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19.某厂家对本厂生产的茶叶的质量检验规定:500 g装茶叶的实际质量与标明质量允许误差为±2.5 g,误差范围内为质量合格品,超出误差值为质量不合格品.今抽查10袋某品牌茶叶,每袋茶叶的标准质量是500 g,超出部分记为正,不足部分记为负,统计成下表所示数据:
(1)求所抽查的10袋茶叶的合格率.
(2)求这10袋茶叶的总质量.
(1)求所抽查的10袋茶叶的合格率.
(2)求这10袋茶叶的总质量.
答案
解：
(1) 由题意，误差的绝对值不大于2.5 g的茶叶为合格品。
不合格的茶叶只有差值为-2.6 g的1袋，合格茶叶的数量为：$2+3+3+1=9$（袋）
合格率为：$\frac{9}{10} × 100\% = 90\%$
(2) 先计算10袋茶叶与标准总质量的差值总和：
$2×(+1) + 3×(+1.4) + 3×0 + 1×(-2.6) + 1×(-2)$
$=2 + 4.2 + 0 - 2.6 - 2$
$=1.6\ (\mathrm{g})$
10袋茶叶的总质量为：$500×10 + 1.6 = 5001.6\ (\mathrm{g})$
答：所抽查的10袋茶叶的合格率为90%，这10袋茶叶的总质量为5001.6 g。
(1) 由题意，误差的绝对值不大于2.5 g的茶叶为合格品。
不合格的茶叶只有差值为-2.6 g的1袋，合格茶叶的数量为：$2+3+3+1=9$（袋）
合格率为：$\frac{9}{10} × 100\% = 90\%$
(2) 先计算10袋茶叶与标准总质量的差值总和：
$2×(+1) + 3×(+1.4) + 3×0 + 1×(-2.6) + 1×(-2)$
$=2 + 4.2 + 0 - 2.6 - 2$
$=1.6\ (\mathrm{g})$
10袋茶叶的总质量为：$500×10 + 1.6 = 5001.6\ (\mathrm{g})$
答：所抽查的10袋茶叶的合格率为90%，这10袋茶叶的总质量为5001.6 g。
解析
【分析】
对于第(1)问，首先明确合格品判定规则：实际质量与标准质量的差值的绝对值≤2.5g即为合格。先逐个判断表格中每类差值对应的茶叶是否合格，统计合格总袋数，再根据“合格率=合格袋数÷总抽查袋数×100%”计算即可。
对于第(2)问，要求10袋茶叶的总质量，可先计算这10袋茶叶与标准总质量的差值总和，再用10袋的标准总质量（每袋500g，共10袋）加上差值总和，即可得到实际总质量。
【解析】
(1) 由题意可知，每袋与标准质量的差值的绝对值不大于2.5g时为合格品。
观察表格数据，只有差值为-2.6g的1袋茶叶的误差绝对值（$\vert -2.6\vert=2.6＞2.5$）不合格，其余均为合格，合格茶叶袋数为：$2+3+3+1=9$（袋）
则合格率为：$\frac{9}{10} × 100\% = 90\%$
(2) 先计算10袋茶叶与标准总质量的差值总和：
$2×(+1) + 3×(+1.4) + 3×0 + 1×(-2.6) + 1×(-2)$
$=2 + 4.2 + 0 - 2.6 - 2$
$=1.6\ (\mathrm{g})$
10袋茶叶的标准总质量为$500×10=5000(\mathrm{g})$，因此实际总质量为：$5000 + 1.6 = 5001.6\ (\mathrm{g})$
【答案】
(1) 所抽查的10袋茶叶的合格率为90%；
(2) 这10袋茶叶的总质量为5001.6 g。
【知识点】
正负数的实际应用；合格率计算；有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中的质量检测场景，考查正负数的意义和有理数的基础运算，解题的核心是理解“超出记正、不足记负”的规则，同时要注意判断合格品时需计算差值的绝对值，是一道贴合生活的基础应用题，能很好地锻炼将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
