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8.如图，A,B,C,D,E都是圆O上的点，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，∠B=116°，则∠D的度数为
128°
。答案
8.$128°$
解析
【分析】
解题可按三步思路推进：第一步，先观察到A、B、C、E四点共圆，根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出∠AEC的度数；第二步，由已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，根据同圆中等弧对等弦可得AC=AE，△ACE为等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠CAE的度数；第三步，再利用A、C、D、E四点共圆的性质，再次用圆内接四边形对角互补，就能算出∠D的度数。
【解析】
1. 因为A、B、C、E均在$\odot O$上，四边形ABCE是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补可得：
$∠ B + ∠ AEC = 180°$，已知$∠ B=116°$，所以$∠ AEC=180° - 116°=64°$。
2. 因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，同圆中相等的弧对应相等的弦，故$AC=AE$，$△ ACE$为等腰三角形，因此$∠ ACE=∠ AEC=64°$。
由三角形内角和为$180°$得：$∠ CAE=180° - ∠ ACE - ∠ AEC=180° - 64° - 64°=52°$。
3. 又因为A、C、D、E均在$\odot O$上，四边形ACDE是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补可得：
$∠ CAE + ∠ D = 180°$，因此$∠ D=180° - 52°=128°$。
【答案】
$128°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；弧与弦的关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆周角相关的基础综合题，核心考查圆内接四边形对角互补的性质，以及同圆中弧、弦的对应关系，解题的关键是找到隐含的两个圆内接四边形，实现角度的转化。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思路推进：第一步，先观察到A、B、C、E四点共圆，根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出∠AEC的度数；第二步，由已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，根据同圆中等弧对等弦可得AC=AE，△ACE为等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠CAE的度数；第三步，再利用A、C、D、E四点共圆的性质，再次用圆内接四边形对角互补，就能算出∠D的度数。
【解析】
1. 因为A、B、C、E均在$\odot O$上，四边形ABCE是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补可得：
$∠ B + ∠ AEC = 180°$，已知$∠ B=116°$，所以$∠ AEC=180° - 116°=64°$。
2. 因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，同圆中相等的弧对应相等的弦，故$AC=AE$，$△ ACE$为等腰三角形，因此$∠ ACE=∠ AEC=64°$。
由三角形内角和为$180°$得：$∠ CAE=180° - ∠ ACE - ∠ AEC=180° - 64° - 64°=52°$。
3. 又因为A、C、D、E均在$\odot O$上，四边形ACDE是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补可得：
$∠ CAE + ∠ D = 180°$，因此$∠ D=180° - 52°=128°$。
【答案】
$128°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；弧与弦的关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆周角相关的基础综合题，核心考查圆内接四边形对角互补的性质，以及同圆中弧、弦的对应关系，解题的关键是找到隐含的两个圆内接四边形，实现角度的转化。
【难度系数】
0.7
9.(2025·宿迁宿城新区教学共同体期末)如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,$\odot O$的半径为5,$∠ B=135°$,则弦AC的长为
$5\sqrt{2}$
.答案
9.$5\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠D的度数，再根据圆周角定理得到弧AC对应的圆心角∠AOC的度数，连接OA、OC后得到等腰直角三角形AOC，最后利用勾股定理即可求出弦AC的长度。
【解析】
解：连接OA、OC。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠B + ∠ADC = 180°，
∵ ∠B=135°，
∴ ∠ADC=180°-135°=45°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得
∠AOC = 2∠ADC = 2×45°=90°，
∵ ⊙O的半径为5，
∴ OA=OC=5，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
AC = √(OA² + OC²) = √(5² + 5²) = 5√2。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的关键是合理连接半径构造特殊三角形，结合圆周角相关性质求解，是圆中求弦长的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠D的度数，再根据圆周角定理得到弧AC对应的圆心角∠AOC的度数，连接OA、OC后得到等腰直角三角形AOC，最后利用勾股定理即可求出弦AC的长度。
【解析】
解：连接OA、OC。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠B + ∠ADC = 180°，
∵ ∠B=135°，
∴ ∠ADC=180°-135°=45°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得
∠AOC = 2∠ADC = 2×45°=90°，
∵ ⊙O的半径为5，
∴ OA=OC=5，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
AC = √(OA² + OC²) = √(5² + 5²) = 5√2。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的关键是合理连接半径构造特殊三角形，结合圆周角相关性质求解，是圆中求弦长的典型题型。
【难度系数】
0.7
10.如图，在△ABC中，$BC=4\sqrt{2}$，$∠ BAC=135°$，求△ABC的外接圆$\odot O$的半径长.
答案
10.解:在$BC$的下侧的$\odot O$上取点$D$,连接$BD,CD,BO,CO$,
$\because ∠BAC=135°, \therefore ∠D=180°-∠BAC=45°$,
$\therefore ∠BOC=2∠D=90°, \therefore OB^2+OC^2=BC^2$.
$\because OB=OC,BC=4\sqrt{2}, \therefore 2OB^2=(4\sqrt{2})^2$,
$\therefore OB=4, \therefore △ABC$的外接圆$\odot O$的半径长为4.
