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7.一组数据:31,32,35,37,35,这组数据的离差平方和为 （
A.23
B.24
C.25
D.26
B
）A.23
B.24
C.25
D.26
答案
7.B
解析
【分析】
要计算这组数据的离差平方和，需按三步进行：第一步先求出这组数据的平均数；第二步分别计算每个数据与平均数的差的平方；第三步将所有差的平方相加，得到的结果就是离差平方和，按该步骤逐步计算即可得到正确结果。
【解析】
首先计算这组数据的平均数：
数据总和 = 31 + 32 + 35 + 37 + 35 = 170
平均数$\bar{x}$ = 170 ÷ 5 = 34
接下来计算每个数据与平均数的差的平方：
$(31-34)^2 = (-3)^2 = 9$
$(32-34)^2 = (-2)^2 = 4$
$(35-34)^2 = 1^2 = 1$
$(37-34)^2 = 3^2 = 9$
$(35-34)^2 = 1^2 = 1$
最后求和得到离差平方和：
$9 + 4 + 1 + 9 + 1 = 24$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均数计算
2. 离差平方和计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考察离差平方和的计算逻辑，只要牢记计算步骤，运算时细心，就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
要计算这组数据的离差平方和，需按三步进行：第一步先求出这组数据的平均数；第二步分别计算每个数据与平均数的差的平方；第三步将所有差的平方相加，得到的结果就是离差平方和，按该步骤逐步计算即可得到正确结果。
【解析】
首先计算这组数据的平均数：
数据总和 = 31 + 32 + 35 + 37 + 35 = 170
平均数$\bar{x}$ = 170 ÷ 5 = 34
接下来计算每个数据与平均数的差的平方：
$(31-34)^2 = (-3)^2 = 9$
$(32-34)^2 = (-2)^2 = 4$
$(35-34)^2 = 1^2 = 1$
$(37-34)^2 = 3^2 = 9$
$(35-34)^2 = 1^2 = 1$
最后求和得到离差平方和：
$9 + 4 + 1 + 9 + 1 = 24$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均数计算
2. 离差平方和计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考察离差平方和的计算逻辑，只要牢记计算步骤，运算时细心，就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
8.(2025·烟台)求一组数据方差的算式为：$s^2=\frac{1}{n}[(6-\bar{x})^2+(8-\bar{x})^2+(8-\bar{x})^2+(6-\bar{x})^2+(7-\bar{x})^2]$. 由算式提供的信息，下列说法错误的是（
A.$n$的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差变小
C
）A.$n$的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差变小
答案
8.C
解析
【分析】
解题时先回忆方差的定义公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，其中$n$是样本容量，$\bar{x}$是样本平均数，$x_1,x_2,\dots,x_n$是原始数据。首先根据给出的方差算式确定样本容量$n$和原始数据，再依次计算平均数、众数，验证加入新数据后的方差变化，逐一判断选项对错即可。
【解析】
根据方差公式的结构分析各选项：
1. 给出的算式中共有5个平方项，因此样本容量$n=5$，A选项说法正确，不符合题意；
2. 提取这组原始数据为6、8、8、6、7，计算平均数：$\bar{x}=\frac{6+8+8+6+7}{5}=\frac{35}{5}=7$，B选项说法正确，不符合题意；
3. 这组数据中6和8都出现了2次，出现次数最多，因此众数是6和8，不是只有6，C选项说法错误，符合题意；
4. 计算原方差：$s^2=\frac{1}{5}[(6-7)^2×2+(8-7)^2×2+(7-7)^2]=\frac{4}{5}=0.8$；加入两个7后，新数据的平均数仍为7，新方差为$s'^2=\frac{1}{7}[(6-7)^2×2+(8-7)^2×2+(7-7)^2×3]=\frac{4}{7}\approx0.57＜0.8$，方差变小，D选项说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
方差的概念；平均数的计算；众数的定义
【点评】
