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1.(2025·广安)下列说法正确的是 (
A.相等的角是对顶角
B.正六边形的每个内角为$100°$
C.数据2,4,5,5,5,4,3的众数是4
D.方差越大,数据波动越大;方差越小,数据波动越小
D
)A.相等的角是对顶角
B.正六边形的每个内角为$100°$
C.数据2,4,5,5,5,4,3的众数是4
D.方差越大,数据波动越大;方差越小,数据波动越小
答案
1.D
解析
【分析】
本题为概念辨析类选择题，解题时需逐一核对每个选项对应的基础概念，通过回忆相关定义、公式及性质判断选项正误，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对顶角的性质是对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但同位角不是对顶角，故A错误；
B选项：根据多边形内角和公式：$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，每个内角为$720°÷6=120°$，不是$100°$，故B错误；
C选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，该组数据中5出现了3次，出现次数最多，因此众数是5，不是4，故C错误；
D选项：方差是衡量数据波动大小的统计量，方差越大，数据的离散程度越大，波动越大；方差越小，数据的离散程度越小，波动越小，该说法正确。
【答案】
D
【知识点】
对顶角的概念；多边形内角和计算；统计量的意义
【点评】
本题综合考查了几何基础概念和统计基础概念的辨析，属于基础题，解题的关键是准确理解相关概念，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
本题为概念辨析类选择题，解题时需逐一核对每个选项对应的基础概念，通过回忆相关定义、公式及性质判断选项正误，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对顶角的性质是对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但同位角不是对顶角，故A错误；
B选项：根据多边形内角和公式：$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，每个内角为$720°÷6=120°$，不是$100°$，故B错误；
C选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，该组数据中5出现了3次，出现次数最多，因此众数是5，不是4，故C错误；
D选项：方差是衡量数据波动大小的统计量，方差越大，数据的离散程度越大，波动越大；方差越小，数据的离散程度越小，波动越小，该说法正确。
【答案】
D
【知识点】
对顶角的概念；多边形内角和计算；统计量的意义
【点评】
本题综合考查了几何基础概念和统计基础概念的辨析，属于基础题，解题的关键是准确理解相关概念，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2.(2025·宿迁宿城区期中)对一组数据26,32,32,36,46,■7,52进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是 （
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
C
）A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先明确被涂污数字的特点：该数个位为7，仅十位数字未知。接下来逐一分析四类统计量的计算逻辑，判断其是否会随未知十位数字发生变化：平均数与所有数据的和相关，方差和平均数、各数据偏离平均数的程度相关，中位数和排序后中间位置的数相关，众数和出现次数最多的数相关，结合这些特点逐一排查选项即可。
【解析】
设被涂污的十位数字为$ x $，则被涂污的数为$ 10x+7 $（$ x $为1~9的整数）。
选项A：平均数 = 所有数据之和÷7，数据总和为$ 26+32+32+36+46+(10x+7)+52=231+10x $，总和随$ x $变化，因此平均数和被涂污数字有关，排除A；
选项B：7个数据排序后，中位数是第4个数据。若$ x≤2 $，被涂污的数≤27，排序后第4个数为32；若$ x≥3 $，被涂污的数≥37，排序后第4个数为36，中位数随$ x $变化，排除B；
选项C：现有数据中32出现2次，其余数均只出现1次，被涂污的数个位为7，不可能等于32，因此无论$ x $取何值，32都是出现次数最多的数，众数始终为32，和被涂污数字无关；
选项D：方差的计算和平均数、每个数据的取值都有关，平均数随$ x $变化，因此方差和被涂污数字有关，排除D。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
众数的定义；中位数的定义；统计量的含义
【点评】
本题考查对不同统计量特点的掌握，解题核心是清楚每个统计量的影响因素，结合被涂污数的特征即可快速判断，是统计部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先明确被涂污数字的特点：该数个位为7，仅十位数字未知。接下来逐一分析四类统计量的计算逻辑，判断其是否会随未知十位数字发生变化：平均数与所有数据的和相关，方差和平均数、各数据偏离平均数的程度相关，中位数和排序后中间位置的数相关，众数和出现次数最多的数相关，结合这些特点逐一排查选项即可。
