8.(2025·宿迁沭阳县期中)如图,以$△ ABC$的一边AB为直径的半圆与其他两边AC,BC分别交于点D,E,且E为BC的中点.若$AB=8$,$BC=4$,则BD的长为 ()

A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{15}$
C.$\sqrt{14}$
D.$2\sqrt{5}$

8.B

9.如图,在圆O中,弦AB,CD所对的圆心角分别是∠AOB,∠COD,若∠AOB和∠COD互补,且AB=2,CD=4,则圆O的半径是.

9.$\sqrt{5}$

10.(2025·宿迁泗阳县期末)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且CD⊥AB，垂足为D.
(1)若∠A=30°,则∠B=°;
(2)若CD=4,OD=3,求AB的长.

10.(1)60
(2)解:如答图,连接OC.
∵CD⊥AB,
∴∠ODC=90°.
∵CD=4,OD=3,
∴OC=$\sqrt{OD^2+CD^2}$=5,
∴AB=2OC=10.

11. 如图，在△ABC中，BC=AC=6，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为E。
（1）求证：D是AB的中点；
（2）求点O到直线DE的距离。

11.(1)证明:连接CD,如答图.
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BDC=90°,
∴CD⊥AB.
又
∵AC=BC,
∴AD=BD,即D是AB的中点.
(2)解:连接OD,如答图.
∵AD=BD,OB=OC,
∴DO是△ABC的中位线,
∴DO//AC,OD=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$.
又
∵DE⊥AC,
∴DE⊥DO,
∴点O到直线DE的距离为3.

12. 如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，连接AC和BC，$∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点D.
(1)求证：$AC+BC=\sqrt{2}CD$；
(2)已知$\odot O$的半径为5，$CD=7\sqrt{2}$，若$AC＜BC$，求弦AC的长.

12.(1)证明:如答图,过点 D 作 DF⊥CA,交 CA 的延长线于点F,作 DG⊥CB 于点 G,连接 DA,DB.
∵CD 平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD,
∴DF=DG,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,
∴DA=DB.
∵∠AFD=∠BGD=90°,
∴在 Rt△AFD 和 Rt△BGD 中,$\begin{cases} AD=BD, \\ DF=DG, \end{cases}$
∴Rt△AFD≌Rt△BGD(HL),
∴AF=BG.
同理 Rt△CDF≌Rt△CDG(HL),
∴CF=CG,
∴AC+BC=CF-AF+CG+BG=CF+CG=2CF.
∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACD=45°,
∴△CDF 是等腰直角三角形,
∴CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}CD$,
∴AC+BC=2CF=$\sqrt{2}CD$.
(2)解:
∵CD=$7\sqrt{2}$,
∴AC+BC=$\sqrt{2}CD=14$,
设 AC=x,则 BC=14-x.
在 Rt△ABC 中,AB=2×5=10,
由勾股定理,得$x^2+(14-x)^2=10^2$,
解得 x=6 或 x=8.
∵AC＜BC,
∴AC=6.