相同字母取次数最低的幂次。结合本题多项式的两个项按上述步骤逐一分析，即可得到公因式。
【解析】
多项式$3x - 4xy$包含两项：$3x$和$-4xy$。
1. 分析系数：3和-4的最大公约数是1；
2. 分析字母：两项都含有的字母是$x$，且$x$的次数均为1次；字母$y$仅在第二项出现，第一项不含$y$，不属于公共字母。
因此两项的公共因式为$x$，即该多项式各项的公因式是$x$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定
【点评】
本题是基础题，主要考查公因式的找法，熟练掌握找公因式的两步规则是解题核心，需注意只有所有项共同含有的字母才能作为公因式的组成部分。
【难度系数】
0.9
2. 对于式子：① $xz + 2xy = x(z + 2y)$，② $(x+3)(x-1)=x^2 + 2x - 3$ 从左到右的变形，下列结论正确的是(
A.都是因式分解
B.都是整式乘法
C.①是因式分解，②是整式乘法
D.①是整式乘法，②是因式分解
C
).A.都是因式分解
B.都是整式乘法
C.①是因式分解，②是整式乘法
D.①是整式乘法，②是因式分解
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确因式分解和整式乘法的核心定义，二者是互逆的变形：因式分解的本质是“和差化积”，即把多项式转化为几个整式相乘的形式；整式乘法的本质是“积化和差”，即把几个整式相乘的形式转化为多项式的形式。接下来分别对应两个式子判断：先看式子①的变形方向是不是和差变积；再看式子②的变形方向是不是积变和差，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
首先明确两个概念：
1. 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式；
2. 整式乘法：把几个整式相乘的形式展开，化成一个多项式的形式，二者为互逆变形。
对式子①分析：左边是多项式$xz + 2xy$（和的形式），右边是两个整式$x$和$(z+2y)$的乘积（积的形式），属于和差化积，因此①是因式分解。
对式子②分析：左边是两个整式$(x+3)$和$(x-1)$的乘积（积的形式），右边是多项式$x^2 + 2x - 3$（和的形式），属于积化和差，因此②是整式乘法。
综上，①是因式分解，②是整式乘法，故选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法的定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心是区分因式分解和整式乘法的变形方向，只要牢记两个概念的本质特征，就能快速判断得出答案，是对基础概念掌握程度的直接考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确因式分解和整式乘法的核心定义，二者是互逆的变形：因式分解的本质是“和差化积”，即把多项式转化为几个整式相乘的形式；整式乘法的本质是“积化和差”，即把几个整式相乘的形式转化为多项式的形式。接下来分别对应两个式子判断：先看式子①的变形方向是不是和差变积；再看式子②的变形方向是不是积变和差，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
首先明确两个概念：
1. 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式；
2. 整式乘法：把几个整式相乘的形式展开，化成一个多项式的形式，二者为互逆变形。
对式子①分析：左边是多项式$xz + 2xy$（和的形式），右边是两个整式$x$和$(z+2y)$的乘积（积的形式），属于和差化积，因此①是因式分解。
对式子②分析：左边是两个整式$(x+3)$和$(x-1)$的乘积（积的形式），右边是多项式$x^2 + 2x - 3$（和的形式），属于积化和差，因此②是整式乘法。
综上，①是因式分解，②是整式乘法，故选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法的定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心是区分因式分解和整式乘法的变形方向，只要牢记两个概念的本质特征，就能快速判断得出答案，是对基础概念掌握程度的直接考查。
【难度系数】
0.8
3. 下列多项式中，可以提取公因式的是(
A.$a^2 + b^2$
B.$2m - 5mn$
C.$x^2 - 2x + 1$
D.$ab - cd$
B
).A.$a^2 + b^2$
B.$2m - 5mn$
C.$x^2 - 2x + 1$
D.$ab - cd$
答案
B
解析
【分析】
本题考查公因式的识别，解题思路是先明确公因式的定义：多项式各项都含有的公共因式叫做公因式，再逐一判断每个选项的多项式各项是否存在公共因式即可。判断公因式时先看各项系数的最大公约数，再看是否有相同的字母，相同字母取次数最低的，两者结合就能确认是否存在公因式。
【解析】
首先明确公因式的定义：一个多项式中每一项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
对各选项逐一分析：
A. 多项式$a^2 + b^2$的两项没有公共的因式，无法提取公因式，不符合题意；
