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变式2 如图，这是一个几何体的三视图，根据图中数据，得出它的体积是
96
cm³。答案
96
解析
【分析】解题时首先根据三视图的特征还原几何体：三个视图均为矩形的几何体是长方体。接着从三视图中提取长方体的长、宽、高的对应数据，最后代入长方体体积公式计算即可得到结果。
【解析】解：由三视图可判断该几何体是长方体，结合图中数据可得长方体的长为8cm，宽为4cm，高为3cm。
根据长方体体积公式：$ V=\mathrm{长} × \mathrm{宽} × \mathrm{高} $
代入数据计算：$ V=8 × 4 × 3 = 96(\mathrm{cm}^3) $
【答案】96
【知识点】三视图还原几何体、长方体体积计算
【点评】本题是几何基础题，重点考查学生对三视图的识别能力和常见几何体体积公式的运用能力，解题的核心是准确根据三视图判断几何体形状。
【难度系数】0.7
【解析】解：由三视图可判断该几何体是长方体，结合图中数据可得长方体的长为8cm，宽为4cm，高为3cm。
根据长方体体积公式：$ V=\mathrm{长} × \mathrm{宽} × \mathrm{高} $
代入数据计算：$ V=8 × 4 × 3 = 96(\mathrm{cm}^3) $
【答案】96
【知识点】三视图还原几何体、长方体体积计算
【点评】本题是几何基础题，重点考查学生对三视图的识别能力和常见几何体体积公式的运用能力，解题的核心是准确根据三视图判断几何体形状。
【难度系数】0.7
变式3 如图,这是由若干个棱长为1 cm的小正方体组成的几何体。
主视方向
(1)该几何体的表面积等于
(2)从左面、上面观察该几何体,分别画出你所看到的几何体的形状。
从左面看
从上面看
主视方向
(1)该几何体的表面积等于
22 cm²
。(2)从左面、上面观察该几何体,分别画出你所看到的几何体的形状。
从左面看
从上面看
答案
解:(1)前、后面各有4个正方形，左、右面各有3个正方形，上、下面各有4个正方形，一个正方形的面积为$1×1=1(cm²)$，所以该几何体的表面积为$1×4×2+1×3×2+1×4×2=22(cm²)$。故答案为$22 cm²$。
(2)如图。
解析
【分析】
(1) 求小正方体堆砌而成的几何体的表面积，可采用“分方向计数法”：分别统计前、后、左、右、上、下6个方向能看到的小正方形数量，相对的两个方向可见面数相等，每个小正方形面积为$1\mathrm{cm}^2$，总表面积就是所有可见面的面积之和。首先通过已知的左视图得到左右方向的面数，通过俯视图得到上下方向的面数，再结合两个视图推导得到前后方向的面数，代入计算即可。(2) 题目已给出从左面、上面观察到的形状，直接按要求呈现即可。
【解析】
(1) 棱长为1cm的小正方体单个面的面积为：$1×1=1(\mathrm{cm}^2)$
① 上下方向：从俯视图可知上面有4个小正方形面，下面和上面面数相等，合计$4×2=8$个面；
② 左右方向：从左视图可知左面有3个小正方形面，右面和左面面数相等，合计$3×2=6$个面；
③ 前后方向：结合左视图和俯视图推导可得，前面有4个小正方形面，后面和前面面数相等，合计$4×2=8$个面；
因此几何体总表面积为：$(8+6+8)×1=22(\mathrm{cm}^2)$。
(2) 从左面、上面看到的几何体形状如下：
【答案】
(1) $\boldsymbol{22\ \mathrm{cm}^2}$
(2)
【知识点】
几何体表面积计算，三视图识别，空间几何体观察
【点评】
本题属于空间几何的基础题型，核心考查学生的空间想象能力和三视图的应用能力，掌握分方向统计面数的方法就能快速求解，是几何模块的常考基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 求小正方体堆砌而成的几何体的表面积，可采用“分方向计数法”：分别统计前、后、左、右、上、下6个方向能看到的小正方形数量，相对的两个方向可见面数相等，每个小正方形面积为$1\mathrm{cm}^2$，总表面积就是所有可见面的面积之和。首先通过已知的左视图得到左右方向的面数，通过俯视图得到上下方向的面数，再结合两个视图推导得到前后方向的面数，代入计算即可。(2) 题目已给出从左面、上面观察到的形状，直接按要求呈现即可。
【解析】
