登录
8.若一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数是10，方差是3，则数据$2x_1+3,2x_2+3,\dots,2x_n+3$的平均数是
23
，方差是12
。答案
8.23 12
解析
【分析】
解题时可从平均数、方差的定义出发推导，也可直接运用数据线性变换后的统计量变化规律求解。思路如下：首先明确若原数据每个元素变为$ax_i+b$，新平均数为$a×原平均数+b$；方差仅反映数据波动程度，加减常数不会改变波动大小，因此新方差为$a^2×原方差$。如果记不清规律，可直接代入平均数、方差的定义公式展开计算，避免出错。
【解析】
1. 计算新数据的平均数：
已知原数据平均数$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)=10$，
新数据的平均数为：
$\begin{aligned}\bar{y}&=\frac{1}{n}[(2x_1+3)+(2x_2+3)+\dots+(2x_n+3)]\\&=\frac{1}{n}[2(x_1+x_2+\dots+x_n)+3n]\\&=2×\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}+3\\&=2×10 + 3=23\end{aligned}$
2. 计算新数据的方差：
已知原数据方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]=3$，
将新平均数$\bar{y}=2\bar{x}+3$代入方差公式：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}[(2x_1+3-\bar{y})^2+(2x_2+3-\bar{y})^2+\dots+(2x_n+3-\bar{y})^2]\\&=\frac{1}{n}[(2x_1+3-(2\bar{x}+3))^2+\dots+(2x_n+3-(2\bar{x}+3))^2]\\&=\frac{1}{n}[4(x_1-\bar{x})^2+4(x_2-\bar{x})^2+\dots+4(x_n-\bar{x})^2]\\&=4×\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]\\&=4×3=12\end{aligned}$
【答案】
23；12
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题考查数据线性变换后统计量的变化规律，属于基础题型。解题时既可以直接运用规律快速作答，也可以通过定义推导验证，注意方差仅随系数的平方变化，加减常数不改变方差大小，不要混淆两者的变化规则。
【难度系数】
0.8
解题时可从平均数、方差的定义出发推导，也可直接运用数据线性变换后的统计量变化规律求解。思路如下：首先明确若原数据每个元素变为$ax_i+b$，新平均数为$a×原平均数+b$；方差仅反映数据波动程度，加减常数不会改变波动大小，因此新方差为$a^2×原方差$。如果记不清规律，可直接代入平均数、方差的定义公式展开计算，避免出错。
【解析】
1. 计算新数据的平均数：
已知原数据平均数$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)=10$，
新数据的平均数为：
$\begin{aligned}\bar{y}&=\frac{1}{n}[(2x_1+3)+(2x_2+3)+\dots+(2x_n+3)]\\&=\frac{1}{n}[2(x_1+x_2+\dots+x_n)+3n]\\&=2×\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}+3\\&=2×10 + 3=23\end{aligned}$
2. 计算新数据的方差：
已知原数据方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]=3$，
将新平均数$\bar{y}=2\bar{x}+3$代入方差公式：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}[(2x_1+3-\bar{y})^2+(2x_2+3-\bar{y})^2+\dots+(2x_n+3-\bar{y})^2]\\&=\frac{1}{n}[(2x_1+3-(2\bar{x}+3))^2+\dots+(2x_n+3-(2\bar{x}+3))^2]\\&=\frac{1}{n}[4(x_1-\bar{x})^2+4(x_2-\bar{x})^2+\dots+4(x_n-\bar{x})^2]\\&=4×\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]\\&=4×3=12\end{aligned}$