本题考查统计中常见特征量的计算与判断，解题关键是能从方差公式中提取有效数据信息，注意众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，加入和原平均数相等的数时，数据的波动会变小，方差减小。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆方差的定义公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，其中$n$是样本容量，$\bar{x}$是样本平均数，$x_1,x_2,\dots,x_n$是原始数据。首先根据给出的方差算式确定样本容量$n$和原始数据，再依次计算平均数、众数，验证加入新数据后的方差变化，逐一判断选项对错即可。
【解析】
根据方差公式的结构分析各选项：
1. 给出的算式中共有5个平方项，因此样本容量$n=5$，A选项说法正确，不符合题意；
2. 提取这组原始数据为6、8、8、6、7，计算平均数：$\bar{x}=\frac{6+8+8+6+7}{5}=\frac{35}{5}=7$，B选项说法正确，不符合题意；
3. 这组数据中6和8都出现了2次，出现次数最多，因此众数是6和8，不是只有6，C选项说法错误，符合题意；
4. 计算原方差：$s^2=\frac{1}{5}[(6-7)^2×2+(8-7)^2×2+(7-7)^2]=\frac{4}{5}=0.8$；加入两个7后，新数据的平均数仍为7，新方差为$s'^2=\frac{1}{7}[(6-7)^2×2+(8-7)^2×2+(7-7)^2×3]=\frac{4}{7}\approx0.57＜0.8$，方差变小，D选项说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
方差的概念；平均数的计算；众数的定义
【点评】
本题考查统计中常见特征量的计算与判断，解题关键是能从方差公式中提取有效数据信息，注意众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，加入和原平均数相等的数时，数据的波动会变小，方差减小。
【难度系数】
0.7
9.(2025·宿迁沭阳县期中)一组数据2,3,x,4的众数与中位数相等,则这组数据的方差是
$\frac{1}{2}$
.答案
9.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确众数、中位数、方差的定义，解题思路如下：① 众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据现有数均只出现1次，因此众数由x的取值决定，分众数为2、3、4三种情况讨论；② 4个数据的中位数是排序后第2、3个数的平均数，结合“众数与中位数相等”的条件筛选出符合要求的x值；③ 代入x值后先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算方差即可。
【解析】
分三种情况讨论x的取值：
1. 若众数为2，则$x=2$，将数据从小到大排序为2,2,3,4，中位数为$\frac{2+3}{2}=2.5$，众数2≠中位数2.5，不符合题意，舍去；
2. 若众数为3，则$x=3$，将数据从小到大排序为2,3,3,4，中位数为$\frac{3+3}{2}=3$，众数3=中位数3，符合题意；
3. 若众数为4，则$x=4$，将数据从小到大排序为2,3,4,4，中位数为$\frac{3+4}{2}=3.5$，众数4≠中位数3.5，不符合题意，舍去。
因此$x=3$，这组数据为2,3,3,4。
先计算平均数：$\overline{x}=\frac{2+3+3+4}{4}=3$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
$s^2=\frac{1}{4}[(2-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2]=\frac{1}{4}×(1+0+0+1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
众数；中位数；方差的计算
【点评】
本题需要结合众数和中位数的特征分类讨论确定未知量的取值，再代入方差公式计算，解题时注意不要遗漏分类情况，同时要牢记方差的计算公式。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需先明确众数、中位数、方差的定义，解题思路如下：① 众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据现有数均只出现1次，因此众数由x的取值决定，分众数为2、3、4三种情况讨论；② 4个数据的中位数是排序后第2、3个数的平均数，结合“众数与中位数相等”的条件筛选出符合要求的x值；③ 代入x值后先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算方差即可。
【解析】
分三种情况讨论x的取值：
1. 若众数为2，则$x=2$，将数据从小到大排序为2,2,3,4，中位数为$\frac{2+3}{2}=2.5$，众数2≠中位数2.5，不符合题意，舍去；
2. 若众数为3，则$x=3$，将数据从小到大排序为2,3,3,4，中位数为$\frac{3+3}{2}=3$，众数3=中位数3，符合题意；
3. 若众数为4，则$x=4$，将数据从小到大排序为2,3,4,4，中位数为$\frac{3+4}{2}=3.5$，众数4≠中位数3.5，不符合题意，舍去。
因此$x=3$，这组数据为2,3,3,4。