B. 多项式$2m - 5mn$的两项都含有公因式$m$，可提取公因式得$m(2-5n)$，符合题意；
C. 多项式$x^2 - 2x + 1$的三项没有公共的因式，无法提取公因式，不符合题意；
D. 多项式$ab - cd$的两项没有公共的因式，无法提取公因式，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的识别，提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对公因式概念的理解，熟练掌握公因式的判定方法即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查公因式的识别，解题思路是先明确公因式的定义：多项式各项都含有的公共因式叫做公因式，再逐一判断每个选项的多项式各项是否存在公共因式即可。判断公因式时先看各项系数的最大公约数，再看是否有相同的字母，相同字母取次数最低的，两者结合就能确认是否存在公因式。
【解析】
首先明确公因式的定义：一个多项式中每一项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
对各选项逐一分析：
A. 多项式$a^2 + b^2$的两项没有公共的因式，无法提取公因式，不符合题意；
B. 多项式$2m - 5mn$的两项都含有公因式$m$，可提取公因式得$m(2-5n)$，符合题意；
C. 多项式$x^2 - 2x + 1$的三项没有公共的因式，无法提取公因式，不符合题意；
D. 多项式$ab - cd$的两项没有公共的因式，无法提取公因式，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的识别，提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对公因式概念的理解，熟练掌握公因式的判定方法即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
4. 分解因式：
(1)$ax+bx$；
(2)$3x^2 - 2x$；
(3)$mn - m^3$。
(1)$ax+bx$；
(2)$3x^2 - 2x$；
(3)$mn - m^3$。
答案
4. 解：(1)原式=$x(a+b)$。(2)原式=$x(3x-2)$。(3)原式=$m(n-m^2)$。
解析
【分析】
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式，公因式由两部分组成：一是各项系数的最大公约数，二是各项都含有的相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式；第二步将公因式提取出来，把多项式写成公因式乘剩余部分的形式即可。
具体到每道题：(1)中两项ax、bx的公因式是x，提取后剩余部分为a、b；(2)中两项$3x^2$、$-2x$的公因式是x，提取后剩余部分为3x、-2；(3)中两项mn、$-m^3$的公因式是m，提取后剩余部分为n、$-m^2$。
【解析】
(1) 确定公因式为x，提取公因式：
原式$=x· a + x· b = x(a+b)$
(2) 确定公因式为x，提取公因式：
原式$=x· 3x + x· (-2) = x(3x-2)$
(3) 确定公因式为m，提取公因式：
原式$=m· n + m· (-m^2) = m(n-m^2)$
【答案】
(1)$x(a+b)$；(2)$x(3x-2)$；(3)$m(n-m^2)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，核心是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后要注意核对括号内的项数与原多项式项数一致，避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.9
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式，公因式由两部分组成：一是各项系数的最大公约数，二是各项都含有的相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式；第二步将公因式提取出来，把多项式写成公因式乘剩余部分的形式即可。
具体到每道题：(1)中两项ax、bx的公因式是x，提取后剩余部分为a、b；(2)中两项$3x^2$、$-2x$的公因式是x，提取后剩余部分为3x、-2；(3)中两项mn、$-m^3$的公因式是m，提取后剩余部分为n、$-m^2$。
【解析】
(1) 确定公因式为x，提取公因式：
原式$=x· a + x· b = x(a+b)$
(2) 确定公因式为x，提取公因式：
原式$=x· 3x + x· (-2) = x(3x-2)$
(3) 确定公因式为m，提取公因式：
原式$=m· n + m· (-m^2) = m(n-m^2)$
【答案】
(1)$x(a+b)$；(2)$x(3x-2)$；(3)$m(n-m^2)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，核心是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后要注意核对括号内的项数与原多项式项数一致，避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.9