【答案】
23；12
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题考查数据线性变换后统计量的变化规律，属于基础题型。解题时既可以直接运用规律快速作答，也可以通过定义推导验证，注意方差仅随系数的平方变化，加减常数不改变方差大小，不要混淆两者的变化规则。
【难度系数】
0.8
9.某科技兴趣小组成员的年龄分别是12,9,10,8,14,12,12,这组数的中位数是
12
，极差为6
，离差平方和为26
，方差为$\frac{26}{7}$
.答案
9.12 6 26 $\frac{26}{7}$
解析
【分析】
要解这道题，需依次回忆各统计量的定义及计算步骤：①计算中位数首先要将数据按大小顺序排序，若数据个数为奇数，中间位置的数就是中位数；若为偶数，中间两个数的平均数是中位数。②极差是一组数据中最大值与最小值的差。③计算离差平方和和方差前需先求出这组数据的平均数，离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和，方差是离差平方和除以数据的总个数，按照这个顺序逐步计算即可。
【解析】
1. 排序：将已知数据从小到大排列为：8，9，10，12，12，12，14，共7个数据。
2. 求中位数：数据个数7为奇数，位于第4位的数是12，因此中位数为12。
3. 求极差：这组数据的最大值是14，最小值是8，因此极差=14-8=6。
4. 求平均数：$\overline{x}=\frac{8+9+10+12+12+12+14}{7}=\frac{77}{7}=11$。
5. 求离差平方和：
$\begin{aligned}\mathrm{离差平方和}&=(8-11)^2+(9-11)^2+(10-11)^2+(12-11)^2+(12-11)^2+(12-11)^2+(14-11)^2\\&=9+4+1+1+1+1+9\\&=26\end{aligned}$
6. 求方差：方差是离差平方和除以数据个数，因此$s^2=\frac{26}{7}$。
【答案】
$12$；$6$；$26$；$\frac{26}{7}$
【知识点】
中位数计算；极差计算；方差计算
【点评】
本题属于统计基础题型，重点考查各类统计量的计算方法，解题时需注意计算中位数前必须先对数据排序，计算平均数和平方和时要仔细运算，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
要解这道题，需依次回忆各统计量的定义及计算步骤：①计算中位数首先要将数据按大小顺序排序，若数据个数为奇数，中间位置的数就是中位数；若为偶数，中间两个数的平均数是中位数。②极差是一组数据中最大值与最小值的差。③计算离差平方和和方差前需先求出这组数据的平均数，离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和，方差是离差平方和除以数据的总个数，按照这个顺序逐步计算即可。
【解析】
1. 排序：将已知数据从小到大排列为：8，9，10，12，12，12，14，共7个数据。
2. 求中位数：数据个数7为奇数，位于第4位的数是12，因此中位数为12。
3. 求极差：这组数据的最大值是14，最小值是8，因此极差=14-8=6。
4. 求平均数：$\overline{x}=\frac{8+9+10+12+12+12+14}{7}=\frac{77}{7}=11$。
5. 求离差平方和：
$\begin{aligned}\mathrm{离差平方和}&=(8-11)^2+(9-11)^2+(10-11)^2+(12-11)^2+(12-11)^2+(12-11)^2+(14-11)^2\\&=9+4+1+1+1+1+9\\&=26\end{aligned}$
6. 求方差：方差是离差平方和除以数据个数，因此$s^2=\frac{26}{7}$。
【答案】
$12$；$6$；$26$；$\frac{26}{7}$
【知识点】
中位数计算；极差计算；方差计算
【点评】
本题属于统计基础题型，重点考查各类统计量的计算方法，解题时需注意计算中位数前必须先对数据排序，计算平均数和平方和时要仔细运算，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
10.(2025·宿迁宿豫区期中)北京时间8月5日15:30分,巴黎奥运会射击男子25米手枪速射决赛正式开始,中国选手李越宏40枪得到32分,领先第二名7分,拿到金牌,在连续两届奥运会获得铜牌后,终于圆梦,这也是中国射击队本届奥运会的第5枚金牌,也是中国代表团的第20枚金牌,比赛分为8轮,每轮5枪,9.7环以上视为命中,命中1枪得1分.李越宏的8轮成绩分别为5分,3分,4分,2分,4分,5分,4分,5分.