先计算平均数：$\overline{x}=\frac{2+3+3+4}{4}=3$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
$s^2=\frac{1}{4}[(2-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2]=\frac{1}{4}×(1+0+0+1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
众数；中位数；方差的计算
【点评】
本题需要结合众数和中位数的特征分类讨论确定未知量的取值，再代入方差公式计算，解题时注意不要遗漏分类情况，同时要牢记方差的计算公式。
【难度系数】
0.7
10.已知第一组数据$x_1,x_2,x_3,x_4$的方差为$s_1^2$；第二组数据$x_1-2,x_2,x_3,x_4+2$的方差为$s_2^2$，其中$x_1＜x_2＜x_3＜x_4$，则$s_1^2,s_2^2$的大小关系为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
10.$s_1^2＜s_2^2$
解析
【分析】
要比较两组数据的方差大小，可通过两种思路解题：①公式推导法：方差是各数据与平均数差的平方的平均数，先求出两组数据的平均数，发现两组平均数相等，再比较离均差平方和的大小即可判断方差大小；②特殊值法：给$x_1∼ x_4$赋予符合$x_1＜x_2＜x_3＜x_4$的具体数值，分别计算两组方差后直接比较，解题更快捷。
【解析】
方法一：公式推导
设第一组数据$x_1,x_2,x_3,x_4$的平均数为$\overline{x}$，则$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}$。
计算第二组数据的平均数：
$\overline{x}'=\frac{(x_1-2)+x_2+x_3+(x_4+2)}{4}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}=\overline{x}$，即两组数据平均数相等。
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$：
第一组方差的分子部分：$S_1=(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2$
第二组方差的分子部分：
$S_2=(x_1-2-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4+2-\overline{x})^2$
将$S_2$与$S_1$作差，相同项抵消后剩余：
$S_2-S_1=(x_1-\overline{x}-2)^2+(x_4-\overline{x}+2)^2 - [(x_1-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2]$
展开化简得：
$=4(\overline{x}-x_1)+4(x_4-\overline{x})+8=4(x_4 -x_1)+8$
已知$x_1＜x_4$，则$x_4-x_1＞0$，因此$S_2-S_1＞0$，即$S_2＞S_1$，两组数据个数相同，故$s_1^2＜s_2^2$。
方法二：特殊值验证
取符合条件的数值：令$x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4$，
第一组平均数$\overline{x}=\frac{1+2+3+4}{4}=2.5$，
$s_1^2=\frac{1}{4}[(1-2.5)^2+(2-2.5)^2+(3-2.5)^2+(4-2.5)^2]=1.25$；
第二组数据为$-1,2,3,6$，平均数仍为2.5，
$s_2^2=\frac{1}{4}[(-1-2.5)^2+(2-2.5)^2+(3-2.5)^2+(6-2.5)^2]=6.25$，
显然$1.25＜6.25$，即$s_1^2＜s_2^2$。
【答案】
$s_1^2 ＜ s_2^2$
【知识点】
1.方差的计算 2.平均数的计算 3.方差的意义
【点评】
本题既可以通过方差公式严谨推导得出结论，也可以用特殊值法快速求解，解题核心是先判断两组数据平均数相等，再通过比较离均差平方和的大小判断方差，也可结合方差意义直观判断：最小数减小、最大数增大后，数据离散程度变大，方差也随之变大。
【难度系数】
0.6
要比较两组数据的方差大小，可通过两种思路解题：①公式推导法：方差是各数据与平均数差的平方的平均数，先求出两组数据的平均数，发现两组平均数相等，再比较离均差平方和的大小即可判断方差大小；②特殊值法：给$x_1∼ x_4$赋予符合$x_1＜x_2＜x_3＜x_4$的具体数值，分别计算两组方差后直接比较，解题更快捷。
【解析】
方法一：公式推导
设第一组数据$x_1,x_2,x_3,x_4$的平均数为$\overline{x}$，则$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}$。
计算第二组数据的平均数：
$\overline{x}'=\frac{(x_1-2)+x_2+x_3+(x_4+2)}{4}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}=\overline{x}$，即两组数据平均数相等。
