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1.(2025·宿迁宿豫区期中)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠CBE是它的一个外角,且∠CBE=115°,则∠D的度数为 (
A.115°
B.95°
C.75°
D.65°
A
)A.115°
B.95°
C.75°
D.65°
答案
1.A
解析
【分析】
解题思路：首先明确已知条件：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，度数为115°，要求∠D的度数。我们可以从两个方向思考：1. 直接利用圆内接四边形的性质：任意一个外角等于它的内对角，可直接得出∠D和∠CBE相等；2. 也可以先根据邻补角的定义求出∠ABC的度数，再利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠D的度数，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法1：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，
根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得∠D=∠CBE，
∵∠CBE=115°，
∴∠D=115°。
方法2：
∵∠CBE和∠ABC是邻补角，
∴∠CBE+∠ABC=180°，
已知∠CBE=115°，
∴∠ABC=180°-115°=65°，
又
∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=180°-65°=115°。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质、邻补角的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆内接四边形相关性质的应用，既可以直接用外角等于内对角的性质快速求解，也可以通过邻补角、对角互补的性质逐步推导，熟练掌握相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先明确已知条件：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，度数为115°，要求∠D的度数。我们可以从两个方向思考：1. 直接利用圆内接四边形的性质：任意一个外角等于它的内对角，可直接得出∠D和∠CBE相等；2. 也可以先根据邻补角的定义求出∠ABC的度数，再利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠D的度数，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法1：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，
根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得∠D=∠CBE，
∵∠CBE=115°，
∴∠D=115°。
方法2：
∵∠CBE和∠ABC是邻补角，
∴∠CBE+∠ABC=180°，
已知∠CBE=115°，
∴∠ABC=180°-115°=65°，
又
∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=180°-65°=115°。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质、邻补角的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆内接四边形相关性质的应用，既可以直接用外角等于内对角的性质快速求解，也可以通过邻补角、对角互补的性质逐步推导，熟练掌握相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
2.(2025·宿迁沭阳县二模)如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$∠ A=72°$.过点O作BC的垂线交$\overset{\frown}{BC}$于点D，连接BD，则$∠ D$的度数为 （
A.$64°$
B.$54°$
C.$46°$
D.$36°$
B
）A.$64°$
B.$54°$
C.$46°$
D.$36°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：① 连接OB、OC，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；② 已知OD过圆心且垂直BC，根据垂径定理可得OD平分弧BC，进而求出∠BOD的度数；③ △OBD中OB=OD，是等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠D的度数。
【解析】
连接OB、OC。
∵ ∠A是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理，$∠ BOC=2∠ A=2×72°=144°$。
∵ $OD⊥ BC$，且OD过圆心O，
∴ 根据垂径定理，OD平分$\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×144°=72°$。
又
∵ OB=OD（都是$\odot O$的半径），
∴ △OBD为等腰三角形，$∠ D=∠ OBD$，
∴ $∠ D=\frac{180°-∠ BOD}{2}=\frac{180°-72°}{2}=54°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是合理连接半径构造圆心角，结合圆周角定理、垂径定理转化角度关系即可求解，是圆相关角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：① 连接OB、OC，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；② 已知OD过圆心且垂直BC，根据垂径定理可得OD平分弧BC，进而求出∠BOD的度数；③ △OBD中OB=OD，是等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠D的度数。
【解析】
连接OB、OC。
∵ ∠A是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理，$∠ BOC=2∠ A=2×72°=144°$。
∵ $OD⊥ BC$，且OD过圆心O，
∴ 根据垂径定理，OD平分$\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×144°=72°$。
又
∵ OB=OD（都是$\odot O$的半径），
∴ △OBD为等腰三角形，$∠ D=∠ OBD$，
∴ $∠ D=\frac{180°-∠ BOD}{2}=\frac{180°-72°}{2}=54°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是合理连接半径构造圆心角，结合圆周角定理、垂径定理转化角度关系即可求解，是圆相关角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
3.(2025·宿迁沭阳县期中)如图,在圆内接四边形ABCD中,若∠B=60°,则∠D=
120
°.答案
3.120
解析
【分析】
