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1.某水果店记录了连续的5天内某种水果的日销量(单位:kg):12,15,13,16,14,则该组数据的离差平方和为（
A.10
B.14
C.20
D.28
A
）A.10
B.14
C.20
D.28
答案
1.A
解析
【分析】
要计算该组数据的离差平方和，需遵循两步思路：第一步先计算这组数据的平均数，第二步依次求出每个数据与平均数的差的平方，再将所有平方值相加，最终得到的和就是离差平方和。
【解析】
首先计算这组数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{12+15+13+16+14}{5}=\frac{70}{5}=14$
再计算离差平方和：
$S=(12-14)^2+(15-14)^2+(13-14)^2+(16-14)^2+(14-14)^2$
$=(-2)^2+1^2+(-1)^2+2^2+0^2$
$=4+1+1+4+0=10$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题考查数据离散程度的基础计算，解题核心是牢记离差平方和的计算流程，运算量较小，掌握基础概念即可得分。
【难度系数】
0.8
要计算该组数据的离差平方和，需遵循两步思路：第一步先计算这组数据的平均数，第二步依次求出每个数据与平均数的差的平方，再将所有平方值相加，最终得到的和就是离差平方和。
【解析】
首先计算这组数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{12+15+13+16+14}{5}=\frac{70}{5}=14$
再计算离差平方和：
$S=(12-14)^2+(15-14)^2+(13-14)^2+(16-14)^2+(14-14)^2$
$=(-2)^2+1^2+(-1)^2+2^2+0^2$
$=4+1+1+4+0=10$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题考查数据离散程度的基础计算，解题核心是牢记离差平方和的计算流程，运算量较小，掌握基础概念即可得分。
【难度系数】
0.8
2.在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（
A.使每组数据量相等
B.使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大
C.减少计算复杂度
D.保证组间均值相等
B
）A.使每组数据量相等
B.使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大
C.减少计算复杂度
D.保证组间均值相等
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先明确离差平方和的意义：它是衡量数据离散程度的指标，数值越小，说明对应组内的数据波动越小、内部差异越小。再结合统计分组的核心目的：分组是为了区分不同特征的数据，理想状态是同一组内数据相似度高，不同组数据差异明显。最后逐一排查错误选项：A选项每组数据量相等与组内离散程度无关；C选项降低计算复杂度和该要求没有关联；D选项组间均值相等不符合分组区分不同数据特征的作用，排除后即可得到正确答案。
【解析】
组内离差平方和是衡量同一组内数据离散程度的量，其值越小，说明组内数据的差异越小。分组时要求组内离差平方和最小，目的就是让每组内部的数据差异尽可能小，对应的不同组之间的数据差异就会尽可能大，这样分组才具备统计意义。
对各选项分析如下：
A. 每组数据量相等与组内离差平方和的要求没有关联，不符合题意，错误；
B. 符合组内离差平方和最小的分组目的，正确；
C. 该要求不会降低计算复杂度，与题意无关，错误；
D. 组间均值相等不符合分组区分不同数据特征的意义，错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 数据的离散程度
2. 统计分组原则
【点评】
本题考查对统计相关基础概念的理解，需要结合离散程度的含义分析分组的目的，属于基础概念考查题，掌握相关定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确离差平方和的意义：它是衡量数据离散程度的指标，数值越小，说明对应组内的数据波动越小、内部差异越小。再结合统计分组的核心目的：分组是为了区分不同特征的数据，理想状态是同一组内数据相似度高，不同组数据差异明显。最后逐一排查错误选项：A选项每组数据量相等与组内离散程度无关；C选项降低计算复杂度和该要求没有关联；D选项组间均值相等不符合分组区分不同数据特征的作用，排除后即可得到正确答案。
【解析】
组内离差平方和是衡量同一组内数据离散程度的量，其值越小，说明组内数据的差异越小。分组时要求组内离差平方和最小，目的就是让每组内部的数据差异尽可能小，对应的不同组之间的数据差异就会尽可能大，这样分组才具备统计意义。
对各选项分析如下：
A. 每组数据量相等与组内离差平方和的要求没有关联，不符合题意，错误；
B. 符合组内离差平方和最小的分组目的，正确；
C. 该要求不会降低计算复杂度，与题意无关，错误；
