1. 把一个多项式化成几个整式的的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的，也叫作把这个多项式分解因式。

1. 乘积；因式分解

【分析】
本题考查因式分解的基础定义，解题时需回忆对应概念：因式分解的本质是对多项式的变形，变形后的结果必须是几个整式相乘的形式，结合定义表述即可得出答案。
【解析】
根据因式分解的定义明确规定：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因此第一个空缺处依次对应填写即可。
【答案】
乘积；因式分解
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题属于基础概念识记题，直接考查对核心概念的掌握情况，是学习后续各类因式分解方法的前置基础，需准确记忆概念核心特征。
【难度系数】
0.9

3. 多项式 $ pa + pb + pc $ 的各项都有一个公共的因式，我们把因式 $ p $ 叫作这个多项式各项的。

$p$；公因式

【分析】
解题时先观察多项式$pa+pb+pc$的每一项构成，将各项拆分为两个因式相乘的形式，先找出三项共同包含的因式即为公共因式；再回忆公因式的定义，就能对应填出第二个空。
【解析】
1. 拆分多项式各项的因式：$pa=p· a$，$pb=p· b$，$pc=p· c$；
2. 找公共因式：观察可得三个项都含有相同的因式$p$，因此第一个空填$p$；
3. 根据公因式的定义：多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式，因此第二个空填公因式。
【答案】
$p$；公因式
【知识点】
公因式的识别、公因式的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对公因式相关概念的掌握，只要能正确拆分多项式各项的因式、牢记公因式的定义就能轻松作答。
【难度系数】
0.9

4. 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作。

提公因式法

【分析】
本题考查因式分解相关的基础定义，解题时只需将题干描述的分解因式的操作过程，和教材中学过的因式分解方法的定义做匹配即可。题干明确说明该分解方法是先提取多项式各项的公因式，再将多项式改写为公因式与另一个因式的乘积，完全对应提公因式法的定义，直接填写对应方法名称即可。
【解析】
根据提公因式法的定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法，因此横线处应填写提公因式法。
【答案】
提公因式法
【知识点】
1.提公因式法 2.因式分解定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重考查对教材基础定义的掌握程度，熟记相关概念即可快速答对。
【难度系数】
0.9

例1 下列从左到右的式子变形，是因式分解的是().

A.$a^2 - 2a + 1 = a(a - 2) + 1$
B.$a(a - b) = a^2 - ab$
C.$2a^2 - a = a(2a - 1)$
D.$(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$

C

【分析】
要判断式子变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心定义：因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式的变形。解题时可按两个标准逐一排查选项：①变形后的结果必须是几个整式的乘积，若结果含有加减运算则不符合要求；②因式分解与整式乘法是互逆过程，若变形是将乘积转化为和差形式，则属于整式乘法，不是因式分解。同时需验证变形为恒等变形，左右两边相等。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这类变形叫做因式分解。
对各选项逐一分析：
选项A：等号右边为$a(a - 2) + 1$，包含加法运算，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解；
选项B：等号左边是整式乘积的形式，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
选项C：等号左边是多项式$2a^2 - a$，右边是两个整式$a$和$(2a-1)$的乘积，且左右两边恒等，符合因式分解的定义；
选项D：等号左边是整式乘积的形式，右边是多项式，属于整式乘法运算，不属于因式分解。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是因式分解的基础概念题，核心考查对因式分解定义的理解，解题关键是牢记因式分解“结果为整式乘积”的核心特征，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

例2 在括号里填入恰当的式子.
(1)$5x - 10y = 5(\quad\quad)$;
(2)$4a^2 + ab = (\quad\quad)(4a + b)$;
(3)$3x^3 + 2x^2 - x = x(\quad\quad)$;
(4)$2.99×0.01 + 2.99^2 = (\quad\quad)×3$.

