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例1 把多项式$3ab^2 - 12ab$分解因式时，提出的公因式是(
A.$ab$
B.$3ab$
C.$3ab^2$
D.$12ab$
B
).A.$ab$
B.$3ab$
C.$3ab^2$
D.$12ab$
答案
B
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需遵循两个核心步骤：①确定系数：取多项式各项系数绝对值的最大公约数作为公因式的系数；②确定字母部分：取各项都包含的相同字母，且相同字母取次数最低的幂次，最后将系数与字母部分相乘即为公因式。本题只需按上述步骤分析多项式$3ab^2 - 12ab$的两项，就能推导出公因式。
【解析】
第一步：确定公因式的系数，多项式两项的系数分别为3和-12，两者绝对值的最大公约数是3；
第二步：确定公因式的字母部分，两项都含有的相同字母为a和b，其中a的次数均为1，b的次数分别为2和1，取最低次幂1；
第三步：将系数与字母部分相乘，得到公因式为$3× a× b=3ab$，因此选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查公因式的确定规则，熟练掌握“系数取最大公约数、同字母取最低次幂”的判断方法，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
要确定多项式的公因式，需遵循两个核心步骤：①确定系数：取多项式各项系数绝对值的最大公约数作为公因式的系数；②确定字母部分：取各项都包含的相同字母，且相同字母取次数最低的幂次，最后将系数与字母部分相乘即为公因式。本题只需按上述步骤分析多项式$3ab^2 - 12ab$的两项，就能推导出公因式。
【解析】
第一步：确定公因式的系数，多项式两项的系数分别为3和-12，两者绝对值的最大公约数是3；
第二步：确定公因式的字母部分，两项都含有的相同字母为a和b，其中a的次数均为1，b的次数分别为2和1，取最低次幂1；
第三步：将系数与字母部分相乘，得到公因式为$3× a× b=3ab$，因此选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查公因式的确定规则，熟练掌握“系数取最大公约数、同字母取最低次幂”的判断方法，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
例2 分解因式：$18a^2x^2 - 9a^4x^3$。
答案
解：原式$=9a^2x^2 · 2 - 9a^2x^2 · a^2x = 9a^2x^2(2-a^2x)$。
解析
【分析】
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：首先观察多项式的两项，确定用提公因式法求解。第一步找公因式：先计算各项系数18和9的最大公约数为9，再找两项都含有的相同字母a、x，相同字母取最低次幂，可得a的最低次幂为a²，x的最低次幂为x²，因此公因式为9a²x²。第二步将各项拆分为公因式与另一个因式的乘积，再提取公因式，把剩余部分放在括号内，最后确认剩余部分没有公因式即可完成分解。
【解析】
解：原式$=9a^2x^2 · 2 - 9a^2x^2 · a^2x = 9a^2x^2(2-a^2x)$
【答案】
$9a^2x^2(2-a^2x)$
【知识点】
提公因式法，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题，解题关键是正确确定多项式的公因式，提取公因式时注意不要漏项，提取后需检查剩余部分是否还有公因式，确保分解彻底。
【难度系数】
0.9
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：首先观察多项式的两项，确定用提公因式法求解。第一步找公因式：先计算各项系数18和9的最大公约数为9，再找两项都含有的相同字母a、x，相同字母取最低次幂，可得a的最低次幂为a²，x的最低次幂为x²，因此公因式为9a²x²。第二步将各项拆分为公因式与另一个因式的乘积，再提取公因式，把剩余部分放在括号内，最后确认剩余部分没有公因式即可完成分解。
【解析】
解：原式$=9a^2x^2 · 2 - 9a^2x^2 · a^2x = 9a^2x^2(2-a^2x)$
【答案】
$9a^2x^2(2-a^2x)$
【知识点】
提公因式法，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题，解题关键是正确确定多项式的公因式，提取公因式时注意不要漏项，提取后需检查剩余部分是否还有公因式，确保分解彻底。
【难度系数】
0.9
例3 $x^2 + xy$ 和 $2x + 2y$ 的公因式是（
A.$x$
B.$xy$
C.$x^2 + y$
D.$x + y$
D
）。A.$x$