解析
【分析】
要求$\odot O$的半径，已知弦$BC$的长度和圆周角$∠ BAC$的度数，可通过圆的性质转化角度关系求解：首先$∠ BAC=135°$是钝角，根据圆内接四边形对角互补的性质，可在$BC$另一侧的圆周上取点$D$，得到与$∠ BAC$互补的锐角圆周角$∠ D$；再由圆周角定理推出弧$BC$对应的圆心角$∠ BOC$的度数，此时$△ BOC$为等腰直角三角形，结合已知$BC$的长度，用勾股定理即可求出半径$OB$的长度。
【解析】
在$BC$的下侧的$\odot O$上取点$D$，连接$BD,CD,BO,CO$，
$\because$ 四边形$ABDC$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ D + ∠ BAC = 180°$，
$\because ∠ BAC=135°$，
$\therefore ∠ D=180° - 135°=45°$，
根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ D=90°$，
$\because OB、OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OC$，
在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得$OB^2+OC^2=BC^2$，
将$OB=OC$，$BC=4\sqrt{2}$代入得：$2OB^2=(4\sqrt{2})^2=32$，
解得$OB^2=16$，$\therefore OB=4$（半径为正，舍去负根）。
【答案】
$△ ABC$的外接圆$\odot O$的半径长为4。
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 圆周角定理
3. 勾股定理
【点评】
本题的核心是合理构造辅助线，利用圆内接四边形的性质将钝角圆周角转化为锐角圆周角，再结合圆周角定理得到特殊直角三角形，通过勾股定理计算半径，较好地考查了圆的性质与三角形知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
要求$\odot O$的半径，已知弦$BC$的长度和圆周角$∠ BAC$的度数，可通过圆的性质转化角度关系求解：首先$∠ BAC=135°$是钝角，根据圆内接四边形对角互补的性质，可在$BC$另一侧的圆周上取点$D$，得到与$∠ BAC$互补的锐角圆周角$∠ D$；再由圆周角定理推出弧$BC$对应的圆心角$∠ BOC$的度数，此时$△ BOC$为等腰直角三角形，结合已知$BC$的长度，用勾股定理即可求出半径$OB$的长度。
【解析】
在$BC$的下侧的$\odot O$上取点$D$，连接$BD,CD,BO,CO$，
$\because$ 四边形$ABDC$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ D + ∠ BAC = 180°$，
$\because ∠ BAC=135°$，
$\therefore ∠ D=180° - 135°=45°$，
根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ D=90°$，
$\because OB、OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OC$，
在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得$OB^2+OC^2=BC^2$，
将$OB=OC$，$BC=4\sqrt{2}$代入得：$2OB^2=(4\sqrt{2})^2=32$，
解得$OB^2=16$，$\therefore OB=4$（半径为正，舍去负根）。
【答案】
$△ ABC$的外接圆$\odot O$的半径长为4。
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 圆周角定理
3. 勾股定理
【点评】
本题的核心是合理构造辅助线，利用圆内接四边形的性质将钝角圆周角转化为锐角圆周角，再结合圆周角定理得到特殊直角三角形，通过勾股定理计算半径，较好地考查了圆的性质与三角形知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
11.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径的$\odot O$交$BC$于点$D$,交$AC$于点$E$,连接$BE$.
(1)若$AB=6$,$CD=2$,求$CE$的长;
(2)当$∠ A$为锐角时,判断$∠ BAC$与$∠ CBE$的关系,并证明你的结论.
(1)若$AB=6$,$CD=2$,求$CE$的长;
(2)当$∠ A$为锐角时,判断$∠ BAC$与$∠ CBE$的关系,并证明你的结论.
答案
11.解:连接$AD$.如答图.
(1)$\because AB$为$\odot O$的直径,$\therefore AD⊥BC,BE⊥AC$.
$\because AB=AC=6, \therefore BD=CD=2, \therefore BC=4$.
由勾股定理,得$BE^2=AB^2-AE^2,BE^2=BC^2-CE^2$,
即$AB^2-AE^2=BC^2-CE^2$.
设$CE=x$,则$6^2-(6-x)^2=4^2-x^2$,
解得$x=\frac{4}{3}$,即$CE=\frac{4}{3}$.
(2)$∠BAC=2∠CBE$.证明如下:
$\because AB$为$\odot O$的直径,
$\therefore ∠ADC=∠ADB=90°,∠BEA=90°$,
$\therefore ∠CAD+∠C=90°,∠CBE+∠C=90°$,
$\therefore ∠CAD=∠CBE$.
$\because AB=AC, \therefore ∠BAD=∠CAD$,
$\therefore ∠BAC=2∠CAD=2∠CBE$.
