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16.先化简,再求值:$(5a^2 - 3b^2) + 2(2b^2 - 3a^2)$,其中$a = -1,b = 2$.
答案
解：
先化简原式：
$\begin{aligned}&(5a^2 - 3b^2) + 2(2b^2 - 3a^2)\\=&5a^2 - 3b^2 + 4b^2 - 6a^2\\=&-a^2 + b^2\end{aligned}$
将$a=-1$，$b=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}&-(-1)^2 + 2^2\\=&-1 + 4\\=&3\end{aligned}$
所以原式的值为3。
先化简原式：
$\begin{aligned}&(5a^2 - 3b^2) + 2(2b^2 - 3a^2)\\=&5a^2 - 3b^2 + 4b^2 - 6a^2\\=&-a^2 + b^2\end{aligned}$
将$a=-1$，$b=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}&-(-1)^2 + 2^2\\=&-1 + 4\\=&3\end{aligned}$
所以原式的值为3。
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，解题分两步进行：第一步先化简整式，首先根据去括号法则去掉原式的括号，注意括号前的系数2要乘遍括号内的每一项，同时留意去括号后的符号变化；之后合并同类项，把整式化简为最简形式，既可以减少后续计算量，也能降低出错概率。第二步代入求值，将给定的a、b的值代入化简后的整式，按照有理数运算规则计算出最终结果即可。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&\quad(5a^2 - 3b^2) + 2(2b^2 - 3a^2)\\&=5a^2 - 3b^2 + 4b^2 - 6a^2\\&=(5a^2 - 6a^2) + (-3b^2 + 4b^2)\\&=-a^2 + b^2\end{aligned}$
再将$a=-1$，$b=2$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}&\quad-(-1)^2 + 2^2\\&=-1 + 4\\&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
去括号法则、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础常规题，核心考察去括号运算的准确性和同类项的合并能力，计算时要注意负数平方的运算规则，熟练掌握整式的基础运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
这是整式化简求值类题目，解题分两步进行：第一步先化简整式，首先根据去括号法则去掉原式的括号，注意括号前的系数2要乘遍括号内的每一项，同时留意去括号后的符号变化；之后合并同类项，把整式化简为最简形式，既可以减少后续计算量，也能降低出错概率。第二步代入求值，将给定的a、b的值代入化简后的整式，按照有理数运算规则计算出最终结果即可。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&\quad(5a^2 - 3b^2) + 2(2b^2 - 3a^2)\\&=5a^2 - 3b^2 + 4b^2 - 6a^2\\&=(5a^2 - 6a^2) + (-3b^2 + 4b^2)\\&=-a^2 + b^2\end{aligned}$
再将$a=-1$，$b=2$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}&\quad-(-1)^2 + 2^2\\&=-1 + 4\\&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
去括号法则、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础常规题，核心考察去括号运算的准确性和同类项的合并能力，计算时要注意负数平方的运算规则，熟练掌握整式的基础运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
17.给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量关系如下表所示：
(1)所需地砖的数量与每块地砖的面积成正比例关系还是反比例关系？为什么？
(2)如果使用每块面积为1500 cm²的地砖，那么铺完这间教室需要多少块地砖？
(1)所需地砖的数量与每块地砖的面积成正比例关系还是反比例关系？为什么？
(2)如果使用每块面积为1500 cm²的地砖，那么铺完这间教室需要多少块地砖？
答案
解：
(1) 分别计算每组对应量的乘积：
$300×1600=480000$，
$400×1200=480000$，
$600×800=480000$，
$800×600=480000$。
可知所需地砖的数量与每块地砖的面积的乘积是这间教室的地面总面积，是固定不变的定值，因此所需地砖的数量与每块地砖的面积成反比例关系。
(2) 这间教室的地面总面积为$480000\ \mathrm{cm}^2$，
所需地砖数量为：$480000÷1500=320$（块）
答：铺完这间教室需要320块地砖。
(1) 分别计算每组对应量的乘积：
$300×1600=480000$，
$400×1200=480000$，
$600×800=480000$，
$800×600=480000$。
可知所需地砖的数量与每块地砖的面积的乘积是这间教室的地面总面积，是固定不变的定值，因此所需地砖的数量与每块地砖的面积成反比例关系。
(2) 这间教室的地面总面积为$480000\ \mathrm{cm}^2$，
所需地砖数量为：$480000÷1500=320$（块）
答：铺完这间教室需要320块地砖。
解析
【分析】
解决本题首先要明确正反比例关系的判断规则：两个相关联的量，若比值一定则成正比例，若乘积一定则成反比例。针对第(1)问，我们可以先计算每组每块地砖面积和所需地砖数量的乘积，判断乘积是否为定值，这个乘积对应的是固定不变的教室地面总面积。针对第(2)问，利用第(1)问求出的不变的总面积，除以新地砖的单块面积，即可得到需要的地砖数量。