【解析】
设被涂污的十位数字为$ x $，则被涂污的数为$ 10x+7 $（$ x $为1~9的整数）。
选项A：平均数 = 所有数据之和÷7，数据总和为$ 26+32+32+36+46+(10x+7)+52=231+10x $，总和随$ x $变化，因此平均数和被涂污数字有关，排除A；
选项B：7个数据排序后，中位数是第4个数据。若$ x≤2 $，被涂污的数≤27，排序后第4个数为32；若$ x≥3 $，被涂污的数≥37，排序后第4个数为36，中位数随$ x $变化，排除B；
选项C：现有数据中32出现2次，其余数均只出现1次，被涂污的数个位为7，不可能等于32，因此无论$ x $取何值，32都是出现次数最多的数，众数始终为32，和被涂污数字无关；
选项D：方差的计算和平均数、每个数据的取值都有关，平均数随$ x $变化，因此方差和被涂污数字有关，排除D。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
众数的定义；中位数的定义；统计量的含义
【点评】
本题考查对不同统计量特点的掌握，解题核心是清楚每个统计量的影响因素，结合被涂污数的特征即可快速判断，是统计部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
3.(2025·山西)下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温.比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况,下列说法正确的是 (
A.日最高气温的波动大
B.日最低气温的波动大
C.一样大
D.无法比较
A
)A.日最高气温的波动大
B.日最低气温的波动大
C.一样大
D.无法比较
答案
3.A
解析
【分析】
要比较两组气温的波动大小，本质是比较两组数据的离散程度，我们可以通过计算方差来判断：方差越大，数据的波动越大。解题时先分别提取日最高气温、日最低气温的两组数据，再依次计算两组数据的平均数、方差，最后比较方差大小就能得出结论。
【解析】
首先提取两组数据：
日最高气温：12，6，10，9，8
日最低气温：1，-2，-1，0，2
1. 计算日最高气温的相关统计量：
平均气温$\overline{x}_高=\frac{12+6+10+9+8}{5}=9(℃)$
方差$s^2_高=\frac{1}{5}[(12-9)^2+(6-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2]=\frac{1}{5}×(9+9+1+0+1)=4$
2. 计算日最低气温的相关统计量：
平均气温$\overline{x}_低=\frac{1+(-2)+(-1)+0+2}{5}=0(℃)$
方差$s^2_低=\frac{1}{5}[(1-0)^2+(-2-0)^2+(-1-0)^2+(0-0)^2+(2-0)^2]=\frac{1}{5}×(1+4+1+0+4)=2$
因为$s^2_高＞s^2_低$，说明日最高气温的波动更大。
【答案】
A
【知识点】
方差的计算，方差的意义，数据波动比较
【点评】
本题考查数据离散程度的实际应用，解题关键是明确方差是衡量数据波动大小的统计量，方差越大波动越大，计算过程中注意正负数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
要比较两组气温的波动大小，本质是比较两组数据的离散程度，我们可以通过计算方差来判断：方差越大，数据的波动越大。解题时先分别提取日最高气温、日最低气温的两组数据，再依次计算两组数据的平均数、方差，最后比较方差大小就能得出结论。
【解析】
首先提取两组数据：
日最高气温：12，6，10，9，8
日最低气温：1，-2，-1，0，2
1. 计算日最高气温的相关统计量：
平均气温$\overline{x}_高=\frac{12+6+10+9+8}{5}=9(℃)$
方差$s^2_高=\frac{1}{5}[(12-9)^2+(6-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2]=\frac{1}{5}×(9+9+1+0+1)=4$
2. 计算日最低气温的相关统计量：
平均气温$\overline{x}_低=\frac{1+(-2)+(-1)+0+2}{5}=0(℃)$
方差$s^2_低=\frac{1}{5}[(1-0)^2+(-2-0)^2+(-1-0)^2+(0-0)^2+(2-0)^2]=\frac{1}{5}×(1+4+1+0+4)=2$
因为$s^2_高＞s^2_低$，说明日最高气温的波动更大。
【答案】
A
【知识点】
方差的计算，方差的意义，数据波动比较
【点评】
本题考查数据离散程度的实际应用，解题关键是明确方差是衡量数据波动大小的统计量，方差越大波动越大，计算过程中注意正负数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
4.数据2026，2022，2025，2023，2024的方差是
2
.答案
4.2
5.计算下列三组数据的方差，然后回答问题：
A:8,9,10,11,12;B:18,19,20,21,22;C:24,27,30,33,36.
