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例1 如图，在平面直角坐标系中，点$P(4,4)$是一个光源。木杆$AB$两端的坐标分别为$(0,2),(3,2)$。则木杆$AB$在$x$轴上的投影长为（
A.7
B.6
C.5
D.3
B
）A.7
B.6
C.5
D.3
答案
B
解析
【分析】
本题属于中心投影类问题，解题思路如下：1. 明确木杆AB在x轴上的投影是光线PA、PB延长后与x轴的两个交点之间的线段；2. 利用待定系数法分别求出直线PA、PB的函数解析式；3. 分别令两个解析式的y=0，求出对应x的值，即可得到两个交点的横坐标，两个横坐标的差就是投影的长度。
【解析】
延长PA、PB分别交x轴于点M、N，MN的长度即为木杆AB在x轴上的投影长。
① 求直线PA的解析式：
设直线PA的解析式为$y=k_1x+b_1$，将$A(0,2)$、$P(4,4)$代入得：
当$x=0$时，$y=2$，故$b_1=2$；
将$P(4,4)$、$b_1=2$代入得：$4=4k_1+2$，解得$k_1=\frac{1}{2}$。
因此直线PA的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
令$y=0$，则$0=\frac{1}{2}x+2$，解得$x=-4$，即点M坐标为$(-4,0)$。
② 求直线PB的解析式：
设直线PB的解析式为$y=k_2x+b_2$，将$B(3,2)$、$P(4,4)$代入得：
$\begin{cases}2=3k_2+b_2 \\4=4k_2+b_2 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$k_2=2$，将$k_2=2$代入$2=3k_2+b_2$，解得$b_2=-4$。
因此直线PB的解析式为$y=2x-4$。
令$y=0$，则$0=2x-4$，解得$x=2$，即点N坐标为$(2,0)$。
③ 计算投影长：
$MN=2-(-4)=6$，即木杆AB在x轴上的投影长为6。
【答案】
B
【知识点】
中心投影，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题将中心投影的实际原理与一次函数知识结合，解题核心是明确投影线段的形成原因，熟练运用待定系数法求函数解析式并计算与坐标轴的交点，是几何与代数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
本题属于中心投影类问题，解题思路如下：1. 明确木杆AB在x轴上的投影是光线PA、PB延长后与x轴的两个交点之间的线段；2. 利用待定系数法分别求出直线PA、PB的函数解析式；3. 分别令两个解析式的y=0，求出对应x的值，即可得到两个交点的横坐标，两个横坐标的差就是投影的长度。
【解析】
延长PA、PB分别交x轴于点M、N，MN的长度即为木杆AB在x轴上的投影长。
① 求直线PA的解析式：
设直线PA的解析式为$y=k_1x+b_1$，将$A(0,2)$、$P(4,4)$代入得：
当$x=0$时，$y=2$，故$b_1=2$；
将$P(4,4)$、$b_1=2$代入得：$4=4k_1+2$，解得$k_1=\frac{1}{2}$。
因此直线PA的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
令$y=0$，则$0=\frac{1}{2}x+2$，解得$x=-4$，即点M坐标为$(-4,0)$。
② 求直线PB的解析式：
设直线PB的解析式为$y=k_2x+b_2$，将$B(3,2)$、$P(4,4)$代入得：
$\begin{cases}2=3k_2+b_2 \\4=4k_2+b_2 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$k_2=2$，将$k_2=2$代入$2=3k_2+b_2$，解得$b_2=-4$。
因此直线PB的解析式为$y=2x-4$。
令$y=0$，则$0=2x-4$，解得$x=2$，即点N坐标为$(2,0)$。
③ 计算投影长：
$MN=2-(-4)=6$，即木杆AB在x轴上的投影长为6。
【答案】
B
【知识点】
中心投影，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题将中心投影的实际原理与一次函数知识结合，解题核心是明确投影线段的形成原因，熟练运用待定系数法求函数解析式并计算与坐标轴的交点，是几何与代数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
变式1 如图，晚上聪聪在路灯下散步，从A处走向B处的过程中，他在地上的影子（
A.逐渐变短
B.先变短再变长
C.逐渐变长
D.先变长再变短
B
）A.逐渐变短
B.先变短再变长
C.逐渐变长