(1) 棱长为1cm的小正方体单个面的面积为：$1×1=1(\mathrm{cm}^2)$
① 上下方向：从俯视图可知上面有4个小正方形面，下面和上面面数相等，合计$4×2=8$个面；
② 左右方向：从左视图可知左面有3个小正方形面，右面和左面面数相等，合计$3×2=6$个面；
③ 前后方向：结合左视图和俯视图推导可得，前面有4个小正方形面，后面和前面面数相等，合计$4×2=8$个面；
因此几何体总表面积为：$(8+6+8)×1=22(\mathrm{cm}^2)$。
(2) 从左面、上面看到的几何体形状如下：
【答案】
(1) $\boldsymbol{22\ \mathrm{cm}^2}$
(2)
【知识点】
几何体表面积计算，三视图识别，空间几何体观察
【点评】
本题属于空间几何的基础题型，核心考查学生的空间想象能力和三视图的应用能力，掌握分方向统计面数的方法就能快速求解，是几何模块的常考基础题。
【难度系数】
0.7
例3 将正方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形。
(1)以下两个方格图中的阴影部分能表示该正方体表面展开图的是
(2)在下面方格图中，画一个与(1)中呈现的阴影部分不相同的正方体表面展开图。(用阴影表示)
(1)以下两个方格图中的阴影部分能表示该正方体表面展开图的是
A
。(填“A”或“B”)(2)在下面方格图中，画一个与(1)中呈现的阴影部分不相同的正方体表面展开图。(用阴影表示)
答案
解:(1)A
(2)正方体表面展开图如下(答案不唯一)。
解析
【分析】
(1)判断阴影部分是否为正方体表面展开图，需依据正方体展开图的判断规则：正方体表面展开图不能出现“田”字形、“凹”字形结构，也不能出现同一行超过4个正方形的情况，不符合上述规则的图形无法折叠成正方体，对照规则判断两个选项即可。
(2)绘制不同的正方体表面展开图时，可回忆正方体展开图的四类常见结构：“一四一”型、“一三二”型、“三三”型、“二二二”型，任选一种与第(1)问结构不同的合规类型，用阴影涂出即可。
【解析】
(1)根据正方体表面展开图的判断规则观察两个选项：选项A的阴影结构符合正方体展开图要求，可正常折叠为正方体；另一选项存在不符合规则的结构，无法折叠成正方体，因此选A。
(2)选择和(1)中结构不同的合规正方体展开图类型，在方格中绘制即可，示例如下，答案不唯一。
【答案】
(1)A
(2)正方体表面展开图如下(答案不唯一)。
【知识点】
正方体表面展开图、展开图识别、展开图作图
【点评】
本题围绕正方体表面展开图设题，既考查对展开图特征的识记、判断能力，也考查动手作图能力，掌握正方体展开图的常见类型及禁用结构即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1)判断阴影部分是否为正方体表面展开图，需依据正方体展开图的判断规则：正方体表面展开图不能出现“田”字形、“凹”字形结构，也不能出现同一行超过4个正方形的情况，不符合上述规则的图形无法折叠成正方体，对照规则判断两个选项即可。
(2)绘制不同的正方体表面展开图时，可回忆正方体展开图的四类常见结构：“一四一”型、“一三二”型、“三三”型、“二二二”型，任选一种与第(1)问结构不同的合规类型，用阴影涂出即可。
【解析】
(1)根据正方体表面展开图的判断规则观察两个选项：选项A的阴影结构符合正方体展开图要求，可正常折叠为正方体；另一选项存在不符合规则的结构，无法折叠成正方体，因此选A。
(2)选择和(1)中结构不同的合规正方体展开图类型，在方格中绘制即可，示例如下，答案不唯一。
【答案】
(1)A
(2)正方体表面展开图如下(答案不唯一)。
【知识点】
正方体表面展开图、展开图识别、展开图作图
【点评】
本题围绕正方体表面展开图设题，既考查对展开图特征的识记、判断能力，也考查动手作图能力，掌握正方体展开图的常见类型及禁用结构即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
变式1 如图，A,B,C,D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形中不能拼成正方体的是位置（
A.A处
B.B处
C.C处
D.D处
A
）A.A处
B.B处
C.C处
D.D处
答案
A
解析
【分析】要判断补上哪个位置的正方形不能拼成正方体，需结合正方体展开图的判定规则分析：正方体展开图不能出现“田”字形、“凹”字形结构；若存在4个正方形排成一排，剩余2个正方形需分别位于这一排的上下两侧，不能在同侧。我们逐一验证补上A、B、C、D四个位置后的图形是否符合规则即可。
