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1.(2025·绥化)小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是:7.0，7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，10，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是 (
A.平均数
B.方差
C.众数
D.中位数
D
)A.平均数
B.方差
C.众数
D.中位数
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先要明确平均数、方差、众数、中位数四个统计量的定义与计算方法，先将7个原始分数从小到大排序，分别计算四个统计量的原始值；再去掉一个最低分和一个最高分，得到剩余5个分数，再次计算四个统计量的值，逐一对比两者是否相同，即可确定不发生变化的统计量。
【解析】
首先将7位评委的打分从小到大排序：7.0，7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，10。
1. 计算原始数据的各统计量：
中位数：7个数据的中位数为排序后第4个数，即9.0；
众数：7.0出现次数最多，众数为7.0；
平均数：$\overline{x}_原=\frac{7.0+7.0+8.8+9.0+9.3+9.4+10}{7}=\frac{60.5}{7}\approx8.64$；
方差：由原始数据和原平均数计算得到，反映原始数据的波动情况。
2. 去掉一个最低分7.0和一个最高分10后，剩余数据为：7.0，8.8，9.0，9.3，9.4。
计算剩余数据的各统计量：
中位数：5个数据的中位数为排序后第3个数，即9.0，和原中位数相同；
众数：剩余5个数据均只出现1次，无众数，和原众数不同；
平均数：$\overline{x}_现=\frac{7.0+8.8+9.0+9.3+9.4}{5}=\frac{43.5}{5}=8.7$，和原平均数不同；
方差：数据样本和平均数均发生变化，因此方差也发生变化。
综上，只有中位数一定不发生变化，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
中位数的计算；统计量的特征；平均数与方差计算
【点评】
本题侧重考查对不同统计量概念和计算方法的掌握，解题核心是明确各统计量的意义，通过分别计算去分前后的统计量对比即可得出结论，是统计章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确平均数、方差、众数、中位数四个统计量的定义与计算方法，先将7个原始分数从小到大排序，分别计算四个统计量的原始值；再去掉一个最低分和一个最高分，得到剩余5个分数，再次计算四个统计量的值，逐一对比两者是否相同，即可确定不发生变化的统计量。
【解析】
首先将7位评委的打分从小到大排序：7.0，7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，10。
1. 计算原始数据的各统计量：
中位数：7个数据的中位数为排序后第4个数，即9.0；
众数：7.0出现次数最多，众数为7.0；
平均数：$\overline{x}_原=\frac{7.0+7.0+8.8+9.0+9.3+9.4+10}{7}=\frac{60.5}{7}\approx8.64$；
方差：由原始数据和原平均数计算得到，反映原始数据的波动情况。
2. 去掉一个最低分7.0和一个最高分10后，剩余数据为：7.0，8.8，9.0，9.3，9.4。
计算剩余数据的各统计量：
中位数：5个数据的中位数为排序后第3个数，即9.0，和原中位数相同；
众数：剩余5个数据均只出现1次，无众数，和原众数不同；
平均数：$\overline{x}_现=\frac{7.0+8.8+9.0+9.3+9.4}{5}=\frac{43.5}{5}=8.7$，和原平均数不同；
方差：数据样本和平均数均发生变化，因此方差也发生变化。
综上，只有中位数一定不发生变化，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
中位数的计算；统计量的特征；平均数与方差计算
【点评】
本题侧重考查对不同统计量概念和计算方法的掌握，解题核心是明确各统计量的意义，通过分别计算去分前后的统计量对比即可得出结论，是统计章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
2.(2025·泸州)某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试,每人10次跳绳成绩的平均数(单位:个)及方差(单位:个²)如下表所示.