(1)$x-2y$ (2)$a$ (3)$3x^2+2x-1$ (4)$2.99$

【分析】
这几道题均考查提公因式法的应用，解题核心是先确定式子中各项的公因式，再用原式的每一项除以公因式，得到提取公因式后剩余的因式即可。解题思路如下：若题目已经给出公因式，直接做除法运算求剩余因式；若题目给出剩余因式，观察原式和剩余因式的公共部分即可得到公因式；简便计算类题型先找到各项共有的因数作为公因式，提取后计算括号内的和，对比等式右侧就能得到答案。
【解析】
(1) 先确定公因式为5，将多项式每一项分别除以5：$5x÷5=x$，$-10y÷5=-2y$，因此括号内填$x-2y$。
(2) 观察多项式$4a^2+ab$，两项的公因式为$a$，提取$a$后剩余的因式为$4a+b$，因此括号内填$a$。
(3) 先确定公因式为$x$，将多项式每一项分别除以$x$：$3x^3÷ x=3x^2$，$2x^2÷ x=2x$，$-x÷ x=-1$，因此括号内填$3x^2+2x-1$。
(4) 观察式子发现两项都有公因式$2.99$，提取公因式可得：$2.99×0.01 + 2.99^2=2.99×(0.01+2.99)=2.99×3$，因此括号内填$2.99$。
【答案】
(1)$x-2y$ (2)$a$ (3)$3x^2+2x-1$ (4)$2.99$
【知识点】
提公因式法；公因式确定；简便运算
【点评】
本题是提公因式法的基础训练，既考查因式分解的基本操作，也涉及因式分解在简便计算中的应用，熟练掌握公因式的确定方法是解题关键，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.85

1. 把$9n^3 + 6n + 2n^2$分解因式时，提出的公因式是().

A.3
B.$n$
C.$3n$
D.$n^2$

B

【分析】
要确定多项式的公因式，需遵循两个步骤：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者的乘积就是要提取的公因式。我们按照这个规则对给定多项式的各项逐一分析即可得出结果。
【解析】
1. 分析系数：多项式$9n^3 + 6n + 2n^2$的三项系数分别是9、6、2，三个数的最大公约数为1；
2. 分析字母部分：三项都含有的字母是$n$，$n$在三项中的次数分别为3、1、2，最低次数是1，对应$n^1=n$；
3. 组合得到公因式：$1× n=n$，因此提出的公因式是$n$。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定，提公因式法分解因式
【点评】
本题属于基础题，核心考查公因式的判定规则，熟练掌握“系数取各项最大公约数、相同字母取最低次幂”的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. (教材改编)分解因式：
(1)$x - 3xy$；
(2)$7m^2 + 2mn$；
(3)$x^2y - 2xy + y^2$。

2. 解：(1)原式=$x(1-3y)$。(2)原式=$m(7m+2n)$。(3)原式=$y(x^2-2x+y)$。

【分析】
这三道题均为提公因式法分解因式的基础题，解题思路分为两步：①先确定多项式各项的公因式：公因式取各项系数的最大公约数，以及各项都含有的相同字母的最低次幂；②提取公因式，将原多项式的每一项除以公因式，得到的结果作为括号内的多项式，注意原项和公因式相同时，相除后得到的1不能省略。
具体到每个小题：(1)中两项都含公因式x，提取后即可得到结果；(2)中两项都含公因式m，提取即可；(3)中三项都含公因式y，提取后整理即可。
【解析】
(1) 观察多项式$x - 3xy$，两项的公因式为$x$，提取公因式得：
原式=$x·1 - x·3y = x(1-3y)$
(2) 观察多项式$7m^2 + 2mn$，两项的公因式为$m$，提取公因式得：
原式=$m·7m + m·2n = m(7m+2n)$
(3) 观察多项式$x^2y - 2xy + y^2$，三项的公因式为$y$，提取公因式得：
原式=$y· x^2 - y· 2x + y· y = y(x^2-2x+y)$
【答案】
(1)$x(1-3y)$；(2)$m(7m+2n)$；(3)$y(x^2-2x+y)$
【知识点】
1.提公因式法因式分解
2.公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的入门基础题，主要考查提公因式法的基本应用，解题时要注意准确找出公因式，提取公因式后剩余的项不能漏写，尤其是单独成项的公因式提取后剩余的1不要遗漏，掌握好该方法是学习后续复杂因式分解的前提。
【难度系数】
0.8