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$：
第一组方差的分子部分：$S_1=(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2$
第二组方差的分子部分：
$S_2=(x_1-2-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4+2-\overline{x})^2$
将$S_2$与$S_1$作差，相同项抵消后剩余：
$S_2-S_1=(x_1-\overline{x}-2)^2+(x_4-\overline{x}+2)^2 - [(x_1-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2]$
展开化简得：
$=4(\overline{x}-x_1)+4(x_4-\overline{x})+8=4(x_4 -x_1)+8$
已知$x_1＜x_4$，则$x_4-x_1＞0$，因此$S_2-S_1＞0$，即$S_2＞S_1$，两组数据个数相同，故$s_1^2＜s_2^2$。
方法二：特殊值验证
取符合条件的数值：令$x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4$，
第一组平均数$\overline{x}=\frac{1+2+3+4}{4}=2.5$，
$s_1^2=\frac{1}{4}[(1-2.5)^2+(2-2.5)^2+(3-2.5)^2+(4-2.5)^2]=1.25$；
第二组数据为$-1,2,3,6$，平均数仍为2.5，
$s_2^2=\frac{1}{4}[(-1-2.5)^2+(2-2.5)^2+(3-2.5)^2+(6-2.5)^2]=6.25$，
显然$1.25＜6.25$，即$s_1^2＜s_2^2$。
【答案】
$s_1^2 ＜ s_2^2$
【知识点】
1.方差的计算 2.平均数的计算 3.方差的意义
【点评】
本题既可以通过方差公式严谨推导得出结论，也可以用特殊值法快速求解，解题核心是先判断两组数据平均数相等，再通过比较离均差平方和的大小判断方差，也可结合方差意义直观判断：最小数减小、最大数增大后，数据离散程度变大，方差也随之变大。
【难度系数】
0.6
11.(泗阳期末)省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩(单位:环)如下表.
(1)根据表格中的数据，可计算出甲的平均成绩是
(2)已知乙的平均成绩是9环，试计算其第二次的测试成绩；
(3)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差，根据计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由.
(1)根据表格中的数据，可计算出甲的平均成绩是
9
环；(2)已知乙的平均成绩是9环，试计算其第二次的测试成绩；
(3)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差，根据计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由.
答案
11.(1)9
(2)解:$\because9×6-(10×3+9+8)=54-47=7$(环),
$\therefore$乙第二次的测试成绩为7环.
(3)解:推荐甲参加全国比赛更合适,理由如下:
$\because s_甲^2=\frac{1}{6}×[(10-9)^2+(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2]=\frac{1}{6}×(1+1+0+1+1+0)=\frac{2}{3}(环^2),s_乙^2=\frac{1}{6}×[(10-9)^2+(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2]=\frac{1}{6}×(1+4+1+1+0+1)=\frac{4}{3}(环^2).$
$\therefore$两人的平均成绩相等,说明实力相当,但甲的六次测试成绩的方差比乙小,说明甲发挥较为稳定,故推荐甲参加全国比赛更合适.
(2)解:$\because9×6-(10×3+9+8)=54-47=7$(环),
$\therefore$乙第二次的测试成绩为7环.
(3)解:推荐甲参加全国比赛更合适,理由如下:
$\because s_甲^2=\frac{1}{6}×[(10-9)^2+(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2]=\frac{1}{6}×(1+1+0+1+1+0)=\frac{2}{3}(环^2),s_乙^2=\frac{1}{6}×[(10-9)^2+(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2]=\frac{1}{6}×(1+4+1+1+0+1)=\frac{4}{3}(环^2).$
$\therefore$两人的平均成绩相等,说明实力相当,但甲的六次测试成绩的方差比乙小,说明甲发挥较为稳定,故推荐甲参加全国比赛更合适.