D. 组间均值相等不符合分组区分不同数据特征的意义，错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 数据的离散程度
2. 统计分组原则
【点评】
本题考查对统计相关基础概念的理解，需要结合离散程度的含义分析分组的目的，属于基础概念考查题，掌握相关定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3.将数据34,23,21,56,61,57,83,25分成两组,以便找到组内离差平方和最小的分组方法,那么分法有（
A.6种
B.7种
C.8种
D.9种
B
）A.6种
B.7种
C.8种
D.9种
答案
3.B
解析
【分析】要找到组内离差平方和最小的分组，首先需理解离差平方和的意义：离差平方和越小，说明组内数据的波动越小、数据越集中。因此要让两组总离差平方和最小，必须将大小相近的数分在同一组，不能出现大小数据交叉分组的情况。解题时先将所有数据从小到大排序，最优分组只能在排序后相邻两个数据之间分割，数出相邻间隔的数量即可得到分法总数。
【解析】
1. 先将给定的8个数据按从小到大排序：21，23，25，34，56，57，61，83。
2. 若交叉分组（如把21和83分到同一组），会增大组内数据的波动，导致离差平方和变大，因此最优分组只能在相邻两个数据之间进行分割。
3. 8个排序后的数据之间共有7个相邻间隔，每个间隔对应1种分组方法，因此共有7种符合要求的分法。
【答案】B
【知识点】离差平方和，数据的离散程度，数据排序
【点评】本题解题核心是理解离差平方和与数据波动的关系，不需要逐一计算所有分组的离差平方和，只要抓住“最优分组必为有序相邻分割”的规律即可快速求解，避免了复杂计算。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 先将给定的8个数据按从小到大排序：21，23，25，34，56，57，61，83。
2. 若交叉分组（如把21和83分到同一组），会增大组内数据的波动，导致离差平方和变大，因此最优分组只能在相邻两个数据之间进行分割。
3. 8个排序后的数据之间共有7个相邻间隔，每个间隔对应1种分组方法，因此共有7种符合要求的分法。
【答案】B
【知识点】离差平方和，数据的离散程度，数据排序
【点评】本题解题核心是理解离差平方和与数据波动的关系，不需要逐一计算所有分组的离差平方和，只要抓住“最优分组必为有序相邻分割”的规律即可快速求解，避免了复杂计算。
【难度系数】0.7
4.若将排序后的数据分为两组,计算组内离差平方和时需 （
A.仅计算第一组的离差平方和
B.计算两组离差平方和的总和
C.仅计算最大值与最小值的差
D.计算两组离差平方和的平均数
B
）A.仅计算第一组的离差平方和
B.计算两组离差平方和的总和
C.仅计算最大值与最小值的差
D.计算两组离差平方和的平均数
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先要明确组内离差平方和的含义：它是用来衡量组内数据离散程度的指标，指一组数据中各数据与本组平均数的差的平方之和。当数据被分为两组时，要得到总的组内离差平方和，需要覆盖所有组的离散情况，因此要先分别算出两组各自的离差平方和，再求和。接下来逐一判断选项：A仅计算第一组会遗漏第二组的离散情况，错误；C是极差的计算，和离差平方和无关，错误；D取平均数不符合组内离差平方和的计算逻辑，错误；只有B符合要求。
【解析】
组内离差平方和的定义为：一组数据中所有数据与该组平均数的差的平方之和，用于反映组内数据的离散程度。
当数据被分为两组时，总的组内离差平方和需要包含两组的离散情况，因此要先分别计算每组的离差平方和，再将二者相加得到总和：
选项A：仅计算第一组的离差平方和，遗漏了第二组的离散情况，计算结果不完整，错误；
选项B：计算两组离差平方和的总和，符合总的组内离差平方和的计算要求，正确；
选项C：计算最大值与最小值的差是极差的计算方法，和离差平方和无关，错误；
选项D：计算两组离差平方和的平均数，不符合组内离差平方和的计算规则，错误。
【答案】
B
【知识点】
1.离差平方和的计算
2.数据的离散程度
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对组内离差平方和计算规则的理解，解题的关键是区分不同离散程度指标的计算方法，牢记分组后总组内离差平方和为各组离差平方和之和即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确组内离差平方和的含义：它是用来衡量组内数据离散程度的指标，指一组数据中各数据与本组平均数的差的平方之和。当数据被分为两组时，要得到总的组内离差平方和，需要覆盖所有组的离散情况，因此要先分别算出两组各自的离差平方和，再求和。接下来逐一判断选项：A仅计算第一组会遗漏第二组的离散情况，错误；C是极差的计算，和离差平方和无关，错误；D取平均数不符合组内离差平方和的计算逻辑，错误；只有B符合要求。
【解析】
组内离差平方和的定义为：一组数据中所有数据与该组平均数的差的平方之和，用于反映组内数据的离散程度。
当数据被分为两组时，总的组内离差平方和需要包含两组的离散情况，因此要先分别计算每组的离差平方和，再将二者相加得到总和：
选项A：仅计算第一组的离差平方和，遗漏了第二组的离散情况，计算结果不完整，错误；
选项B：计算两组离差平方和的总和，符合总的组内离差平方和的计算要求，正确；