本题考查圆内接四边形的性质应用，解题时首先明确四边形ABCD是圆内接四边形，回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即相对的两个内角之和为180°。已知∠B的度数，且∠D与∠B是一组对角，直接利用对角互补的关系计算∠D的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴根据圆内接四边形对角互补的性质可得：$∠ B + ∠ D = 180°$，
又
∵$∠ B = 60°$，
∴$∠ D = 180° - ∠ B = 180° - 60° = 120°$。
【答案】
120
【知识点】
圆内接四边形对角互补
【点评】
本题属于基础概念应用题，只需熟练掌握圆内接四边形的性质即可快速求解，计算过程简单，无额外陷阱。
【难度系数】
0.9
本题考查圆内接四边形的性质应用，解题时首先明确四边形ABCD是圆内接四边形，回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即相对的两个内角之和为180°。已知∠B的度数，且∠D与∠B是一组对角，直接利用对角互补的关系计算∠D的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴根据圆内接四边形对角互补的性质可得：$∠ B + ∠ D = 180°$，
又
∵$∠ B = 60°$，
∴$∠ D = 180° - ∠ B = 180° - 60° = 120°$。
【答案】
120
【知识点】
圆内接四边形对角互补
【点评】
本题属于基础概念应用题，只需熟练掌握圆内接四边形的性质即可快速求解，计算过程简单，无额外陷阱。
【难度系数】
0.9
4. 在半径为5的$\odot O$中，弦$AB=5$，则弦$AB$所对的圆周角的度数为
30°或150°
。答案
4.30°或150°
解析
【分析】
首先，已知圆的半径和弦长相等，连接圆心和弦的两个端点可得到等边三角形，先求出弦AB所对的圆心角的度数；再结合圆周角定理，注意同一条弦所对的圆周角有两类：顶点在优弧上的和顶点在劣弧上的，两类圆周角互补，分别计算即可，解题时要避免漏算其中一种情况。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵⊙O的半径为5，AB=5，
∴OA=OB=AB=5，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°。
分两种情况讨论弦AB所对的圆周角：
1. 当圆周角的顶点在优弧AB上时，根据圆周角定理，该圆周角的度数为$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°；
2. 当圆周角的顶点在劣弧AB上时，该圆周角与上述30°的圆周角是圆内接四边形的一组对角，二者互补，因此度数为180°-30°=150°。
综上，弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题解题的易错点是漏解，需明确同一条弦所对的圆周角有两种，分别位于弦的两侧，且两个角度数之和为180°，解题时要分类讨论，避免只考虑优弧上的圆周角导致漏答。
【难度系数】
0.6
首先，已知圆的半径和弦长相等，连接圆心和弦的两个端点可得到等边三角形，先求出弦AB所对的圆心角的度数；再结合圆周角定理，注意同一条弦所对的圆周角有两类：顶点在优弧上的和顶点在劣弧上的，两类圆周角互补，分别计算即可，解题时要避免漏算其中一种情况。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵⊙O的半径为5，AB=5，
∴OA=OB=AB=5，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°。
分两种情况讨论弦AB所对的圆周角：
1. 当圆周角的顶点在优弧AB上时，根据圆周角定理，该圆周角的度数为$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°；
2. 当圆周角的顶点在劣弧AB上时，该圆周角与上述30°的圆周角是圆内接四边形的一组对角，二者互补，因此度数为180°-30°=150°。
综上，弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题解题的易错点是漏解，需明确同一条弦所对的圆周角有两种，分别位于弦的两侧，且两个角度数之和为180°，解题时要分类讨论，避免只考虑优弧上的圆周角导致漏答。
【难度系数】
0.6
5.如图，∠DAE是$\odot O$的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE=∠DAC.求证：DB=DC. 
第5题图
第5题图答案
5.证明:$\because ∠DAE$是$\odot O$的内接四边形$ABCD$的一个外角,
$\therefore ∠DAE=∠DCB.$
又$\because ∠DAE=∠DAC, \therefore ∠DCB=∠DAC.$
又$\because ∠DAC=∠DBC, \therefore ∠DCB=∠DBC, \therefore DB=DC.$
$\therefore ∠DAE=∠DCB.$
又$\because ∠DAE=∠DAC, \therefore ∠DCB=∠DAC.$
又$\because ∠DAC=∠DBC, \therefore ∠DCB=∠DBC, \therefore DB=DC.$
解析
【分析】
要证明DB=DC，可通过证明△DBC是等腰三角形，即证∠DCB=∠DBC。首先利用圆内接四边形的外角性质，可得∠DAE=∠DCB，结合已知∠DAE=∠DAC，推出∠DCB=∠DAC；再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠DAC=∠DBC，通过等量代换即可得到∠DCB=∠DBC，最终证得DB=DC。
【解析】
证明：
1. 根据圆内接四边形的性质，外角等于它的内对角，因为∠DAE是⊙O内接四边形ABCD的外角，所以∠DAE=∠DCB；
2. 结合已知条件∠DAE=∠DAC，通过等量代换可得∠DCB=∠DAC；
3. ∠DAC和∠DBC都是弧DC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此∠DAC=∠DBC；
4. 再次等量代换得∠DCB=∠DBC，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，可得DB=DC。
【答案】
证明:$\because ∠DAE$是$\odot O$的内接四边形$ABCD$的一个外角,
$\therefore ∠DAE=∠DCB.$
又$\because ∠DAE=∠DAC, \therefore ∠DCB=∠DAC.$
又$\because ∠DAC=∠DBC, \therefore ∠DCB=∠DBC, \therefore DB=DC.$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础的圆与三角形结合的证明题，解题关键是熟练掌握圆相关的角的性质，通过多次等量代换得到角相等，进而推导边相等，考查学生对基础性质的运用和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明DB=DC，可通过证明△DBC是等腰三角形，即证∠DCB=∠DBC。首先利用圆内接四边形的外角性质，可得∠DAE=∠DCB，结合已知∠DAE=∠DAC，推出∠DCB=∠DAC；再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠DAC=∠DBC，通过等量代换即可得到∠DCB=∠DBC，最终证得DB=DC。
【解析】
证明：
1. 根据圆内接四边形的性质，外角等于它的内对角，因为∠DAE是⊙O内接四边形ABCD的外角，所以∠DAE=∠DCB；