通过计算，我们发现其中存在怎样的规律？
A:8,9,10,11,12;B:18,19,20,21,22;C:24,27,30,33,36.
通过计算，我们发现其中存在怎样的规律？
答案
解:$\overline{x}_A=\frac{1}{5}×(8+9+10+11+12)=10$,$s_A^2=\frac{1}{5}×[(8-10)^2+(9-10)^2+(10-10)^2+(11-10)^2+(12-10)^2]=2$,
$\overline{x}_B=\frac{1}{5}×(18+19+20+21+22)=20$,$s_B^2=\frac{1}{5}×[(18-20)^2+(19-20)^2+(20-20)^2+(21-20)^2+(22-20)^2]=2$,
$\overline{x}_C=\frac{1}{5}×(24+27+30+33+36)=30$,$s_C^2=\frac{1}{5}×[(24-30)^2+(27-30)^2+(30-30)^2+(33-30)^2+(36-30)^2]=18$.
规律:若一组数据 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的方差为 $m$,则新数据 $x_1+b,x_2+b,\dots,x_n+b$ 的方差为 $m$; 新数据 $ax_1,ax_2,\dots,ax_n$ 的方差为 $a^2m$.
$\overline{x}_B=\frac{1}{5}×(18+19+20+21+22)=20$,$s_B^2=\frac{1}{5}×[(18-20)^2+(19-20)^2+(20-20)^2+(21-20)^2+(22-20)^2]=2$,
$\overline{x}_C=\frac{1}{5}×(24+27+30+33+36)=30$,$s_C^2=\frac{1}{5}×[(24-30)^2+(27-30)^2+(30-30)^2+(33-30)^2+(36-30)^2]=18$.
规律:若一组数据 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的方差为 $m$,则新数据 $x_1+b,x_2+b,\dots,x_n+b$ 的方差为 $m$; 新数据 $ax_1,ax_2,\dots,ax_n$ 的方差为 $a^2m$.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确方差的计算步骤：第一步先计算每组数据的平均数，第二步代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算三组数据的方差；再对比三组数据的关系：B组每个数据是A组对应数据加10得到，C组每个数据是A组对应数据乘3得到，结合三组方差的计算结果，即可总结出相应的规律。
【解析】
先计算A组的平均数和方差：
$\overline{x}_A=\frac{1}{5}×(8+9+10+11+12)=10$，
$s_A^2=\frac{1}{5}×[(8-10)^2+(9-10)^2+(10-10)^2+(11-10)^2+(12-10)^2]=\frac{1}{5}×(4+1+0+1+4)=2$；
再计算B组的平均数和方差：
$\overline{x}_B=\frac{1}{5}×(18+19+20+21+22)=20$，
$s_B^2=\frac{1}{5}×[(18-20)^2+(19-20)^2+(20-20)^2+(21-20)^2+(22-20)^2]=\frac{1}{5}×(4+1+0+1+4)=2$；
再计算C组的平均数和方差：
$\overline{x}_C=\frac{1}{5}×(24+27+30+33+36)=30$，
$s_C^2=\frac{1}{5}×[(24-30)^2+(27-30)^2+(30-30)^2+(33-30)^2+(36-30)^2]=\frac{1}{5}×(36+9+0+9+36)=18$；
对比三组数据和方差结果：B组是A组每个数据加10得到，方差和A组相等；C组是A组每个数据乘3得到，方差是A组的$3^2=9$倍，由此总结规律。
【答案】
$s_A^2=2$，$s_B^2=2$，$s_C^2=18$；规律：若一组数据 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的方差为 $m$，则新数据 $x_1+b,x_2+b,\dots,x_n+b$ 的方差为 $m$；新数据 $ax_1,ax_2,\dots,ax_n$ 的方差为 $a^2m$。
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的性质
【点评】
本题通过计算三组数据的方差，引导学生自主总结方差的变化规律，既考查了方差的基础计算能力，又能加深对数据变换后方差变化特点的理解，细心计算是避免出错的关键。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确方差的计算步骤：第一步先计算每组数据的平均数，第二步代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算三组数据的方差；再对比三组数据的关系：B组每个数据是A组对应数据加10得到，C组每个数据是A组对应数据乘3得到，结合三组方差的计算结果，即可总结出相应的规律。
【解析】
先计算A组的平均数和方差：
$\overline{x}_A=\frac{1}{5}×(8+9+10+11+12)=10$，