解析
【分析】
本题分三个小问，可按以下思路逐步求解：
(1) 求甲的平均成绩，根据平均数的定义，将甲六次测试成绩求和，再除以测试次数6即可得到结果；
(2) 已知乙的平均成绩，先计算乙六次测试的总成绩（平均成绩×测试次数），再用总成绩减去其余五次已知成绩，即可求出第二次的测试成绩；
(3) 先根据方差公式分别计算甲、乙成绩的方差，方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小说明成绩越稳定，结合两人平均成绩相等的前提，选择方差更小的运动员参赛更合适。
【解析】
(1) 甲的六次测试成绩为10、8、9、8、10、9，平均成绩计算如下：
$\overline{x}_甲=\frac{10+8+9+8+10+9}{6}=\frac{54}{6}=9$（环）
(2) 乙的平均成绩为9环，因此六次测试总成绩为$9×6=54$环，
已知乙其余五次成绩为10、10、10、9、8，因此第二次成绩为：
$54-(10+10+10+9+8)=54-47=7$（环）
(3) 根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
$s_甲^2=\frac{1}{6}×[(10-9)^2+(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2]=\frac{1}{6}×(1+1+0+1+1+0)=\frac{2}{3}(\mathrm{环}^2)$
$s_乙^2=\frac{1}{6}×[(10-9)^2+(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2]=\frac{1}{6}×(1+4+1+1+0+1)=\frac{4}{3}(\mathrm{环}^2)$
两人平均成绩相等说明实力相当，甲的六次测试成绩方差比乙小，说明甲发挥更稳定。
【答案】
(1) $\boxed{9}$
(2) $\boxed{7}$环
(3) 推荐甲参加全国比赛更合适，理由：两人平均成绩相同，甲的测试成绩方差更小，发挥更稳定。
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景考查统计量的应用，解题核心是熟练掌握平均数、方差的计算方法，理解方差越小数据波动越小、状态越稳定的性质，能结合统计量的实际意义解决决策类问题。
【难度系数】
0.8
本题分三个小问，可按以下思路逐步求解：
(1) 求甲的平均成绩，根据平均数的定义，将甲六次测试成绩求和，再除以测试次数6即可得到结果；
(2) 已知乙的平均成绩，先计算乙六次测试的总成绩（平均成绩×测试次数），再用总成绩减去其余五次已知成绩，即可求出第二次的测试成绩；
(3) 先根据方差公式分别计算甲、乙成绩的方差，方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小说明成绩越稳定，结合两人平均成绩相等的前提，选择方差更小的运动员参赛更合适。
【解析】
(1) 甲的六次测试成绩为10、8、9、8、10、9，平均成绩计算如下：
$\overline{x}_甲=\frac{10+8+9+8+10+9}{6}=\frac{54}{6}=9$（环）
(2) 乙的平均成绩为9环，因此六次测试总成绩为$9×6=54$环，
已知乙其余五次成绩为10、10、10、9、8，因此第二次成绩为：
$54-(10+10+10+9+8)=54-47=7$（环）
(3) 根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
$s_甲^2=\frac{1}{6}×[(10-9)^2+(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2]=\frac{1}{6}×(1+1+0+1+1+0)=\frac{2}{3}(\mathrm{环}^2)$
$s_乙^2=\frac{1}{6}×[(10-9)^2+(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2]=\frac{1}{6}×(1+4+1+1+0+1)=\frac{4}{3}(\mathrm{环}^2)$
两人平均成绩相等说明实力相当，甲的六次测试成绩方差比乙小，说明甲发挥更稳定。
【答案】
(1) $\boxed{9}$
(2) $\boxed{7}$环
(3) 推荐甲参加全国比赛更合适，理由：两人平均成绩相同，甲的测试成绩方差更小，发挥更稳定。
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景考查统计量的应用，解题核心是熟练掌握平均数、方差的计算方法，理解方差越小数据波动越小、状态越稳定的性质，能结合统计量的实际意义解决决策类问题。
【难度系数】
0.8
12.已知数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\bar{x}$，则$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，求证：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-n\bar{x}^2]$。
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-n\bar{x}^2]$。
答案
12.证明:$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
$=\frac{1}{n}[(x_1^2-2x_1\bar{x}+\bar{x}^2)+(x_2^2-2x_2\bar{x}+\bar{x}^2)+\dots+(x_n^2-2x_n\bar{x}+\bar{x}^2)]$