D.先变长再变短
答案
B
解析
【分析】
这是一道中心投影的实际应用题，解题思路如下：首先明确路灯属于点光源，其照射形成的投影是中心投影，等高的物体垂直地面放置时，离点光源越近影子越短，离点光源越远影子越长。再分析行走过程：聪聪从A到B，会先逐渐靠近路灯，到达路灯正下方后再逐渐远离路灯，结合影长和到点光源距离的关系，就能判断影子的变化趋势。
【解析】
路灯的光线形成的投影为中心投影，中心投影的影长规律为：等高物体垂直地面放置时，物体到点光源的距离越小，影子越短；距离越大，影子越长。
聪聪从A处走向B处的过程分为两个阶段：
1. 从A到路灯正下方：此阶段聪聪与路灯的距离逐渐减小，因此影子逐渐变短，走到路灯正下方时影子最短，几乎与脚底重合；
2. 从路灯正下方到B处：此阶段聪聪与路灯的距离逐渐增大，因此影子逐渐变长。
综上，整个过程中他的影子先变短再变长。
【答案】
B
【知识点】
中心投影；影长变化规律
【点评】
本题结合生活场景考查中心投影的应用，解题核心是掌握中心投影下影长随物体到点光源距离的变化规律，结合行走路径分析即可，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
这是一道中心投影的实际应用题，解题思路如下：首先明确路灯属于点光源，其照射形成的投影是中心投影，等高的物体垂直地面放置时，离点光源越近影子越短，离点光源越远影子越长。再分析行走过程：聪聪从A到B，会先逐渐靠近路灯，到达路灯正下方后再逐渐远离路灯，结合影长和到点光源距离的关系，就能判断影子的变化趋势。
【解析】
路灯的光线形成的投影为中心投影，中心投影的影长规律为：等高物体垂直地面放置时，物体到点光源的距离越小，影子越短；距离越大，影子越长。
聪聪从A处走向B处的过程分为两个阶段：
1. 从A到路灯正下方：此阶段聪聪与路灯的距离逐渐减小，因此影子逐渐变短，走到路灯正下方时影子最短，几乎与脚底重合；
2. 从路灯正下方到B处：此阶段聪聪与路灯的距离逐渐增大，因此影子逐渐变长。
综上，整个过程中他的影子先变短再变长。
【答案】
B
【知识点】
中心投影；影长变化规律
【点评】
本题结合生活场景考查中心投影的应用，解题核心是掌握中心投影下影长随物体到点光源距离的变化规律，结合行走路径分析即可，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
变式2 如图，甲楼AB高16米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是2：3，已知两楼相距BD为12米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE=
8
米。答案
8
解析
【分析】
这是平行投影的实际应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造矩形，将所求的DE长度转化为矩形的边FB的长度；再利用同一时刻物高与影长的固定比例，求出甲楼高于乙楼影子顶端的部分AF的长度；最后用甲楼总高度减去AF的长度即可得到DE的长度。
【解析】
解：过点E作$EF⊥ AB$，垂足为F。
$\because AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$，
$\therefore$ 四边形EFBD是矩形，
$\therefore EF=BD=12$米，$DE=FB$。
已知冬至中午12时物高与影长的比是$2:3$，即同一时刻竖直高度与水平影长的比为$\frac{2}{3}$，可得：
$\frac{AF}{EF}=\frac{2}{3}$
将$EF=12$代入得：
$AF=\frac{2}{3}×12=8$（米）
$\therefore FB=AB-AF=16-8=8$（米）
$\therefore DE=FB=8$米。
【答案】
8
【知识点】
平行投影的性质，矩形的性质，比例计算
【点评】
本题是投影知识在实际生活中的典型应用，难点在于通过作辅助线将实际问题转化为几何计算问题，掌握同一时刻物高与影长成比例的性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
这是平行投影的实际应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造矩形，将所求的DE长度转化为矩形的边FB的长度；再利用同一时刻物高与影长的固定比例，求出甲楼高于乙楼影子顶端的部分AF的长度；最后用甲楼总高度减去AF的长度即可得到DE的长度。
【解析】
解：过点E作$EF⊥ AB$，垂足为F。
$\because AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$，
$\therefore$ 四边形EFBD是矩形，
$\therefore EF=BD=12$米，$DE=FB$。