(1)李越宏的8轮成绩的中位数为
(2)求李越宏8轮得分的方差.
(1)李越宏的8轮成绩的中位数为
4
;(2)求李越宏8轮得分的方差.
答案
(1)4
(2)解:$\because \overline{x}=\frac{1}{8}×(2+3+4×3+5×3)=4$,
$\therefore s^2=\frac{1}{8}×[(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2×3+(5-4)^2×3]=1$.
(2)解:$\because \overline{x}=\frac{1}{8}×(2+3+4×3+5×3)=4$,
$\therefore s^2=\frac{1}{8}×[(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2×3+(5-4)^2×3]=1$.
解析
【分析】
(1)求中位数的第一步是将数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，若数据个数为偶数，中位数为中间两个数的平均数；若为奇数，中位数为中间位置的数。本题共有8个成绩，先排序后找到第4、第5个数据，计算二者的平均值即可得到中位数。
(2)求方差需先算出这组数据的平均数，再代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算即可。
【解析】
(1)将8轮成绩从小到大排列为：2，3，4，4，4，5，5，5。
共有8个数据，中间位置为第4个和第5个数据，分别为4和4，
因此中位数为$\frac{4+4}{2}=4$。
(2)首先计算8轮得分的平均数：
$\overline{x}=\frac{1}{8}×(2+3+4×3+5×3)=4$，
再代入方差公式计算：
$s^2=\frac{1}{8}×[(2-4)^2+(3-4)^2+3×(4-4)^2+3×(5-4)^2]$
$=\frac{1}{8}×(4+1+0+3)=1$。
【答案】
(1)4；(2)1
【知识点】
中位数的计算；平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于统计类基础题，核心考查对中位数、方差相关概念和运算公式的掌握，牢记基础定义和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
(1)求中位数的第一步是将数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，若数据个数为偶数，中位数为中间两个数的平均数；若为奇数，中位数为中间位置的数。本题共有8个成绩，先排序后找到第4、第5个数据，计算二者的平均值即可得到中位数。
(2)求方差需先算出这组数据的平均数，再代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算即可。
【解析】
(1)将8轮成绩从小到大排列为：2，3，4，4，4，5，5，5。
共有8个数据，中间位置为第4个和第5个数据，分别为4和4，
因此中位数为$\frac{4+4}{2}=4$。
(2)首先计算8轮得分的平均数：
$\overline{x}=\frac{1}{8}×(2+3+4×3+5×3)=4$，
再代入方差公式计算：
$s^2=\frac{1}{8}×[(2-4)^2+(3-4)^2+3×(4-4)^2+3×(5-4)^2]$
$=\frac{1}{8}×(4+1+0+3)=1$。
【答案】
(1)4；(2)1
【知识点】
中位数的计算；平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于统计类基础题，核心考查对中位数、方差相关概念和运算公式的掌握，牢记基础定义和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
11.(2025·甘肃)某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛.在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩(单位:环)信息如下：
信息一:甲、乙队员的射击成绩
甲:10,8,8,10,6,8,6,9,10,8
乙:8,9,10,9,6,7,7,9,10,8
信息二:甲、乙队员射击成绩的部分统计量
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中$m,n$的值:$m=$
(2)
(3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样,推荐哪位队员参赛都可以,你认为他说的对吗?请说明理由.(写出一条合理的理由即可)
信息一:甲、乙队员的射击成绩
甲:10,8,8,10,6,8,6,9,10,8
乙:8,9,10,9,6,7,7,9,10,8
信息二:甲、乙队员射击成绩的部分统计量
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中$m,n$的值:$m=$
8.5
,$n=$8
;(2)
乙
队员在射击选拔赛中发挥得更稳定;(填“甲”或“乙”)(3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样,推荐哪位队员参赛都可以,你认为他说的对吗?请说明理由.(写出一条合理的理由即可)
答案
(1)8.5 8
(2)乙
(3)解:小瑜说的不对,理由:甲、乙两人射击成绩的平均数相同,但甲的方差大于乙的方差,故乙队员发挥更稳定,故应选乙队员参赛.