【解析】
(1) 分别计算每组对应量的乘积：
$300×1600=480000$
$400×1200=480000$
$600×800=480000$
$800×600=480000$
可得出所需地砖的数量与每块地砖的面积的乘积为教室地面总面积，是固定不变的定值，因此所需地砖的数量与每块地砖的面积成反比例关系。
(2) 由(1)可知教室地面总面积为$480000\ \mathrm{cm}^2$，使用每块面积为$1500\ \mathrm{cm}^2$的地砖时，所需地砖数量为：
$480000÷1500=320$（块）
【答案】
(1) 成反比例关系，因为每块地砖的面积和所需地砖的数量的乘积（教室地面总面积）为定值；
(2) 320块。
【知识点】
反比例关系判定、反比例的实际应用
【点评】
本题结合生活中铺地砖的实际场景考查比例相关知识，解题核心是抓住“教室地面总面积不变”这一隐藏不变量，先判断比例关系，再利用不变量求解对应量，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确正反比例关系的判断规则：两个相关联的量，若比值一定则成正比例，若乘积一定则成反比例。针对第(1)问，我们可以先计算每组每块地砖面积和所需地砖数量的乘积，判断乘积是否为定值，这个乘积对应的是固定不变的教室地面总面积。针对第(2)问，利用第(1)问求出的不变的总面积，除以新地砖的单块面积，即可得到需要的地砖数量。
【解析】
(1) 分别计算每组对应量的乘积：
$300×1600=480000$
$400×1200=480000$
$600×800=480000$
$800×600=480000$
可得出所需地砖的数量与每块地砖的面积的乘积为教室地面总面积，是固定不变的定值，因此所需地砖的数量与每块地砖的面积成反比例关系。
(2) 由(1)可知教室地面总面积为$480000\ \mathrm{cm}^2$，使用每块面积为$1500\ \mathrm{cm}^2$的地砖时，所需地砖数量为：
$480000÷1500=320$（块）
【答案】
(1) 成反比例关系，因为每块地砖的面积和所需地砖的数量的乘积（教室地面总面积）为定值；
(2) 320块。
【知识点】
反比例关系判定、反比例的实际应用
【点评】
本题结合生活中铺地砖的实际场景考查比例相关知识，解题核心是抓住“教室地面总面积不变”这一隐藏不变量，先判断比例关系，再利用不变量求解对应量，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
四、解答题
18.用简便方法计算：
(1) $9\frac{13}{15} × (-30)$；
(2) $(-5) × (-3\frac{6}{11}) + (-7) × (-3\frac{6}{11}) + 12 × (-3\frac{6}{11})$。
18.用简便方法计算：
(1) $9\frac{13}{15} × (-30)$；
(2) $(-5) × (-3\frac{6}{11}) + (-7) × (-3\frac{6}{11}) + 12 × (-3\frac{6}{11})$。
答案
解：
(1) 原式$=(10 - \frac{2}{15}) × (-30)$
$=10×(-30) - \frac{2}{15}×(-30)$
$=-300 + 4$
$=-296$
(2) 原式$= (-3\frac{6}{11}) × [(-5) + (-7) + 12]$
$= (-3\frac{6}{11}) × 0$
$=0$
(1) 原式$=(10 - \frac{2}{15}) × (-30)$
$=10×(-30) - \frac{2}{15}×(-30)$
$=-300 + 4$
$=-296$
(2) 原式$= (-3\frac{6}{11}) × [(-5) + (-7) + 12]$
$= (-3\frac{6}{11}) × 0$
$=0$
解析
【分析】
（1）观察算式中的带分数$9\frac{13}{15}$接近整数10，可将其拆分为$10-\frac{2}{15}$，再利用乘法分配律分别与$-30$相乘，无需通分计算大数字乘法，大幅简化运算步骤。
（2）第二个算式的三个乘法项都含有相同的因数$-3\frac{6}{11}$，可以逆用乘法分配律，提取相同的公因数后先计算括号内剩余数的和，再做乘法，无需分别计算三个乘法再加减，快速得到结果。
【解析】
(1) 原式$=(10 - \frac{2}{15}) × (-30)$
$=10×(-30) - \frac{2}{15}×(-30)$
$=-300 + 4$
$=-296$
(2) 原式$= (-3\frac{6}{11}) × [(-5) + (-7) + 12]$
$= (-3\frac{6}{11}) × 0$
$=0$
【答案】
（1）$\boldsymbol{-296}$；（2）$\boldsymbol{0}$
【知识点】
乘法分配律，有理数乘法运算，简便运算技巧
【点评】
本题是有理数简便计算的典型题型，核心是灵活运用乘法分配律，通过拆项凑整、提取公因式的方法降低运算复杂度，既能提升计算速度也能减少计算错误。
【难度系数】
0.8
（1）观察算式中的带分数$9\frac{13}{15}$接近整数10，可将其拆分为$10-\frac{2}{15}$，再利用乘法分配律分别与$-30$相乘，无需通分计算大数字乘法，大幅简化运算步骤。
（2）第二个算式的三个乘法项都含有相同的因数$-3\frac{6}{11}$，可以逆用乘法分配律，提取相同的公因数后先计算括号内剩余数的和，再做乘法，无需分别计算三个乘法再加减，快速得到结果。
【解析】
(1) 原式$=(10 - \frac{2}{15}) × (-30)$
$=10×(-30) - \frac{2}{15}×(-30)$
$=-300 + 4$
$=-296$
(2) 原式$= (-3\frac{6}{11}) × [(-5) + (-7) + 12]$
$= (-3\frac{6}{11}) × 0$
$=0$
【答案】
（1）$\boldsymbol{-296}$；（2）$\boldsymbol{0}$
【知识点】
乘法分配律，有理数乘法运算，简便运算技巧
【点评】
本题是有理数简便计算的典型题型，核心是灵活运用乘法分配律，通过拆项凑整、提取公因式的方法降低运算复杂度，既能提升计算速度也能减少计算错误。
【难度系数】
0.8