选项C：计算最大值与最小值的差是极差的计算方法，和离差平方和无关，错误；
选项D：计算两组离差平方和的平均数，不符合组内离差平方和的计算规则，错误。
【答案】
B
【知识点】
1.离差平方和的计算
2.数据的离散程度
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对组内离差平方和计算规则的理解，解题的关键是区分不同离散程度指标的计算方法，牢记分组后总组内离差平方和为各组离差平方和之和即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5.在引体向上测试中,5名同学完成的个数分别为13,15,7,9,12.要使个数相差较小的同学分在一组,如下表是4种分法的组内离差平方和(结果保留小数点后一位).
根据组内离差平方和最小原则,把这5名同学引体向上的个数分为两组,下列分组正确的是（
A.{7}和{9,12,13,15}
B.{7,9}和{12,13,15}
C.{7,9,12}和{13,15}
D.{7,9,12,13}和{15}
根据组内离差平方和最小原则,把这5名同学引体向上的个数分为两组,下列分组正确的是（
B
）A.{7}和{9,12,13,15}
B.{7,9}和{12,13,15}
C.{7,9,12}和{13,15}
D.{7,9,12,13}和{15}
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先明确题目要求：要使同组内同学引体向上个数相差较小，且判断依据为组内离差平方和最小原则。组内离差平方和越小，代表组内数据的差异越小，越符合分组要求。因此我们只需提取表格中四个选项对应分组的组内离差平方和，比较大小，选出数值最小的对应分组即可。
【解析】
组内离差平方和是衡量组内数据离散程度的量，其值越小，说明组内数据的差异越小，越符合题目分组要求。
观察表格可得各选项对应组内离差平方和：
A选项对应18.8，B选项对应6.7，C选项对应14.7，D选项对应22.8。
比较大小得：$6.7＜14.7＜18.8＜22.8$，因此B选项分组的组内离差平方和最小，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
数据离散程度、离差平方和
【点评】
本题属于基础应用题，主要考查对数据离散程度相关概念的理解和应用，解题关键是读懂题目给出的判断规则，结合表格数据直接比较大小即可得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目要求：要使同组内同学引体向上个数相差较小，且判断依据为组内离差平方和最小原则。组内离差平方和越小，代表组内数据的差异越小，越符合分组要求。因此我们只需提取表格中四个选项对应分组的组内离差平方和，比较大小，选出数值最小的对应分组即可。
【解析】
组内离差平方和是衡量组内数据离散程度的量，其值越小，说明组内数据的差异越小，越符合题目分组要求。
观察表格可得各选项对应组内离差平方和：
A选项对应18.8，B选项对应6.7，C选项对应14.7，D选项对应22.8。
比较大小得：$6.7＜14.7＜18.8＜22.8$，因此B选项分组的组内离差平方和最小，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
数据离散程度、离差平方和
【点评】
本题属于基础应用题，主要考查对数据离散程度相关概念的理解和应用，解题关键是读懂题目给出的判断规则，结合表格数据直接比较大小即可得出答案。
【难度系数】
0.9
6.若一组数据$x_1,x_2,\dots,x_{10}$的方差为16，则这组数据的离差平方和为
160
。答案
6.160
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的定义：方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，其中分子部分就是题目要求的离差平方和。根据方差公式可以推导得到：离差平方和 = 方差 × 数据个数，接下来代入题目给出的已知条件计算即可。
【解析】
设这组数据的平均数为$\overline{x}$，根据方差的计算公式：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
其中$(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2$就是离差平方和。
已知该组数据个数$n=10$，方差$s^2=16$，代入公式变形可得：
离差平方和$=n× s^2=10×16=160$
【答案】
160
【知识点】
1. 方差的定义
2. 离差平方和概念
【点评】
本题是基础概念类题型，核心考查方差和离差平方和的内在关联，只要熟练掌握方差的计算公式，明确公式中各部分的含义，就能快速得出结果，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆方差的定义：方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，其中分子部分就是题目要求的离差平方和。根据方差公式可以推导得到：离差平方和 = 方差 × 数据个数，接下来代入题目给出的已知条件计算即可。
【解析】