B.$xy$
C.$x^2 + y$
D.$x + y$
答案
D
解析
【分析】
要确定两个多项式的公因式，核心思路是先把两个多项式分别进行因式分解，再找到两个分解结果中共同包含的因式即可。首先观察第一个多项式$x^2+xy$，两项都含有公因式$x$，提取$x$即可完成分解；再观察第二个多项式$2x+2y$，两项都含有公因式$2$，提取$2$即可完成分解，最后对比两个分解式找公共因式即可。
【解析】
解：先分别对两个多项式因式分解：
1. 对$x^2 + xy$提取公因式$x$，可得：$x^2 + xy = x(x + y)$
2. 对$2x + 2y$提取公因式$2$，可得：$2x + 2y = 2(x + y)$
对比两个分解后的式子，共同含有的因式为$x + y$，因此两个多项式的公因式是$x + y$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的概念；提公因式法因式分解
【点评】
本题考查公因式的识别，解题关键是熟练运用提公因式法对多项式进行分解，再从中找到公共因式，掌握提公因式分解的方法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要确定两个多项式的公因式，核心思路是先把两个多项式分别进行因式分解，再找到两个分解结果中共同包含的因式即可。首先观察第一个多项式$x^2+xy$，两项都含有公因式$x$，提取$x$即可完成分解；再观察第二个多项式$2x+2y$，两项都含有公因式$2$，提取$2$即可完成分解，最后对比两个分解式找公共因式即可。
【解析】
解：先分别对两个多项式因式分解：
1. 对$x^2 + xy$提取公因式$x$，可得：$x^2 + xy = x(x + y)$
2. 对$2x + 2y$提取公因式$2$，可得：$2x + 2y = 2(x + y)$
对比两个分解后的式子，共同含有的因式为$x + y$，因此两个多项式的公因式是$x + y$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的概念；提公因式法因式分解
【点评】
本题考查公因式的识别，解题关键是熟练运用提公因式法对多项式进行分解，再从中找到公共因式，掌握提公因式分解的方法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
例4 分解因式：$a(6x-4y)+b(3x-2y).$
答案
解：原式$=(3x-2y) · 2a + (3x-2y) · b=(3x-2y)(2a+b)$。
解析
【分析】
拿到这道因式分解题，首先观察两项的结构，发现第一项含因式(6x-4y)，第二项含因式(3x-2y)，二者存在倍数关系：$6x-4y=2(3x-2y)$，变形后两项就有了相同的公因式$(3x-2y)$，接下来按照提公因式法的步骤，提取公因式后合并剩余因式即可完成分解。
【解析】
先对第一项的多项式因式变形，再提取公因式：
原式$=2a(3x-2y)+b(3x-2y)$
$=(3x-2y)(2a+b)$
【答案】
$(3x-2y)(2a+b)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的识别
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是先观察多项式中各因式的关联，找到隐藏的公因式，提取公因式时注意不要漏乘系数，保证分解结果正确。
【难度系数】
0.8
拿到这道因式分解题，首先观察两项的结构，发现第一项含因式(6x-4y)，第二项含因式(3x-2y)，二者存在倍数关系：$6x-4y=2(3x-2y)$，变形后两项就有了相同的公因式$(3x-2y)$，接下来按照提公因式法的步骤，提取公因式后合并剩余因式即可完成分解。
【解析】
先对第一项的多项式因式变形，再提取公因式：
原式$=2a(3x-2y)+b(3x-2y)$
$=(3x-2y)(2a+b)$
【答案】
$(3x-2y)(2a+b)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的识别
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是先观察多项式中各因式的关联，找到隐藏的公因式，提取公因式时注意不要漏乘系数，保证分解结果正确。
【难度系数】
0.8
1. 把多项式$2ab - 4ab^2$分解因式，已知其中一个因式是$2ab$，则另一个因式是(
A.$2b - 1$
B.$1 - 2b$
C.$2b + 1$
D.$-2b - 1$
B
).A.$2b - 1$
B.$1 - 2b$
C.$2b + 1$
D.$-2b - 1$
答案
B