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛,应选择 (
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛,应选择 (
B
)A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
2.B
解析
【分析】
要选出成绩好且发挥稳定的同学参赛，需结合平均数和方差的意义分步判断：首先看平均数，平均数越高说明整体成绩越好，先筛选出平均成绩更高的选手；再看方差，方差越小说明成绩波动越小、发挥越稳定，在平均成绩高的选手中挑选方差最小的即可得到符合要求的人选。
【解析】
1. 筛选成绩好的同学：平均数反映数据的平均水平，观察表格可知，乙、丁的平均数均为217，高于甲的205和丙的208，说明乙、丁的整体成绩更好，优先从这两人中选择。
2. 筛选发挥稳定的同学：方差反映数据的波动程度，方差越小说明发挥越稳定。乙的方差为4.6，丁的方差为9.6，$4.6＜9.6$，因此乙的发挥更稳定。
综上，乙同学成绩好且发挥稳定，应选择乙参赛。
【答案】
B
【知识点】
平均数，方差，统计应用
【点评】
本题是统计量的实际应用题，解题核心是理解平均数和方差的实际意义，按照“先选成绩好、再选发挥稳”的逻辑逐步筛选即可，解题难度较低。
【难度系数】
0.85
要选出成绩好且发挥稳定的同学参赛，需结合平均数和方差的意义分步判断：首先看平均数，平均数越高说明整体成绩越好，先筛选出平均成绩更高的选手；再看方差，方差越小说明成绩波动越小、发挥越稳定，在平均成绩高的选手中挑选方差最小的即可得到符合要求的人选。
【解析】
1. 筛选成绩好的同学：平均数反映数据的平均水平，观察表格可知，乙、丁的平均数均为217，高于甲的205和丙的208，说明乙、丁的整体成绩更好，优先从这两人中选择。
2. 筛选发挥稳定的同学：方差反映数据的波动程度，方差越小说明发挥越稳定。乙的方差为4.6，丁的方差为9.6，$4.6＜9.6$，因此乙的发挥更稳定。
综上，乙同学成绩好且发挥稳定，应选择乙参赛。
【答案】
B
【知识点】
平均数，方差，统计应用
【点评】
本题是统计量的实际应用题，解题核心是理解平均数和方差的实际意义，按照“先选成绩好、再选发挥稳”的逻辑逐步筛选即可，解题难度较低。
【难度系数】
0.85
3.(2025·宿迁宿城区一模)甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：$s^2_甲=2.5$，$s^2_乙=4.4$，$s^2_丙=0.8$，则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是
丙
。答案
3.丙
解析
【分析】
解题时首先明确判断成绩稳定性需要用到方差这个统计量，再回忆方差的性质：在平均数相同的前提下，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定；最后将三人的方差进行大小比较，找到方差最小的学生即可得到答案。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小的统计量，当多组数据的平均数相同时，方差越小，数据的离散程度越小，成绩越稳定。
已知三人平均成绩相同，且$s^2_甲=2.5$，$s^2_乙=4.4$，$s^2_丙=0.8$，比较方差大小可得：$0.8＜2.5＜4.4$，即$s^2_丙＜s^2_甲＜s^2_乙$，因此丙的成绩最稳定。
【答案】
丙
【知识点】
方差的意义
【点评】
本题考查方差的实际应用，解题关键是熟记方差越小、数据稳定性越强的性质，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确判断成绩稳定性需要用到方差这个统计量，再回忆方差的性质：在平均数相同的前提下，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定；最后将三人的方差进行大小比较，找到方差最小的学生即可得到答案。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小的统计量，当多组数据的平均数相同时，方差越小，数据的离散程度越小，成绩越稳定。
已知三人平均成绩相同，且$s^2_甲=2.5$，$s^2_乙=4.4$，$s^2_丙=0.8$，比较方差大小可得：$0.8＜2.5＜4.4$，即$s^2_丙＜s^2_甲＜s^2_乙$，因此丙的成绩最稳定。
【答案】
丙
【知识点】
方差的意义
【点评】
本题考查方差的实际应用，解题关键是熟记方差越小、数据稳定性越强的性质，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
4.(2025·宿迁宿城区期中)一组数据：-2,0,3,1,5,2的极差为
7
.答案
4.7
解析
【分析】
要计算一组数据的极差，首先需明确极差的定义：极差是一组数据中最大值与最小值的差。因此解题思路十分清晰：第一步先找出这组数据中的最大值，第二步找出这组数据中的最小值，第三步用最大值减去最小值即可得到极差，计算时注意遵守有理数减法的运算规则，避免符号出错。
【解析】
首先观察给定的数据：-2,0,3,1,5,2