$s_A^2=\frac{1}{5}×[(8-10)^2+(9-10)^2+(10-10)^2+(11-10)^2+(12-10)^2]=\frac{1}{5}×(4+1+0+1+4)=2$；
再计算B组的平均数和方差：
$\overline{x}_B=\frac{1}{5}×(18+19+20+21+22)=20$，
$s_B^2=\frac{1}{5}×[(18-20)^2+(19-20)^2+(20-20)^2+(21-20)^2+(22-20)^2]=\frac{1}{5}×(4+1+0+1+4)=2$；
再计算C组的平均数和方差：
$\overline{x}_C=\frac{1}{5}×(24+27+30+33+36)=30$，
$s_C^2=\frac{1}{5}×[(24-30)^2+(27-30)^2+(30-30)^2+(33-30)^2+(36-30)^2]=\frac{1}{5}×(36+9+0+9+36)=18$；
对比三组数据和方差结果：B组是A组每个数据加10得到，方差和A组相等；C组是A组每个数据乘3得到，方差是A组的$3^2=9$倍，由此总结规律。
【答案】
$s_A^2=2$，$s_B^2=2$，$s_C^2=18$；规律：若一组数据 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的方差为 $m$，则新数据 $x_1+b,x_2+b,\dots,x_n+b$ 的方差为 $m$；新数据 $ax_1,ax_2,\dots,ax_n$ 的方差为 $a^2m$。
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的性质
【点评】
本题通过计算三组数据的方差，引导学生自主总结方差的变化规律，既考查了方差的基础计算能力，又能加深对数据变换后方差变化特点的理解，细心计算是避免出错的关键。
【难度系数】
0.7
6.(2025·宿迁宿城区期中)已知一组数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数是4，方差是3，那么另一组数据$2x_1-3,2x_2-3,2x_3-3,2x_4-3,2x_5-3$的平均数和方差分别是（
A.5,12
B.5,3
C.6,12
D.6,3
A
）A.5,12
B.5,3
C.6,12
D.6,3
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件为原数据的平均数和方差，目标是求经过“乘2减3”线性变换后的新数据的平均数和方差。我们可以通过两种符合九年级知识要求的思路求解：一是直接利用平均数、方差的变化规律快速计算；二是通过平均数、方差的定义公式推导，避免记错规律，两种方法的核心都是抓住统计量的计算本质。
【解析】
步骤1：计算新数据的平均数
已知原数据平均数$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}=4$，
新数据的平均数：
$\begin{aligned}\bar{x}'&=\frac{(2x_1-3)+(2x_2-3)+(2x_3-3)+(2x_4-3)+(2x_5-3)}{5}\\&=\frac{2(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)-15}{5}\\&=2×\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}-3\\&=2×4-3=5\end{aligned}$
步骤2：计算新数据的方差
已知原方差$s^2=\frac{1}{5}[(x_1-4)^2+(x_2-4)^2+(x_3-4)^2+(x_4-4)^2+(x_5-4)^2]=3$，
新数据的方差：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{5}[(2x_1-3-5)^2+(2x_2-3-5)^2+\dots+(2x_5-3-5)^2]\\&=\frac{1}{5}[(2(x_1-4))^2+(2(x_2-4))^2+\dots+(2(x_5-4))^2]\\&=\frac{1}{5}[4(x_1-4)^2+4(x_2-4)^2+\dots+4(x_5-4)^2]\\&=4×\frac{1}{5}[(x_1-4)^2+(x_2-4)^2+\dots+(x_5-4)^2]\\&=4×3=12\end{aligned}$
因此新数据的平均数为5，方差为12，对应选项A。
【答案】A
【知识点】
平均数的性质，方差的性质
【点评】
本题考查数据线性变换后统计量的变化规律，既可以通过定义推导计算，也可以直接用规律快速求解，属于基础题型，熟练掌握相关性质可以大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件为原数据的平均数和方差，目标是求经过“乘2减3”线性变换后的新数据的平均数和方差。我们可以通过两种符合九年级知识要求的思路求解：一是直接利用平均数、方差的变化规律快速计算；二是通过平均数、方差的定义公式推导，避免记错规律，两种方法的核心都是抓住统计量的计算本质。
【解析】
步骤1：计算新数据的平均数
已知原数据平均数$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}=4$，
新数据的平均数：