$=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-2\bar{x}(x_1+x_2+\dots+x_n)+n\bar{x}^2]$
$=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-2n\bar{x}^2+n\bar{x}^2]$
$=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-n\bar{x}^2].$
$=\frac{1}{n}[(x_1^2-2x_1\bar{x}+\bar{x}^2)+(x_2^2-2x_2\bar{x}+\bar{x}^2)+\dots+(x_n^2-2x_n\bar{x}+\bar{x}^2)]$
$=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-2\bar{x}(x_1+x_2+\dots+x_n)+n\bar{x}^2]$
$=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-2n\bar{x}^2+n\bar{x}^2]$
$=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-n\bar{x}^2].$
解析
【分析】
要证明方差的两种表达形式相等，首先利用完全平方公式将原式中每个$(x_i-\bar{x})^2$展开，再将展开后的同类项分别合并，最后结合平均数的定义$x_1+x_2+\dots+x_n=n\bar{x}$，代入合并后的式子化简，即可得到要证明的结论。
【解析】
证明：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]\\&=\frac{1}{n}[(x_1^2-2x_1\bar{x}+\bar{x}^2)+(x_2^2-2x_2\bar{x}+\bar{x}^2)+\dots+(x_n^2-2x_n\bar{x}+\bar{x}^2)]\\&=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-2\bar{x}(x_1+x_2+\dots+x_n)+n\bar{x}^2]\\&\mathrm{由平均数定义可知}x_1+x_2+\dots+x_n=n\bar{x}，\mathrm{代入上式：}\\&=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-2\bar{x}· n\bar{x}+n\bar{x}^2]\\&=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-2n\bar{x}^2+n\bar{x}^2]\\&=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-n\bar{x}^2]\end{aligned}$
【答案】
故$s^2=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-n\bar{x}^2]$，原式得证。
【知识点】
1. 方差的定义
2. 完全平方公式
3. 平均数的性质
【点评】
本题考查方差简化公式的推导，解题核心是熟练运用完全平方公式展开，结合平均数的性质化简，推导得到的简化公式在实际计算方差时可有效降低运算量，实用性较强。
【难度系数】
0.75
要证明方差的两种表达形式相等，首先利用完全平方公式将原式中每个$(x_i-\bar{x})^2$展开，再将展开后的同类项分别合并，最后结合平均数的定义$x_1+x_2+\dots+x_n=n\bar{x}$，代入合并后的式子化简，即可得到要证明的结论。
【解析】
证明：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]\\&=\frac{1}{n}[(x_1^2-2x_1\bar{x}+\bar{x}^2)+(x_2^2-2x_2\bar{x}+\bar{x}^2)+\dots+(x_n^2-2x_n\bar{x}+\bar{x}^2)]\\&=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-2\bar{x}(x_1+x_2+\dots+x_n)+n\bar{x}^2]\\&\mathrm{由平均数定义可知}x_1+x_2+\dots+x_n=n\bar{x}，\mathrm{代入上式：}\\&=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-2\bar{x}· n\bar{x}+n\bar{x}^2]\\&=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-2n\bar{x}^2+n\bar{x}^2]\\&=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-n\bar{x}^2]\end{aligned}$
【答案】
故$s^2=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-n\bar{x}^2]$，原式得证。
【知识点】
1. 方差的定义
2. 完全平方公式
3. 平均数的性质
【点评】
本题考查方差简化公式的推导，解题核心是熟练运用完全平方公式展开，结合平均数的性质化简，推导得到的简化公式在实际计算方差时可有效降低运算量，实用性较强。
【难度系数】
0.75