【解析】我们逐个分析各位置：
1. 补A处：补完后中间行形成4个连续的正方形，剩余2个正方形都在这4个正方形的下方同侧，折叠时会出现面重叠的情况，无法拼成正方体。
2. 补B处：补完后属于“一三二”型正方体展开图，符合展开图规则，可以拼成正方体。
3. 补C处：补完后也属于“一三二”型正方体展开图，符合展开图规则，可以拼成正方体。
4. 补D处：补完后属于“三三”型正方体展开图，两行各3个正方形且错开排列，符合展开图规则，可以拼成正方体。
综上，不能拼成正方体的是A位置。
【答案】A
【知识点】正方体展开图识别
【点评】本题考查正方体展开图的判断，解题关键是熟记正方体展开图的常见类型和禁止出现的结构，用排除法即可快速得出结果。
【难度系数】0.7
【解析】我们逐个分析各位置：
1. 补A处：补完后中间行形成4个连续的正方形，剩余2个正方形都在这4个正方形的下方同侧，折叠时会出现面重叠的情况，无法拼成正方体。
2. 补B处：补完后属于“一三二”型正方体展开图，符合展开图规则，可以拼成正方体。
3. 补C处：补完后也属于“一三二”型正方体展开图，符合展开图规则，可以拼成正方体。
4. 补D处：补完后属于“三三”型正方体展开图，两行各3个正方形且错开排列，符合展开图规则，可以拼成正方体。
综上，不能拼成正方体的是A位置。
【答案】A
【知识点】正方体展开图识别
【点评】本题考查正方体展开图的判断，解题关键是熟记正方体展开图的常见类型和禁止出现的结构，用排除法即可快速得出结果。
【难度系数】0.7
变式2 如图，已知一个圆柱的侧面展开图为矩形，则其底面圆的面积为（
A.$π$
B.$4π$
C.$π$或$4π$
D.$2π$或$4π$
C
）A.$π$
B.$4π$
C.$π$或$4π$
D.$2π$或$4π$
答案
C
解析
【分析】
本题需要结合圆柱侧面展开图的特征解题，首先明确：圆柱侧面展开图的相邻两边分别对应圆柱的高和底面圆的周长，题目没有说明哪条边对应底面周长，因此需要分两种情况讨论，分别计算两种情况下底面圆的半径，再计算面积即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若矩形的长$4π$为底面圆的周长：
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径$r=\frac{C}{2π}=\frac{4π}{2π}=2$，
则底面圆的面积$S=π r^2=π×2^2=4π$。
2. 若矩形的宽$2π$为底面圆的周长：
同理可得底面半径$r=\frac{2π}{2π}=1$，
则底面圆的面积$S=π r^2=π×1^2=π$。
综上，底面圆的面积为$π$或$4π$。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面展开特征，圆的周长计算，圆的面积计算
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，解题时容易只考虑一种情况导致漏解，遇到未明确对应关系的几何展开类问题时，要注意梳理所有可能的对应情况。
【难度系数】
0.6
本题需要结合圆柱侧面展开图的特征解题，首先明确：圆柱侧面展开图的相邻两边分别对应圆柱的高和底面圆的周长，题目没有说明哪条边对应底面周长，因此需要分两种情况讨论，分别计算两种情况下底面圆的半径，再计算面积即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若矩形的长$4π$为底面圆的周长：
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径$r=\frac{C}{2π}=\frac{4π}{2π}=2$，
则底面圆的面积$S=π r^2=π×2^2=4π$。
2. 若矩形的宽$2π$为底面圆的周长：
同理可得底面半径$r=\frac{2π}{2π}=1$，
则底面圆的面积$S=π r^2=π×1^2=π$。
综上，底面圆的面积为$π$或$4π$。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面展开特征，圆的周长计算，圆的面积计算