1. 确定该组数据的最大值为5；
2. 确定该组数据的最小值为-2；
3. 根据极差的计算公式：$\mathrm{极差}=\mathrm{最大值}-\mathrm{最小值}$，代入数值计算：
$5-(-2)=5+2=7$
【答案】
7
【知识点】
极差的计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要掌握极差的定义就能顺利解答，解题的易错点是进行负数减法运算时符号处理错误，需多加注意。
【难度系数】
0.9
要计算一组数据的极差，首先需明确极差的定义：极差是一组数据中最大值与最小值的差。因此解题思路十分清晰：第一步先找出这组数据中的最大值，第二步找出这组数据中的最小值，第三步用最大值减去最小值即可得到极差，计算时注意遵守有理数减法的运算规则，避免符号出错。
【解析】
首先观察给定的数据：-2,0,3,1,5,2
1. 确定该组数据的最大值为5；
2. 确定该组数据的最小值为-2；
3. 根据极差的计算公式：$\mathrm{极差}=\mathrm{最大值}-\mathrm{最小值}$，代入数值计算：
$5-(-2)=5+2=7$
【答案】
7
【知识点】
极差的计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要掌握极差的定义就能顺利解答，解题的易错点是进行负数减法运算时符号处理错误，需多加注意。
【难度系数】
0.9
5.一个样本的方差$s^2=\frac{1}{10}[(x_1 -20)^2 + (x_2 -20)^2 + \dots + (x_{10} -20)^2]$，这个样本的样本容量是
10
，这个样本的平均数是20
。答案
5.10 20
解析
【分析】
解题时首先回忆样本方差的标准计算公式，明确公式中各部分对应的含义：公式的分母是样本容量，括号中每个数据减去的常数就是样本的平均数，再将题目给出的方差表达式和标准公式一一对应，即可求出对应数值。
【解析】
根据样本方差的定义，其标准计算公式为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
其中$n$为样本容量，$\overline{x}$为样本的平均数。
将题目给出的方差表达式与标准公式对比：
公式分母为10，因此样本容量$n=10$；
括号内每个数据减去的常数为20，因此样本平均数$\overline{x}=20$。
【答案】
10；20
【知识点】
1. 方差公式
2. 样本容量
3. 样本平均数
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查对样本方差公式中各参数意义的理解，熟练掌握方差公式即可快速得出答案，是统计模块的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆样本方差的标准计算公式，明确公式中各部分对应的含义：公式的分母是样本容量，括号中每个数据减去的常数就是样本的平均数，再将题目给出的方差表达式和标准公式一一对应，即可求出对应数值。
【解析】
根据样本方差的定义，其标准计算公式为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
其中$n$为样本容量，$\overline{x}$为样本的平均数。
将题目给出的方差表达式与标准公式对比：
公式分母为10，因此样本容量$n=10$；
括号内每个数据减去的常数为20，因此样本平均数$\overline{x}=20$。
【答案】
10；20
【知识点】
1. 方差公式
2. 样本容量
3. 样本平均数
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查对样本方差公式中各参数意义的理解，熟练掌握方差公式即可快速得出答案，是统计模块的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
6.某球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投15次，进球的个数统计结果如下：
甲:14,14,14,11,12； 乙:9,14,13,14,15.
列表进行数据分析：
(1)$a=$
(2)求甲的方差$d;$
(3)根据运动员的稳定性,如果你是教练,你会选择哪名队员参加3分球大赛?
甲:14,14,14,11,12； 乙:9,14,13,14,15.
列表进行数据分析：
(1)$a=$
13
$,b=$14
$,c=$14
$;$(2)求甲的方差$d;$
(3)根据运动员的稳定性,如果你是教练,你会选择哪名队员参加3分球大赛?
答案
6.(1)13 14 14
(2)解:甲的方差$d=\frac{1}{5}×[(11-13)^2+(12-13)^2+3×(14-13)^2]=1.6.$
(3)解:选择甲队员参加3分球大赛.
理由:由题意知甲的方差为1.6,乙的方差为4.4,
$\because1.6＜4.4$,在平均数、中位数、众数都相同的情况下,甲的方差比乙小,$\therefore$甲比乙稳定,故选择甲.
(2)解:甲的方差$d=\frac{1}{5}×[(11-13)^2+(12-13)^2+3×(14-13)^2]=1.6.$
(3)解:选择甲队员参加3分球大赛.