对于第(1)问，首先明确合格品判定规则：实际质量与标准质量的差值的绝对值≤2.5g即为合格。先逐个判断表格中每类差值对应的茶叶是否合格，统计合格总袋数，再根据“合格率=合格袋数÷总抽查袋数×100%”计算即可。
对于第(2)问，要求10袋茶叶的总质量，可先计算这10袋茶叶与标准总质量的差值总和，再用10袋的标准总质量（每袋500g，共10袋）加上差值总和，即可得到实际总质量。
【解析】
(1) 由题意可知，每袋与标准质量的差值的绝对值不大于2.5g时为合格品。
观察表格数据，只有差值为-2.6g的1袋茶叶的误差绝对值（$\vert -2.6\vert=2.6＞2.5$）不合格，其余均为合格，合格茶叶袋数为：$2+3+3+1=9$（袋）
则合格率为：$\frac{9}{10} × 100\% = 90\%$
(2) 先计算10袋茶叶与标准总质量的差值总和：
$2×(+1) + 3×(+1.4) + 3×0 + 1×(-2.6) + 1×(-2)$
$=2 + 4.2 + 0 - 2.6 - 2$
$=1.6\ (\mathrm{g})$
10袋茶叶的标准总质量为$500×10=5000(\mathrm{g})$，因此实际总质量为：$5000 + 1.6 = 5001.6\ (\mathrm{g})$
【答案】
(1) 所抽查的10袋茶叶的合格率为90%；
(2) 这10袋茶叶的总质量为5001.6 g。
【知识点】
正负数的实际应用；合格率计算；有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中的质量检测场景，考查正负数的意义和有理数的基础运算，解题的核心是理解“超出记正、不足记负”的规则，同时要注意判断合格品时需计算差值的绝对值，是一道贴合生活的基础应用题，能很好地锻炼将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
20. 提升题 书籍是人类进步的阶梯.为爱护书本,学生一般会将书用封皮包好.现有一本书的立体图如图①所示,该书长为23 cm,宽为16 cm,厚
度为2 cm.小华用一张长方形封皮(如图②所示)包好了这本书.在图②的包书皮示意图中,虚线是折痕,阴影是裁掉的部分,四角均为大小相同的正方形,正方形的边长为折进去的宽度.设用该包书皮包这本书时折进去的宽度为a cm.
(1)该包书皮的长为 cm,宽为 cm.(均用含a的代数式表示)
(2)当$a=1$时,求该包书皮的面积(含阴影部分).
五、解答题
21. 提升题【教材呈现】
下图是人教版七年级上册数学教材第109页的部分内容:
把$(a+b)$和$(x+y)$各看成一个整体,对下列各式进行化简:
(1)$4(a+b)+2(a+b)-(a+b)$；
……
【问题解决】
(1)对上图中的式子进行化简,写出化简过程.
【简单应用】
(2)已知$a^2+a=1$,则$2a^2+2a+2025=$.
(3)已知$a+b=-3$,求$5(a+b)+7a+7b+11$的值.
【拓展提高】
(4)已知$a^2-2ab=-5,ab+2b^2=-3$,求代数式$3a^2-\frac{9}{2}ab+3b^2$的值.
度为2 cm.小华用一张长方形封皮(如图②所示)包好了这本书.在图②的包书皮示意图中,虚线是折痕,阴影是裁掉的部分,四角均为大小相同的正方形,正方形的边长为折进去的宽度.设用该包书皮包这本书时折进去的宽度为a cm.
(1)该包书皮的长为 cm,宽为 cm.(均用含a的代数式表示)
(2)当$a=1$时,求该包书皮的面积(含阴影部分).
五、解答题
21. 提升题【教材呈现】
下图是人教版七年级上册数学教材第109页的部分内容:
把$(a+b)$和$(x+y)$各看成一个整体,对下列各式进行化简:
(1)$4(a+b)+2(a+b)-(a+b)$；
……
【问题解决】
(1)对上图中的式子进行化简,写出化简过程.
【简单应用】
(2)已知$a^2+a=1$,则$2a^2+2a+2025=$.
(3)已知$a+b=-3$,求$5(a+b)+7a+7b+11$的值.
【拓展提高】
(4)已知$a^2-2ab=-5,ab+2b^2=-3$,求代数式$3a^2-\frac{9}{2}ab+3b^2$的值.