设这组数据的平均数为$\overline{x}$，根据方差的计算公式：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
其中$(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2$就是离差平方和。
已知该组数据个数$n=10$，方差$s^2=16$，代入公式变形可得：
离差平方和$=n× s^2=10×16=160$
【答案】
160
【知识点】
1. 方差的定义
2. 离差平方和概念
【点评】
本题是基础概念类题型，核心考查方差和离差平方和的内在关联，只要熟练掌握方差的计算公式，明确公式中各部分的含义，就能快速得出结果，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
7.把数据0,6,8,2,10按大小顺序分成两组,能使“组内离差平方和达到最小”的是 （
A.0为一组,2,6,8,10为一组
B.0,2为一组,6,8,10为一组
C.0,2,6为一组,8,10为一组
D.0,2,6,8为一组,10为一组
B
）A.0为一组,2,6,8,10为一组
B.0,2为一组,6,8,10为一组
C.0,2,6为一组,8,10为一组
D.0,2,6,8为一组,10为一组
答案
7.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确组内离差平方和的含义：组内离差平方和是组内每个数据与本组平均数的差的平方之和，它反映的是组内数据的离散程度，值越小说明组内数据越集中。解题有两种思路：一是直接计算每个选项的两组离差平方和之和，选择总和最小的选项；二是先将数据从小到大排序，观察相邻数据的差值，在差值最大的位置拆分分组，此时两组内部数据都最集中，总离差平方和最小。
【解析】
首先将数据按从小到大排序：0，2，6，8，10。
离差平方和公式：对于组内数据$x_1,x_2,\dots,x_n$，平均数为$\bar{x}$，则离差平方和$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，我们计算各选项的总离差平方和：
选项A：第一组{0}离差平方和为0；第二组{2,6,8,10}的平均数为6.5，离差平方和为$(2-6.5)^2+(6-6.5)^2+(8-6.5)^2+(10-6.5)^2=35$，总离差平方和为$0+35=35$。
选项B：第一组{0,2}的平均数为1，离差平方和为$(0-1)^2+(2-1)^2=2$；第二组{6,8,10}的平均数为8，离差平方和为$(6-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2=8$，总离差平方和为$2+8=10$。
选项C：第一组{0,2,6}的平均数为$\frac{8}{3}$，离差平方和约为18.67；第二组{8,10}的平均数为9，离差平方和为2，总离差平方和约为20.67。
选项D：第一组{0,2,6,8}的平均数为4，离差平方和为40；第二组{10}离差平方和为0，总离差平方和为$40+0=40$。
对比可知选项B的总离差平方和最小。
【答案】
B
【知识点】
1.离差平方和的计算
2.数据的离散程度
3.平均数的计算
【点评】
本题重点考查对离差平方和意义的理解，解题核心是明确离差平方和越小，组内数据越集中。既可以通过直接计算验证结果，也可以通过观察相邻数据的最大间隙快速确定分组位置，提升解题速度。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确组内离差平方和的含义：组内离差平方和是组内每个数据与本组平均数的差的平方之和，它反映的是组内数据的离散程度，值越小说明组内数据越集中。解题有两种思路：一是直接计算每个选项的两组离差平方和之和，选择总和最小的选项；二是先将数据从小到大排序，观察相邻数据的差值，在差值最大的位置拆分分组，此时两组内部数据都最集中，总离差平方和最小。
【解析】
首先将数据按从小到大排序：0，2，6，8，10。
离差平方和公式：对于组内数据$x_1,x_2,\dots,x_n$，平均数为$\bar{x}$，则离差平方和$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，我们计算各选项的总离差平方和：
选项A：第一组{0}离差平方和为0；第二组{2,6,8,10}的平均数为6.5，离差平方和为$(2-6.5)^2+(6-6.5)^2+(8-6.5)^2+(10-6.5)^2=35$，总离差平方和为$0+35=35$。
选项B：第一组{0,2}的平均数为1，离差平方和为$(0-1)^2+(2-1)^2=2$；第二组{6,8,10}的平均数为8，离差平方和为$(6-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2=8$，总离差平方和为$2+8=10$。
选项C：第一组{0,2,6}的平均数为$\frac{8}{3}$，离差平方和约为18.67；第二组{8,10}的平均数为9，离差平方和为2，总离差平方和约为20.67。
选项D：第一组{0,2,6,8}的平均数为4，离差平方和为40；第二组{10}离差平方和为0，总离差平方和为$40+0=40$。
对比可知选项B的总离差平方和最小。
【答案】
B
【知识点】
1.离差平方和的计算
2.数据的离散程度
3.平均数的计算
【点评】