(2)乙
(3)解:小瑜说的不对,理由:甲、乙两人射击成绩的平均数相同,但甲的方差大于乙的方差,故乙队员发挥更稳定,故应选乙队员参赛.
解析
【分析】
(1) 求n即求甲成绩的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，统计甲10次成绩中各数出现的次数即可得到n的值；求m即求乙成绩的中位数，需先将乙的10次成绩从小到大排序，10个数据的中位数为排序后第5、第6个数据的平均数，计算即可得到m。
(2) 方差反映数据的波动程度，方差越小数据越稳定，对比甲、乙的方差大小即可判断谁发挥更稳定。
(3) 平均数仅能反映数据的平均水平，判断参赛人选还需结合方差、中位数、众数等其他统计量的特征综合分析，因此不能仅依据平均数相同就认为推荐谁都可以。
【解析】
(1) 统计甲的射击成绩：10,8,8,10,6,8,6,9,10,8，其中8出现了4次，出现次数最多，因此众数$n=8$；
将乙的射击成绩从小到大排序为：6,7,7,8,8,9,9,9,10,10，共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$m=\frac{8+9}{2}=8.5$。
(2) 已知甲的方差为2.01，乙的方差为1.61，因为$1.61＜2.01$，乙的方差更小，说明乙的成绩波动更小，因此乙队员发挥更稳定。
(3) 小瑜的说法不对。理由：甲、乙两人射击成绩的平均数相同，但甲的方差大于乙的方差，说明乙的成绩更稳定，因此应选乙队员参赛。
【答案】
(1) $8.5$；$8$
(2) 乙
(3) 不对，理由：甲、乙两人射击成绩的平均数相同，但甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，故应选乙队员参赛。
【知识点】
众数的概念；中位数的计算；方差的意义
【点评】
本题围绕统计量的应用展开，既考查了众数、中位数的计算，也考查了方差的实际意义，需要学生理解不同统计量反映的数据特征，能结合数据特点做出合理的决策。
【难度系数】
0.8
(1) 求n即求甲成绩的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，统计甲10次成绩中各数出现的次数即可得到n的值；求m即求乙成绩的中位数，需先将乙的10次成绩从小到大排序，10个数据的中位数为排序后第5、第6个数据的平均数，计算即可得到m。
(2) 方差反映数据的波动程度，方差越小数据越稳定，对比甲、乙的方差大小即可判断谁发挥更稳定。
(3) 平均数仅能反映数据的平均水平，判断参赛人选还需结合方差、中位数、众数等其他统计量的特征综合分析，因此不能仅依据平均数相同就认为推荐谁都可以。
【解析】
(1) 统计甲的射击成绩：10,8,8,10,6,8,6,9,10,8，其中8出现了4次，出现次数最多，因此众数$n=8$；
将乙的射击成绩从小到大排序为：6,7,7,8,8,9,9,9,10,10，共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$m=\frac{8+9}{2}=8.5$。
(2) 已知甲的方差为2.01，乙的方差为1.61，因为$1.61＜2.01$，乙的方差更小，说明乙的成绩波动更小，因此乙队员发挥更稳定。
(3) 小瑜的说法不对。理由：甲、乙两人射击成绩的平均数相同，但甲的方差大于乙的方差，说明乙的成绩更稳定，因此应选乙队员参赛。
【答案】
(1) $8.5$；$8$
(2) 乙
(3) 不对，理由：甲、乙两人射击成绩的平均数相同，但甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，故应选乙队员参赛。
【知识点】
众数的概念；中位数的计算；方差的意义
【点评】
本题围绕统计量的应用展开，既考查了众数、中位数的计算，也考查了方差的实际意义，需要学生理解不同统计量反映的数据特征，能结合数据特点做出合理的决策。
【难度系数】
0.8