答案
第20题解答
解：
(1) 包书皮横向总长度为两个书宽加书厚，再加左右各折入的宽度：$16×2 + 2 + 2a = 34+2a$；
包书皮纵向总长度为书长加上下各折入的宽度：$23 + 2a$。
故答案为 $\boldsymbol{(34+2a)}$，$\boldsymbol{(23+2a)}$。
(2) 当$a=1$时，
包书皮的长为 $34+2×1=36\ \mathrm{cm}$，
包书皮的宽为 $23+2×1=25\ \mathrm{cm}$，
包书皮的面积为 $36×25=900\ \mathrm{cm}^2$。
答：该包书皮的面积为$900\ \mathrm{cm}^2$。
---
第21题解答
解：
(1) 把$(a+b)$看作整体，合并同类项：
$\begin{aligned}4(a+b)+2(a+b)-(a+b)&=(4+2-1)(a+b)\\&=5(a+b)\\&=5a+5b\end{aligned}$
(2) 对代数式变形，整体代入$a^2+a=1$：
$2a^2+2a+2025=2(a^2+a)+2025=2×1+2025=2027$
故答案为 $\boldsymbol{2027}$。
(3) 对代数式变形，整体代入$a+b=-3$：
$\begin{aligned}5(a+b)+7a+7b+11&=5(a+b)+7(a+b)+11\\&=12(a+b)+11\\&=12×(-3)+11\\&=-36+11\\&=-25\end{aligned}$
(4) 对所求代数式拆分变形，整体代入已知条件：
$\begin{aligned}3a^2-\frac{9}{2}ab+3b^2&=3a^2-6ab+\frac{3}{2}ab+3b^2\\&=3(a^2-2ab)+\frac{3}{2}(ab+2b^2)\end{aligned}$
将$a^2-2ab=-5$，$ab+2b^2=-3$代入：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3×(-5)+\frac{3}{2}×(-3)\\&=-15-\frac{9}{2}\\&=-\frac{39}{2}\end{aligned}$
解：
(1) 包书皮横向总长度为两个书宽加书厚，再加左右各折入的宽度：$16×2 + 2 + 2a = 34+2a$；
包书皮纵向总长度为书长加上下各折入的宽度：$23 + 2a$。
故答案为 $\boldsymbol{(34+2a)}$，$\boldsymbol{(23+2a)}$。
(2) 当$a=1$时，
包书皮的长为 $34+2×1=36\ \mathrm{cm}$，
包书皮的宽为 $23+2×1=25\ \mathrm{cm}$，
包书皮的面积为 $36×25=900\ \mathrm{cm}^2$。
答：该包书皮的面积为$900\ \mathrm{cm}^2$。
---
第21题解答
解：
(1) 把$(a+b)$看作整体，合并同类项：
$\begin{aligned}4(a+b)+2(a+b)-(a+b)&=(4+2-1)(a+b)\\&=5(a+b)\\&=5a+5b\end{aligned}$
(2) 对代数式变形，整体代入$a^2+a=1$：
$2a^2+2a+2025=2(a^2+a)+2025=2×1+2025=2027$
故答案为 $\boldsymbol{2027}$。
(3) 对代数式变形，整体代入$a+b=-3$：
$\begin{aligned}5(a+b)+7a+7b+11&=5(a+b)+7(a+b)+11\\&=12(a+b)+11\\&=12×(-3)+11\\&=-36+11\\&=-25\end{aligned}$
(4) 对所求代数式拆分变形，整体代入已知条件：
$\begin{aligned}3a^2-\frac{9}{2}ab+3b^2&=3a^2-6ab+\frac{3}{2}ab+3b^2\\&=3(a^2-2ab)+\frac{3}{2}(ab+2b^2)\end{aligned}$
将$a^2-2ab=-5$，$ab+2b^2=-3$代入：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3×(-5)+\frac{3}{2}×(-3)\\&=-15-\frac{9}{2}\\&=-\frac{39}{2}\end{aligned}$
解析
【分析】
第20题：解决包书皮尺寸问题首先要明确封皮的构成：横向需覆盖书的前后两个封面宽度、书的厚度，再加上左右两侧折入的宽度，因此总长度为2倍书宽+书厚+2倍折入宽度；纵向需覆盖书的长度，加上上下两侧折入的宽度，因此总宽度为书长+2倍折入宽度。第二问只需将a的取值代入长和宽的代数式，再结合长方形面积公式计算即可。
第21题：本组题核心考查整体代入思想：（1）将(a+b)看作一个整体，按照合并同类项法则，对系数进行加减运算即可化简；（2）对所求代数式提取公因式，凑出已知的$(a^2+a)$整体后代入求值；（3）先将含a、b的项提取公因式转化为含$(a+b)$的项，合并后代入已知值计算；（4）将所求代数式拆分为与已知两个式子结构匹配的形式，提取公因式后整体代入求值。
【解析】
第20题解答
(1) 包书皮的长：$16× 2 + 2 + 2a = 34+2a\ (\mathrm{cm})$
包书皮的宽：$23 + 2a\ (\mathrm{cm})$
(2) 当$a=1$时：