5. 分解因式：$2a^3b + 2a + a^2c$
答案
5. 解：原式=$a(2a^2b+2+ac)$。
解析
【分析】
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，本题中系数2、2、1的最大公约数是1；再找各项都含有的相同字母，观察可得三项都含有字母a，且a的最低次数是1，因此公因式为a。第二步提取公因式a，将原多项式的每一项都除以公因式a，把得到的结果作为括号内的因式即可，最后注意检查是否有漏项。
【解析】
首先确定多项式$2a^3b + 2a + a^2c$的公因式为$a$，提取公因式$a$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a· 2a^2b + a· 2 + a· ac\\&=a(2a^2b + 2 + ac)\end{aligned}$
【答案】
$a(2a^2b+2+ac)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题，重点考查提公因式法的应用，解题时要准确找出公因式，提取公因式后注意不要漏写原多项式中提取公因式后剩下的项，完成分解后可通过单项式乘多项式的运算逆向检验结果是否正确。
【难度系数】
0.9
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，本题中系数2、2、1的最大公约数是1；再找各项都含有的相同字母，观察可得三项都含有字母a，且a的最低次数是1，因此公因式为a。第二步提取公因式a，将原多项式的每一项都除以公因式a，把得到的结果作为括号内的因式即可，最后注意检查是否有漏项。
【解析】
首先确定多项式$2a^3b + 2a + a^2c$的公因式为$a$，提取公因式$a$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a· 2a^2b + a· 2 + a· ac\\&=a(2a^2b + 2 + ac)\end{aligned}$
【答案】
$a(2a^2b+2+ac)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题，重点考查提公因式法的应用，解题时要准确找出公因式，提取公因式后注意不要漏写原多项式中提取公因式后剩下的项，完成分解后可通过单项式乘多项式的运算逆向检验结果是否正确。
【难度系数】
0.9
6. (教材改编)利用因式分解计算：
(1)$2026^2 - 2026×26$；
(2)$2026×2.6 - 2026×2.4 + 0.8×2026$。
(1)$2026^2 - 2026×26$；
(2)$2026×2.6 - 2026×2.4 + 0.8×2026$。
答案
6. 解：(1)原式=$2\ 026×(2\ 026-26)=2\ 026×2\ 000=4\ 052\ 000$。
(2)原式=$2\ 026×(2.6-2.4+0.8)=2\ 026×1=2\ 026$。
(2)原式=$2\ 026×(2.6-2.4+0.8)=2\ 026×1=2\ 026$。
解析
【分析】
这两道题是利用提公因式法因式分解简化运算的基础题，解题核心是先识别算式各项的公共因数，提取公因式后先算括号内的加减，再算乘法，可大幅降低计算量。第(1)问两项均含公因式2026，提取后括号内的差为整千数，便于后续计算；第(2)问三项均含公因式2026，提取后括号内的运算结果为1，可直接得到最终结果。
【解析】
(1) 提取公因式2026：
原式=$2026×(2026-26)$
先计算括号内减法：$2026-26=2000$
再计算乘法：$2026×2000=4052000$
(2) 提取公因式2026：
原式=$2026×(2.6-2.4+0.8)$
先计算括号内加减：$2.6-2.4+0.8=1$
再计算乘法：$2026×1=2026$
【答案】
(1)$4052000$；(2)$2026$
【知识点】
提公因式法，因式分解的简便应用
【点评】
本题是因式分解用于简便运算的典型题型，解题关键是准确找出各项的公因式，通过提取公因式将复杂的乘法运算转化为简单口算，有效规避了直接计算多步乘法的易错问题。
【难度系数】
0.9
这两道题是利用提公因式法因式分解简化运算的基础题，解题核心是先识别算式各项的公共因数，提取公因式后先算括号内的加减，再算乘法，可大幅降低计算量。第(1)问两项均含公因式2026，提取后括号内的差为整千数，便于后续计算；第(2)问三项均含公因式2026，提取后括号内的运算结果为1，可直接得到最终结果。
【解析】
(1) 提取公因式2026：
原式=$2026×(2026-26)$
先计算括号内减法：$2026-26=2000$
再计算乘法：$2026×2000=4052000$
(2) 提取公因式2026：
原式=$2026×(2.6-2.4+0.8)$
先计算括号内加减：$2.6-2.4+0.8=1$
再计算乘法：$2026×1=2026$
【答案】
(1)$4052000$；(2)$2026$
【知识点】
提公因式法，因式分解的简便应用
【点评】
本题是因式分解用于简便运算的典型题型，解题关键是准确找出各项的公因式，通过提取公因式将复杂的乘法运算转化为简单口算，有效规避了直接计算多步乘法的易错问题。
【难度系数】
0.9
7. 求证：$81^7 - 27^9 - 9^{13}$必能被15整除.