2. 结合已知条件∠DAE=∠DAC，通过等量代换可得∠DCB=∠DAC；
3. ∠DAC和∠DBC都是弧DC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此∠DAC=∠DBC；
4. 再次等量代换得∠DCB=∠DBC，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，可得DB=DC。
【答案】
证明:$\because ∠DAE$是$\odot O$的内接四边形$ABCD$的一个外角,
$\therefore ∠DAE=∠DCB.$
又$\because ∠DAE=∠DAC, \therefore ∠DCB=∠DAC.$
又$\because ∠DAC=∠DBC, \therefore ∠DCB=∠DBC, \therefore DB=DC.$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础的圆与三角形结合的证明题，解题关键是熟练掌握圆相关的角的性质，通过多次等量代换得到角相等，进而推导边相等，考查学生对基础性质的运用和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
6.(2025·甘肃)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,连接BD.若$∠ ABC=70°$,则$∠ BDC$的度数为（
A.$20°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$70°$
C
）A.$20°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$70°$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时先结合已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，可得弦AB=BC，判断出$△ ABC$是等腰三角形，结合已知∠ABC的度数可以求出∠BAC的度数；再观察∠BAC和所求∠BDC的位置，二者都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴AB=BC，即$△ ABC$为等腰三角形，
∵∠ABC=70°，
∴$∠ BAC=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$，
又
∵∠BAC和∠BDC都是$\odot O$中$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ BDC=∠ BAC=55°$。
【答案】
C
【知识点】
等弧的性质，等腰三角形内角计算，圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，将圆的性质和等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是找到同弧所对的相等圆周角，实现未知角到已知角的转化，是圆周角相关的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，可得弦AB=BC，判断出$△ ABC$是等腰三角形，结合已知∠ABC的度数可以求出∠BAC的度数；再观察∠BAC和所求∠BDC的位置，二者都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴AB=BC，即$△ ABC$为等腰三角形，
∵∠ABC=70°，
∴$∠ BAC=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$，
又
∵∠BAC和∠BDC都是$\odot O$中$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ BDC=∠ BAC=55°$。
【答案】
C
【知识点】
等弧的性质，等腰三角形内角计算，圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，将圆的性质和等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是找到同弧所对的相等圆周角，实现未知角到已知角的转化，是圆周角相关的常考题型。
【难度系数】
0.7
7.(2025·泸州)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,BD为$\odot O$的直径.若$AB=AC$,$∠ ACB=70°$,则$∠ CBD=$（
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
B
）A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
7.B
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：①先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知∠ACB=70°求出∠ABC的度数，再利用三角形内角和定理计算出∠BAC的度数；②根据圆周角定理中“同弧所对的圆周角相等”，得到∠BDC与∠BAC相等；③利用“直径所对的圆周角是直角”得到∠BCD=90°，最后在直角三角形BCD中根据两锐角互余即可求出∠CBD的度数。
【解析】
∵AB=AC，∠ACB=70°，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°。
∵弧BC所对的圆周角为∠BAC和∠BDC，
∴∠BDC=∠BAC=40°。
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角为直角），
∴在Rt△BCD中，∠CBD=90°-∠BDC=90°-40°=50°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、圆周角定理、直角三角形性质
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形基础性质和圆的圆周角相关推论结合考查，解题的核心是找准同弧对应的圆周角，结合直径的性质建立角度的数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下步骤思考：①先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知∠ACB=70°求出∠ABC的度数，再利用三角形内角和定理计算出∠BAC的度数；②根据圆周角定理中“同弧所对的圆周角相等”，得到∠BDC与∠BAC相等；③利用“直径所对的圆周角是直角”得到∠BCD=90°，最后在直角三角形BCD中根据两锐角互余即可求出∠CBD的度数。
【解析】
∵AB=AC，∠ACB=70°，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°。
∵弧BC所对的圆周角为∠BAC和∠BDC，
∴∠BDC=∠BAC=40°。
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角为直角），
∴在Rt△BCD中，∠CBD=90°-∠BDC=90°-40°=50°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、圆周角定理、直角三角形性质
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形基础性质和圆的圆周角相关推论结合考查，解题的核心是找准同弧对应的圆周角，结合直径的性质建立角度的数量关系。
【难度系数】
0.8