$\begin{aligned}\bar{x}'&=\frac{(2x_1-3)+(2x_2-3)+(2x_3-3)+(2x_4-3)+(2x_5-3)}{5}\\&=\frac{2(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)-15}{5}\\&=2×\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}-3\\&=2×4-3=5\end{aligned}$
步骤2：计算新数据的方差
已知原方差$s^2=\frac{1}{5}[(x_1-4)^2+(x_2-4)^2+(x_3-4)^2+(x_4-4)^2+(x_5-4)^2]=3$，
新数据的方差：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{5}[(2x_1-3-5)^2+(2x_2-3-5)^2+\dots+(2x_5-3-5)^2]\\&=\frac{1}{5}[(2(x_1-4))^2+(2(x_2-4))^2+\dots+(2(x_5-4))^2]\\&=\frac{1}{5}[4(x_1-4)^2+4(x_2-4)^2+\dots+4(x_5-4)^2]\\&=4×\frac{1}{5}[(x_1-4)^2+(x_2-4)^2+\dots+(x_5-4)^2]\\&=4×3=12\end{aligned}$
因此新数据的平均数为5，方差为12，对应选项A。
【答案】A
【知识点】
平均数的性质，方差的性质
【点评】
本题考查数据线性变换后统计量的变化规律，既可以通过定义推导计算，也可以直接用规律快速求解，属于基础题型，熟练掌握相关性质可以大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.7
7.冉冉的妈妈在网上销售装饰品.最近一周,每天销售某种装饰品的个数为11,10,11,13,11,13,15.关于这组数据,冉冉得出如下结论,其中错误的是 (
A.众数是11
B.平均数是12
C.方差是$\frac{18}{7}$
D.中位数是13
D
)A.众数是11
B.平均数是12
C.方差是$\frac{18}{7}$
D.中位数是13
答案
7.D
解析
【分析】
这道题考查常见统计量的计算与判断，解题思路如下：首先将给定的7个数据按从小到大排序，再分别依据众数、中位数、平均数、方差的定义逐一计算对应数值，最后将计算结果和四个选项对比，就能找出错误的结论。
【解析】
首先将这组数据从小到大排序为：10，11，11，11，13，13，15。
1. 验证A选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，11共出现3次，出现次数最多，故众数是11，A选项结论正确。
2. 验证B选项：平均数为所有数据之和除以数据个数，总和$=10+11+11+11+13+13+15=84$，平均数$=84÷7=12$，B选项结论正确。
3. 验证C选项：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{7}[(10-12)^2+3×(11-12)^2+2×(13-12)^2+(15-12)^2]$
$=\frac{1}{7}(4+3×1+2×1+9)=\frac{18}{7}$，C选项结论正确。
4. 验证D选项：中位数是排序后位于中间位置的数，7个数据的中位数是第4个数据，即11，不是13，D选项结论错误。
综上，错误的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
众数，中位数，方差与平均数
【点评】
本题属于基础统计题型，核心是掌握各统计量的定义和计算方法，注意计算中位数前要先对数据排序，计算方差时要准确代入数值避免运算错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查常见统计量的计算与判断，解题思路如下：首先将给定的7个数据按从小到大排序，再分别依据众数、中位数、平均数、方差的定义逐一计算对应数值，最后将计算结果和四个选项对比，就能找出错误的结论。
【解析】
首先将这组数据从小到大排序为：10，11，11，11，13，13，15。
1. 验证A选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，11共出现3次，出现次数最多，故众数是11，A选项结论正确。
2. 验证B选项：平均数为所有数据之和除以数据个数，总和$=10+11+11+11+13+13+15=84$，平均数$=84÷7=12$，B选项结论正确。
3. 验证C选项：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{7}[(10-12)^2+3×(11-12)^2+2×(13-12)^2+(15-12)^2]$
$=\frac{1}{7}(4+3×1+2×1+9)=\frac{18}{7}$，C选项结论正确。
4. 验证D选项：中位数是排序后位于中间位置的数，7个数据的中位数是第4个数据，即11，不是13，D选项结论错误。
综上，错误的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
众数，中位数，方差与平均数
【点评】
本题属于基础统计题型，核心是掌握各统计量的定义和计算方法，注意计算中位数前要先对数据排序，计算方差时要准确代入数值避免运算错误。
【难度系数】
0.8