包书皮的长为$34+2×1=36\ (\mathrm{cm})$
包书皮的宽为$23+2×1=25\ (\mathrm{cm})$
包书皮的面积为$36×25=900\ (\mathrm{cm}^2)$
答：该包书皮的面积为$900\ \mathrm{cm}^2$。
第21题解答
(1) 把$(a+b)$看作整体合并同类项：
$\begin{aligned}4(a+b)+2(a+b)-(a+b)&=(4+2-1)(a+b)\\&=5(a+b)\\&=5a+5b\end{aligned}$
(2) 对代数式变形后代入$a^2+a=1$：
$2a^2+2a+2025=2(a^2+a)+2025=2×1+2025=2027$
(3) 先变形再代入$a+b=-3$：
$\begin{aligned}5(a+b)+7a+7b+11&=5(a+b)+7(a+b)+11\\&=12(a+b)+11\\&=12×(-3)+11\\&=-25\end{aligned}$
(4) 拆分代数式凑已知整体后代入：
$\begin{aligned}3a^2-\frac{9}{2}ab+3b^2&=3(a^2-2ab)+\frac{3}{2}(ab+2b^2)\\&=3×(-5)+\frac{3}{2}×(-3)\\&=-15-\frac{9}{2}\\&=-\frac{39}{2}\end{aligned}$
【答案】
第20题：(1) $\boldsymbol{(34+2a)}$，$\boldsymbol{(23+2a)}$；(2) $\boldsymbol{900\ \mathrm{cm}^2}$
第21题：(1) $\boldsymbol{5(a+b)}$（或$\boldsymbol{5a+5b}$）；(2) $\boldsymbol{2027}$；(3) $\boldsymbol{-25}$；(4) $\boldsymbol{-\dfrac{39}{2}}$
【知识点】
列代数式；合并同类项；整体代入求值
【点评】
题目结合生活场景和整式运算基础，既考查了代数式的实际应用，又重点锻炼了整体思想在代数化简求值中的运用，难度梯度设置合理，能有效检验整式运算的掌握程度。
【难度系数】
0.65
第20题：解决包书皮尺寸问题首先要明确封皮的构成：横向需覆盖书的前后两个封面宽度、书的厚度，再加上左右两侧折入的宽度，因此总长度为2倍书宽+书厚+2倍折入宽度；纵向需覆盖书的长度，加上上下两侧折入的宽度，因此总宽度为书长+2倍折入宽度。第二问只需将a的取值代入长和宽的代数式，再结合长方形面积公式计算即可。
第21题：本组题核心考查整体代入思想：（1）将(a+b)看作一个整体，按照合并同类项法则，对系数进行加减运算即可化简；（2）对所求代数式提取公因式，凑出已知的$(a^2+a)$整体后代入求值；（3）先将含a、b的项提取公因式转化为含$(a+b)$的项，合并后代入已知值计算；（4）将所求代数式拆分为与已知两个式子结构匹配的形式，提取公因式后整体代入求值。
【解析】
第20题解答
(1) 包书皮的长：$16× 2 + 2 + 2a = 34+2a\ (\mathrm{cm})$
包书皮的宽：$23 + 2a\ (\mathrm{cm})$
(2) 当$a=1$时：
包书皮的长为$34+2×1=36\ (\mathrm{cm})$
包书皮的宽为$23+2×1=25\ (\mathrm{cm})$
包书皮的面积为$36×25=900\ (\mathrm{cm}^2)$
答：该包书皮的面积为$900\ \mathrm{cm}^2$。
第21题解答
(1) 把$(a+b)$看作整体合并同类项：
$\begin{aligned}4(a+b)+2(a+b)-(a+b)&=(4+2-1)(a+b)\\&=5(a+b)\\&=5a+5b\end{aligned}$
(2) 对代数式变形后代入$a^2+a=1$：
$2a^2+2a+2025=2(a^2+a)+2025=2×1+2025=2027$
(3) 先变形再代入$a+b=-3$：
$\begin{aligned}5(a+b)+7a+7b+11&=5(a+b)+7(a+b)+11\\&=12(a+b)+11\\&=12×(-3)+11\\&=-25\end{aligned}$
(4) 拆分代数式凑已知整体后代入：
$\begin{aligned}3a^2-\frac{9}{2}ab+3b^2&=3(a^2-2ab)+\frac{3}{2}(ab+2b^2)\\&=3×(-5)+\frac{3}{2}×(-3)\\&=-15-\frac{9}{2}\\&=-\frac{39}{2}\end{aligned}$
【答案】
第20题：(1) $\boldsymbol{(34+2a)}$，$\boldsymbol{(23+2a)}$；(2) $\boldsymbol{900\ \mathrm{cm}^2}$
第21题：(1) $\boldsymbol{5(a+b)}$（或$\boldsymbol{5a+5b}$）；(2) $\boldsymbol{2027}$；(3) $\boldsymbol{-25}$；(4) $\boldsymbol{-\dfrac{39}{2}}$
【知识点】
列代数式；合并同类项；整体代入求值
【点评】
题目结合生活场景和整式运算基础，既考查了代数式的实际应用，又重点锻炼了整体思想在代数化简求值中的运用，难度梯度设置合理，能有效检验整式运算的掌握程度。
【难度系数】
0.65