答案
7. 证明：$\because 81^7 - 27^9 - 9^{13} = (3^4)^7 - (3^3)^9 - (3^2)^{13} = 3^{28} - 3^{27} - 3^{26} = 3^{26}×(9-3-1) = 3^{26}×5 = 3^{25}×15$，$\therefore 81^7 - 27^9 - 9^{13}$必能被15整除。
解析
【分析】
要证明一个整式能被15整除，只需证明该整式可以写成15与某个整数的乘积形式即可。观察原式的三个项，底数81、27、9都是3的正整数次幂，因此第一步先将三个项都转化为以3为底的幂，再找出各项的公因式，提取公因式后化简，判断化简结果是否含有因数15即可。
【解析】
证明：
$\begin{aligned}81^7 - 27^9 - 9^{13}&=(3^4)^7 - (3^3)^9 - (3^2)^{13}\\&=3^{28} - 3^{27} - 3^{26}\\&=3^{26}×(3^2 - 3^1 - 1)\\&=3^{26}×(9-3-1)\\&=3^{26}×5\\&=3^{25}×15\end{aligned}$
由于$3^{25}$是正整数，因此$81^7 - 27^9 - 9^{13}$是15的整数倍，必能被15整除。
【答案】
$81^7 - 27^9 - 9^{13}$必能被15整除。
【知识点】
幂的乘方运算、提公因式法因式分解、整除判定
【点评】
本题是因式分解在整除判定中的典型应用，解题核心是先统一幂的底数，再提取公因式变形，使式子出现目标因数15，侧重对基础运算能力和转化思想的考察。
【难度系数】
0.7
要证明一个整式能被15整除，只需证明该整式可以写成15与某个整数的乘积形式即可。观察原式的三个项，底数81、27、9都是3的正整数次幂，因此第一步先将三个项都转化为以3为底的幂，再找出各项的公因式，提取公因式后化简，判断化简结果是否含有因数15即可。
【解析】
证明：
$\begin{aligned}81^7 - 27^9 - 9^{13}&=(3^4)^7 - (3^3)^9 - (3^2)^{13}\\&=3^{28} - 3^{27} - 3^{26}\\&=3^{26}×(3^2 - 3^1 - 1)\\&=3^{26}×(9-3-1)\\&=3^{26}×5\\&=3^{25}×15\end{aligned}$
由于$3^{25}$是正整数，因此$81^7 - 27^9 - 9^{13}$是15的整数倍，必能被15整除。
【答案】
$81^7 - 27^9 - 9^{13}$必能被15整除。
【知识点】
幂的乘方运算、提公因式法因式分解、整除判定
【点评】
本题是因式分解在整除判定中的典型应用，解题核心是先统一幂的底数，再提取公因式变形，使式子出现目标因数15，侧重对基础运算能力和转化思想的考察。
【难度系数】
0.7