理由:由题意知甲的方差为1.6,乙的方差为4.4,
$\because1.6＜4.4$,在平均数、中位数、众数都相同的情况下,甲的方差比乙小,$\therefore$甲比乙稳定,故选择甲.
解析
【分析】
本题考查统计特征数的计算与应用，解题思路如下：
1. 求a：根据平均数计算公式，用乙5组进球数的总和除以5即可得到乙的平均成绩a；
2. 求b：先把甲的5组进球数从小到大排序，数据总数为奇数，排在最中间的数就是甲的中位数b；
3. 求c：找出乙的5组进球数中出现次数最多的数，即为乙的众数c；
4. 求甲的方差d：套用方差公式，计算每个数据与平均数差的平方的平均值即可；
5. 选择参赛队员：方差越小说明数据波动越小、成绩越稳定，对比甲乙两人的方差，选择方差更小的队员即可。
【解析】
(1) 计算a：乙的5组进球数为9、14、13、14、15，
$\displaystyle a=\frac{9+14+13+14+15}{5}=\frac{65}{5}=13$；
计算b：将甲的进球数从小到大排序为11、12、14、14、14，共5个数据，第3个数据为14，故中位数$b=14$；
计算c：乙的进球数中14出现2次，其余数字各出现1次，出现次数最多，故众数$c=14$。
(2) 已知甲的平均成绩为13，根据方差公式：
$\displaystyle d=\frac{1}{5}×[(11-13)^2+(12-13)^2+3×(14-13)^2]$
$\displaystyle =\frac{1}{5}×(4+1+3×1)$
$\displaystyle =\frac{8}{5}=1.6$
(3) 选择甲队员参加。理由：甲乙两人的平均成绩、中位数、众数均相同，甲的方差为1.6，乙的方差为4.4，$\because1.6＜4.4$，方差越小成绩越稳定，$\therefore$甲的成绩更稳定，选择甲参加比赛。
【答案】
(1)13；14；14
(2)$d=1.6$
(3)选择甲队员参加3分球大赛
【知识点】
平均数计算；中位数与众数；方差的应用
【点评】
本题属于统计模块基础常考题，重点考查常见统计特征数的计算方法和实际意义，理解方差反映数据稳定性的特征是解决第三问的关键，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查统计特征数的计算与应用，解题思路如下：
1. 求a：根据平均数计算公式，用乙5组进球数的总和除以5即可得到乙的平均成绩a；
2. 求b：先把甲的5组进球数从小到大排序，数据总数为奇数，排在最中间的数就是甲的中位数b；
3. 求c：找出乙的5组进球数中出现次数最多的数，即为乙的众数c；
4. 求甲的方差d：套用方差公式，计算每个数据与平均数差的平方的平均值即可；
5. 选择参赛队员：方差越小说明数据波动越小、成绩越稳定，对比甲乙两人的方差，选择方差更小的队员即可。
【解析】
(1) 计算a：乙的5组进球数为9、14、13、14、15，
$\displaystyle a=\frac{9+14+13+14+15}{5}=\frac{65}{5}=13$；
计算b：将甲的进球数从小到大排序为11、12、14、14、14，共5个数据，第3个数据为14，故中位数$b=14$；
计算c：乙的进球数中14出现2次，其余数字各出现1次，出现次数最多，故众数$c=14$。
(2) 已知甲的平均成绩为13，根据方差公式：
$\displaystyle d=\frac{1}{5}×[(11-13)^2+(12-13)^2+3×(14-13)^2]$
$\displaystyle =\frac{1}{5}×(4+1+3×1)$
$\displaystyle =\frac{8}{5}=1.6$
(3) 选择甲队员参加。理由：甲乙两人的平均成绩、中位数、众数均相同，甲的方差为1.6，乙的方差为4.4，$\because1.6＜4.4$，方差越小成绩越稳定，$\therefore$甲的成绩更稳定，选择甲参加比赛。
【答案】
(1)13；14；14
(2)$d=1.6$
(3)选择甲队员参加3分球大赛
【知识点】
平均数计算；中位数与众数；方差的应用
【点评】
本题属于统计模块基础常考题，重点考查常见统计特征数的计算方法和实际意义，理解方差反映数据稳定性的特征是解决第三问的关键，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