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路如下：首先明确因式分解的本质是将多项式转化为几个整式乘积的形式，已知其中一个因式为2ab，那么另一个因式可通过原多项式除以已知因式得到。计算时要分别对多项式的每一项做除法运算，重点注意系数、字母次数以及符号的计算，避免出错。
【解析】
根据题意，另一个因式为原多项式除以已知因式2ab，计算过程如下：
$\begin{split}&(2ab - 4ab^2) ÷ 2ab \\=&2ab÷2ab + (-4ab^2)÷2ab \\=&1 - 2b\end{split}$
因此另一个因式是$1-2b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法，整式除法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查提公因式法分解因式的基本操作，解题时需注意提取公因式后剩余项的符号，避免因忽略负号导致选错答案。
【难度系数】
0.8
本题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路如下：首先明确因式分解的本质是将多项式转化为几个整式乘积的形式，已知其中一个因式为2ab，那么另一个因式可通过原多项式除以已知因式得到。计算时要分别对多项式的每一项做除法运算，重点注意系数、字母次数以及符号的计算，避免出错。
【解析】
根据题意，另一个因式为原多项式除以已知因式2ab，计算过程如下：
$\begin{split}&(2ab - 4ab^2) ÷ 2ab \\=&2ab÷2ab + (-4ab^2)÷2ab \\=&1 - 2b\end{split}$
因此另一个因式是$1-2b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法，整式除法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查提公因式法分解因式的基本操作，解题时需注意提取公因式后剩余项的符号，避免因忽略负号导致选错答案。
【难度系数】
0.8
2. 已知$x + y = 3$，$xy = 2$，则$x^2y + xy^2$的值为
6
。答案
6
解析
【分析】
首先观察所求代数式$x^2y + xy^2$的结构，发现两项均含有公因式$xy$，因此可先通过提公因式法对其因式分解；分解后所得式子刚好是已知条件中$xy$与$x+y$的乘积，无需单独求解$x$、$y$的具体数值，直接将已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
第一步：对所求代数式提公因式因式分解：
$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$
第二步：将已知$x + y = 3$，$xy = 2$代入分解后的式子：
原式$= 2×3 = 6$
【答案】
6
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是观察代数式的结构特征，通过因式分解将所求式子转化为含已知条件的形式，利用整体代入思想简化计算，避免单独求解未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.9
首先观察所求代数式$x^2y + xy^2$的结构，发现两项均含有公因式$xy$，因此可先通过提公因式法对其因式分解；分解后所得式子刚好是已知条件中$xy$与$x+y$的乘积，无需单独求解$x$、$y$的具体数值，直接将已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
第一步：对所求代数式提公因式因式分解：
$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$
第二步：将已知$x + y = 3$，$xy = 2$代入分解后的式子：
原式$= 2×3 = 6$
【答案】
6
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是观察代数式的结构特征，通过因式分解将所求式子转化为含已知条件的形式，利用整体代入思想简化计算，避免单独求解未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.9
3. 分解因式：$-9m^2n^3 + 27mn^2 - 18m^3n.$
答案
解：原式$=-9mn(mn^2-3n+2m^2)$。
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式，解题思路可按以下步骤推进：第一步先观察多项式首项符号，首项为负时优先提取负号，可简化后续计算、避免符号错误；第二步确定公因式：先找各项系数绝对值的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，二者结合就是公因式；第三步用多项式的每一项除以公因式，将所得的商作为括号内的因式，最终写成公因式乘括号内多项式的形式即可。
