把实际问题转化为数学模型后，若题中有直角三角形信息，则直接应用求解；若题中不能直接求出线段的长，则考虑添加辅助线，构造三角形求解。

勾股定理；直角

例1 如图,有一个绳索拉直的木马秋千,绳索AB的长度为5 m,将它沿水平方向向左推动3 m(即DE=3 m),且绳索保持拉直的状态,则此时木马上升的高度为().

(例1题图)
A. 1 m B. $\sqrt{2}$ m
C. 2 m D. 3 m
答案:A
【解析】如图,过点C作$CF ⊥ AB$于点F.
∵ 绳索$AB=5\ \mathrm{m}, DE=3\ \mathrm{m}$,
∴ $AB=AC=5\ \mathrm{m}, CF=DE=3\ \mathrm{m}$.
∵ $AF^2 + CF^2 = AC^2$,
∴ $AF = \sqrt{AC^2 - CF^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4(\mathrm{m})$.
∴ $BF = AB - AF = 5 - 4 = 1(\mathrm{m})$.
∴ 此时木马上升的高度为1 m.
故选A.

方法点拨 本题主要考查勾股定理的应用,添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.

解：过点$C$作$CF ⊥ AB$于点$F$。
∵ 绳索$AB=5\ \mathrm{m}$，$DE=3\ \mathrm{m}$，
∴ $AB=AC=5\ \mathrm{m}$，$CF=DE=3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACF$中，由勾股定理得$AF^2 + CF^2 = AC^2$，
∴ $AF = \sqrt{AC^2 - CF^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4(\mathrm{m})$。
∴ $BF = AB - AF = 5 - 4 = 1(\mathrm{m})$，
即此时木马上升的高度为$1\ \mathrm{m}$。
故选：A。

例2 若直角三角形的两边长分别为$a$、$b$，且满足$(a-3)^2 + |b-4| = 0$，则该直角三角形的第三条边长的平方为().
A. 25
B. 7
C. 25或7
D. 25或16
答案:C
【解析】∵ $(a-3)^2 + |b-4| = 0$，
∴ $a-3=0, b-4=0$.
∴ $a=3, b=4$.
当$b=4$为直角边时，第三条边长的平方为$3^2 +4^2=25$.
当$b=4$为斜边时，第三条边长的平方为$4^2 -3^2=7$.
故选C.
【方法点拨】首先利用非负数的性质得$a=3$，$b=4$，再分$b=4$为直角边或$b=4$为斜边两种情况，分别利用勾股定理计算即可.本题主要考查非负数的性质、勾股定理等知识，利用分类讨论思想是解题的关键.

解：
∵ $(a-3)^2 ≥ 0$，$|b-4| ≥ 0$，且$(a-3)^2 + |b-4| = 0$，
∴ $a-3=0$，$b-4=0$，
解得 $a=3$，$b=4$。
分两种情况计算：
当$b=4$为直角边时，第三条边为斜边，其平方为$3^2 + 4^2 = 25$；
当$b=4$为斜边时，第三条边为直角边，其平方为$4^2 - 3^2 = 7$。
综上，该直角三角形的第三条边长的平方为25或7，故选C。