本题重点考查对离差平方和意义的理解，解题核心是明确离差平方和越小，组内数据越集中。既可以通过直接计算验证结果，也可以通过观察相邻数据的最大间隙快速确定分组位置，提升解题速度。
【难度系数】
0.7
8.已知一组数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的方差等于6,则另一组数据$x_1+2,x_2+2,x_3+2,x_4+2,x_5+2$的方差等于
6
,离差平方和等于30
.答案
8.6 30
解析
【分析】
解题时可从方差的定义和性质入手思考：1. 方差反映的是数据的离散程度，当一组数据的每个数都加上同一个常数时，数据的波动幅度没有发生变化，因此方差大小不变，可直接得出第一空结果；2. 离差平方和是所有数据与平均数差的平方之和，它与方差的关系为：离差平方和=方差×数据总个数，代入数值即可计算出第二空的结果。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数为$\overline{x}$，根据方差公式可得原数据方差：
$s^2=\frac{1}{5}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2+(x_5-\overline{x})^2]=6$
新数据$x_1+2,x_2+2,x_3+2,x_4+2,x_5+2$的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{1}{5}[(x_1+2)+(x_2+2)+(x_3+2)+(x_4+2)+(x_5+2)]=\overline{x}+2$
新数据的方差为：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{5}[(x_1+2-\overline{x}')^2+(x_2+2-\overline{x}')^2+\dots+(x_5+2-\overline{x}')^2]\\&=\frac{1}{5}[(x_1+2-(\overline{x}+2))^2+(x_2+2-(\overline{x}+2))^2+\dots+(x_5+2-(\overline{x}+2))^2]\\&=\frac{1}{5}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_5-\overline{x})^2]\\&=s^2=6\end{aligned}$
离差平方和为方差乘以数据个数，即$5×6=30$。
【答案】
6；30
【知识点】
方差的性质；离差平方和计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，熟练掌握方差的变化规律可快速得出结果，解题时要注意区分方差和离差平方和的概念，牢记二者的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时可从方差的定义和性质入手思考：1. 方差反映的是数据的离散程度，当一组数据的每个数都加上同一个常数时，数据的波动幅度没有发生变化，因此方差大小不变，可直接得出第一空结果；2. 离差平方和是所有数据与平均数差的平方之和，它与方差的关系为：离差平方和=方差×数据总个数，代入数值即可计算出第二空的结果。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数为$\overline{x}$，根据方差公式可得原数据方差：
$s^2=\frac{1}{5}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2+(x_5-\overline{x})^2]=6$
新数据$x_1+2,x_2+2,x_3+2,x_4+2,x_5+2$的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{1}{5}[(x_1+2)+(x_2+2)+(x_3+2)+(x_4+2)+(x_5+2)]=\overline{x}+2$
新数据的方差为：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{5}[(x_1+2-\overline{x}')^2+(x_2+2-\overline{x}')^2+\dots+(x_5+2-\overline{x}')^2]\\&=\frac{1}{5}[(x_1+2-(\overline{x}+2))^2+(x_2+2-(\overline{x}+2))^2+\dots+(x_5+2-(\overline{x}+2))^2]\\&=\frac{1}{5}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_5-\overline{x})^2]\\&=s^2=6\end{aligned}$
离差平方和为方差乘以数据个数，即$5×6=30$。
【答案】
6；30
【知识点】
方差的性质；离差平方和计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，熟练掌握方差的变化规律可快速得出结果，解题时要注意区分方差和离差平方和的概念，牢记二者的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