【解析】
解：首先确定该多项式的公因式：
1. 首项系数为负，先提取负号；
2. 各项系数绝对值9、27、18的最大公因数是9；
3. 各项都含有的字母为m、n，m的最低次幂是1次，n的最低次幂是1次，因此公因式为$-9mn$。
对原式提取公因式$-9mn$：
$\begin{aligned}原式&=-9mn· mn^2 + (-9mn)· (-3n) + (-9mn)· 2m^2\\&=-9mn(mn^2 - 3n + 2m^2)\end{aligned}$
【答案】
$-9mn(mn^2-3n+2m^2)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确找出公因式，需特别注意首项为负时要先提取负号，提取公因式后要检查括号内的项是否存在漏项、符号错误的问题，保证分解结果正确。
【难度系数】
0.8
本题考查提公因式法分解因式，解题思路可按以下步骤推进：第一步先观察多项式首项符号，首项为负时优先提取负号，可简化后续计算、避免符号错误；第二步确定公因式：先找各项系数绝对值的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，二者结合就是公因式；第三步用多项式的每一项除以公因式，将所得的商作为括号内的因式，最终写成公因式乘括号内多项式的形式即可。
【解析】
解：首先确定该多项式的公因式：
1. 首项系数为负，先提取负号；
2. 各项系数绝对值9、27、18的最大公因数是9；
3. 各项都含有的字母为m、n，m的最低次幂是1次，n的最低次幂是1次，因此公因式为$-9mn$。
对原式提取公因式$-9mn$：
$\begin{aligned}原式&=-9mn· mn^2 + (-9mn)· (-3n) + (-9mn)· 2m^2\\&=-9mn(mn^2 - 3n + 2m^2)\end{aligned}$
【答案】
$-9mn(mn^2-3n+2m^2)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确找出公因式，需特别注意首项为负时要先提取负号，提取公因式后要检查括号内的项是否存在漏项、符号错误的问题，保证分解结果正确。
【难度系数】
0.8
4.（教材改编）先分解因式，再求值：$(x - 2)^2 - 6(2 - x)$，其中$x = -2$。
答案
解：原式$=(x-2)^2+6(x-2)=(x-2)(x-2+6)=(x-2)(x+4)$。当$x=-2$时，原式$=(-2-2)×(-2+4)=(-4)×2=-8$。
解析
【分析】
解题时先观察原式的结构，发现式子中含有的$(x-2)$和$(2-x)$互为相反数，首先将$(2-x)$变形为$-(x-2)$，统一公因式，再提取公因式$(x-2)$完成因式分解，最后将$x=-2$代入分解后的式子计算即可，这样计算比直接代入原式更简便，也能减少计算错误。
【解析】
先对原式变形，将$2-x$转化为$-(x-2)$：
原式$=(x-2)^2 - 6×[-(x-2)]=(x-2)^2 + 6(x-2)$
提取公因式$(x-2)$，合并剩余项：
$=(x-2)(x-2 + 6)=(x-2)(x+4)$
将$x=-2$代入化简后的式子求值：
当$x=-2$时，
原式$=(-2-2)×(-2+4)$
$=(-4)×2$
$=-8$
【答案】
$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；整式化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确识别隐含的公因式，注意处理互为相反数的项时符号不要出错，分解因式后代入求值能有效降低计算量。
【难度系数】
0.8
解题时先观察原式的结构，发现式子中含有的$(x-2)$和$(2-x)$互为相反数，首先将$(2-x)$变形为$-(x-2)$，统一公因式，再提取公因式$(x-2)$完成因式分解，最后将$x=-2$代入分解后的式子计算即可，这样计算比直接代入原式更简便，也能减少计算错误。
【解析】
先对原式变形，将$2-x$转化为$-(x-2)$：
原式$=(x-2)^2 - 6×[-(x-2)]=(x-2)^2 + 6(x-2)$
提取公因式$(x-2)$，合并剩余项：
$=(x-2)(x-2 + 6)=(x-2)(x+4)$
将$x=-2$代入化简后的式子求值：
当$x=-2$时，
原式$=(-2-2)×(-2+4)$
$=(-4)×2$
$=-8$
【答案】
$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；整式化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确识别隐含的公因式，注意处理互为相反数的项时符号不要出错，分解因式后代入求值能有效降低计算量。
【难度系数】
0.8