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，解题时容易只考虑一种情况导致漏解，遇到未明确对应关系的几何展开类问题时，要注意梳理所有可能的对应情况。
【难度系数】
0.6
变式3 如图,在扇形AOB中,半径OA与OB的夹角为$120°$,点A与点B之间的距离为$4\sqrt{3}$,若扇形AOB恰好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面半径为
$\frac{8}{3}$
。答案
$\frac{8}{3}$
解析
【分析】
解决本题可分三步推导：①先利用等腰△AOB的已知条件（顶角120°，底边AB=4√3）解三角形，求出扇形的半径OA的长度；②结合图形判断扇形AOB的圆心角为360°-120°=240°，再用弧长公式计算出扇形的弧长，该弧长等于圆锥底面的周长；③根据圆的周长公式反推，即可求出圆锥的底面半径。
【解析】
1. 求扇形半径：
过点O作OC⊥AB于点C，
∵OA=OB，AB=4√3，
∴AC=½AB=2√3，∠AOC=½∠AOB=60°。
在Rt△AOC中，$\sin∠ AOC=\frac{AC}{OA}$，
∴$OA=\frac{AC}{\sin60°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，即扇形半径$R=4$。
2. 计算扇形弧长：
由图可知，作为圆锥侧面的扇形AOB的圆心角为$360°-120°=240°$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入$n=240$、$R=4$得：
$l=\frac{240×π×4}{180}=\frac{16π}{3}$。
3. 求圆锥底面半径：
∵圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，设底面半径为$r$，
∴$2π r=\frac{16π}{3}$，
解得$r=\frac{8}{3}$。
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
解直角三角形，弧长公式，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题是扇形与圆锥结合的典型基础题，易错点是容易误将120°当作扇形的圆心角，解题时需先结合图形确定扇形对应的圆心角，再抓住“侧面展开弧长=底面周长”的等量关系计算即可。
【难度系数】
0.6
解决本题可分三步推导：①先利用等腰△AOB的已知条件（顶角120°，底边AB=4√3）解三角形，求出扇形的半径OA的长度；②结合图形判断扇形AOB的圆心角为360°-120°=240°，再用弧长公式计算出扇形的弧长，该弧长等于圆锥底面的周长；③根据圆的周长公式反推，即可求出圆锥的底面半径。
【解析】
1. 求扇形半径：
过点O作OC⊥AB于点C，
∵OA=OB，AB=4√3，
∴AC=½AB=2√3，∠AOC=½∠AOB=60°。
在Rt△AOC中，$\sin∠ AOC=\frac{AC}{OA}$，
∴$OA=\frac{AC}{\sin60°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，即扇形半径$R=4$。
2. 计算扇形弧长：
由图可知，作为圆锥侧面的扇形AOB的圆心角为$360°-120°=240°$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入$n=240$、$R=4$得：
$l=\frac{240×π×4}{180}=\frac{16π}{3}$。
3. 求圆锥底面半径：
∵圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，设底面半径为$r$，
∴$2π r=\frac{16π}{3}$，
解得$r=\frac{8}{3}$。
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
解直角三角形，弧长公式，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题是扇形与圆锥结合的典型基础题，易错点是容易误将120°当作扇形的圆心角，解题时需先结合图形确定扇形对应的圆心角，再抓住“侧面展开弧长=底面周长”的等量关系计算即可。
【难度系数】
0.6