已知冬至中午12时物高与影长的比是$2:3$，即同一时刻竖直高度与水平影长的比为$\frac{2}{3}$，可得：
$\frac{AF}{EF}=\frac{2}{3}$
将$EF=12$代入得：
$AF=\frac{2}{3}×12=8$（米）
$\therefore FB=AB-AF=16-8=8$（米）
$\therefore DE=FB=8$米。
【答案】
8
【知识点】
平行投影的性质，矩形的性质，比例计算
【点评】
本题是投影知识在实际生活中的典型应用，难点在于通过作辅助线将实际问题转化为几何计算问题，掌握同一时刻物高与影长成比例的性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
例2 如图，这是某包装盒的简易图，由一个正方体和一个三棱柱组成，则它的俯视图为（
B
）答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆俯视图的定义：俯视图是从几何体的正上方观察得到的平面图形，规则是看得见的轮廓线用实线绘制，被遮挡看不见的轮廓线用虚线绘制。我们可以将这个组合体拆分为下方的正方体和上方的三棱柱两部分分别分析：首先正方体从正上方看是正方形，再分析上方三棱柱的投影，最后将两部分的投影组合，和选项比对即可得到答案。
【解析】
1. 明确俯视图的观察规则：从物体正上方观察，可见棱用实线表示，不可见棱用虚线表示。
2. 下方正方体从正上方观察，外轮廓为正方形。
3. 上方三棱柱从正上方观察时，其可见的棱在正方形内部的投影为一条实线，不存在被遮挡的棱，因此无需绘制虚线。
4. 比对各选项，只有B选项符合上述特征。
【答案】
B
【知识点】
1. 俯视图的定义
2. 简单组合体的三视图
【点评】
本题考查三视图中俯视图的识别，属于基础题型，解题的核心是牢记俯视图的观察方向，以及实线、虚线的使用规则。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆俯视图的定义：俯视图是从几何体的正上方观察得到的平面图形，规则是看得见的轮廓线用实线绘制，被遮挡看不见的轮廓线用虚线绘制。我们可以将这个组合体拆分为下方的正方体和上方的三棱柱两部分分别分析：首先正方体从正上方看是正方形，再分析上方三棱柱的投影，最后将两部分的投影组合，和选项比对即可得到答案。
【解析】
1. 明确俯视图的观察规则：从物体正上方观察，可见棱用实线表示，不可见棱用虚线表示。
2. 下方正方体从正上方观察，外轮廓为正方形。
3. 上方三棱柱从正上方观察时，其可见的棱在正方形内部的投影为一条实线，不存在被遮挡的棱，因此无需绘制虚线。
4. 比对各选项，只有B选项符合上述特征。
【答案】
B
【知识点】
1. 俯视图的定义
2. 简单组合体的三视图
【点评】
本题考查三视图中俯视图的识别，属于基础题型，解题的核心是牢记俯视图的观察方向，以及实线、虚线的使用规则。
【难度系数】
0.8
变式1 如图，这是一个圆柱，它的俯视图为（
A
）答案
A
解析
【分析】
解题时首先明确俯视图的定义：俯视图是从物体正上方向下观察得到的平面图形。再结合圆柱的结构特征分析：圆柱的上下底面是大小相等的圆形，从正上方观察圆柱时，视线与上底面垂直，看到的图形就是和上底面完全相同的圆形，对应对应选项即可得到答案。
【解析】
根据三视图的相关规则，俯视图是从物体的上方向下投射得到的视图，能够反映物体顶部的形状。
圆柱的上下底面为全等的圆形，从正上方观察圆柱时，观察到的图形为与底面等大的圆形，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 俯视图的概念
2. 常见几何体的三视图
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对三视图中俯视图的理解和常见几何体三视图的识别，熟练掌握相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确俯视图的定义：俯视图是从物体正上方向下观察得到的平面图形。再结合圆柱的结构特征分析：圆柱的上下底面是大小相等的圆形，从正上方观察圆柱时，视线与上底面垂直，看到的图形就是和上底面完全相同的圆形，对应对应选项即可得到答案。
【解析】
根据三视图的相关规则，俯视图是从物体的上方向下投射得到的视图，能够反映物体顶部的形状。
圆柱的上下底面为全等的圆形，从正上方观察圆柱时，观察到的图形为与底面等大的圆形，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 俯视图的概念
2. 常见几何体的三视图
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对三视图中俯视图的理解和常见几何体三视图的识别，熟练掌握相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