解析
【分析】
(1) 解题思路：遇到直径为边的圆内接三角形，优先考虑直径所对圆周角为直角，因此连接AD，可得AD⊥BC；结合△ABC是等腰三角形，由三线合一性质可得D是BC中点，求出BC的长度；同时BE是直径AB所对的圆周角，故BE⊥AC，此时Rt△ABE和Rt△CBE有公共边BE，可利用勾股定理建立关于CE的方程，解方程即可求出CE的长。
(2) 解题思路：要判断∠BAC和∠CBE的数量关系，同样利用直径所对圆周角为直角，可得∠ADC和∠BEC都是直角，因此∠CAD与∠C互余，∠CBE也与∠C互余，由同角的余角相等可得∠CAD=∠CBE；再结合等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，即可推出两个角的倍数关系。
【解析】
解：连接AD，如答图。
(1) $\because AB$为$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$AD⊥ BC$，$BE⊥ AC$。
又$\because AB=AC=6$，$△ ABC$为等腰三角形，$AD$是底边$BC$上的高，由三线合一得$BD=CD=2$，
$\therefore BC=BD+CD=2+2=4$。
设$CE=x$，则$AE=AC-CE=6-x$，
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：$BE^2=AB^2-AE^2$，
在$Rt△ CBE$中，由勾股定理得：$BE^2=BC^2-CE^2$，
因此有$AB^2-AE^2=BC^2-CE^2$，代入数值得：
$6^2-(6-x)^2=4^2-x^2$
展开计算：$36-(36-12x+x^2)=16-x^2$
化简得$12x=16$，解得$x=\frac{4}{3}$。
(2) $∠BAC=2∠CBE$，证明如下：
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ADC=90°$，$∠BEC=90°$，
$\therefore ∠CAD+∠C=90°$，$∠CBE+∠C=90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠CAD=∠CBE$。
又$\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，由等腰三角形三线合一可得$∠BAD=∠CAD$，
$\therefore ∠BAC=∠BAD+∠CAD=2∠CAD=2∠CBE$。
【答案】
(1) $CE=\frac{4}{3}$；
(2) $∠BAC=2∠CBE$，证明见解析。
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的核心是利用“直径所对的圆周角为直角”这一性质构造直角三角形，结合等腰三角形三线合一、勾股定理、同角的余角相等等知识点即可求解，解题时注意方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：遇到直径为边的圆内接三角形，优先考虑直径所对圆周角为直角，因此连接AD，可得AD⊥BC；结合△ABC是等腰三角形，由三线合一性质可得D是BC中点，求出BC的长度；同时BE是直径AB所对的圆周角，故BE⊥AC，此时Rt△ABE和Rt△CBE有公共边BE，可利用勾股定理建立关于CE的方程，解方程即可求出CE的长。
(2) 解题思路：要判断∠BAC和∠CBE的数量关系，同样利用直径所对圆周角为直角，可得∠ADC和∠BEC都是直角，因此∠CAD与∠C互余，∠CBE也与∠C互余，由同角的余角相等可得∠CAD=∠CBE；再结合等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，即可推出两个角的倍数关系。
【解析】
解：连接AD，如答图。
(1) $\because AB$为$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$AD⊥ BC$，$BE⊥ AC$。
又$\because AB=AC=6$，$△ ABC$为等腰三角形，$AD$是底边$BC$上的高，由三线合一得$BD=CD=2$，
$\therefore BC=BD+CD=2+2=4$。
设$CE=x$，则$AE=AC-CE=6-x$，
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：$BE^2=AB^2-AE^2$，
在$Rt△ CBE$中，由勾股定理得：$BE^2=BC^2-CE^2$，
因此有$AB^2-AE^2=BC^2-CE^2$，代入数值得：
$6^2-(6-x)^2=4^2-x^2$
展开计算：$36-(36-12x+x^2)=16-x^2$
化简得$12x=16$，解得$x=\frac{4}{3}$。
(2) $∠BAC=2∠CBE$，证明如下：
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ADC=90°$，$∠BEC=90°$，
$\therefore ∠CAD+∠C=90°$，$∠CBE+∠C=90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠CAD=∠CBE$。
又$\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，由等腰三角形三线合一可得$∠BAD=∠CAD$，
$\therefore ∠BAC=∠BAD+∠CAD=2∠CAD=2∠CBE$。
【答案】
(1) $CE=\frac{4}{3}$；
(2) $∠BAC=2∠CBE$，证明见解析。
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的核心是利用“直径所对的圆周角为直角”这一性质构造直角三角形，结合等腰三角形三线合一、勾股定理、同角的余角相等等知识点即可求解，解题时注意方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
12.(2025·宿迁宿城区期中)如图,在$\odot O$的内接四边形ABCD中,AB=AD,∠BCD=110°,点E在$\overset{\frown}{AD}$上.
(1)∠BAD=
(2)求∠AED的度数.
(1)∠BAD=
70
°;(2)求∠AED的度数.
答案
12.(1)70
(2)解:连接$BD$,如答图.
$\because AB=AD,∠BAD=70°, \therefore ∠ABD=55°$.
$\because$ 四边形$ABDE$内接于$\odot O$,
$\therefore ∠ABD+∠AED=180°$,
$\therefore ∠AED=180°-∠ABD=125°$.
解析
【分析】
(1) 已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，∠BAD与已知的∠BCD为一组对角，二者之和为180°，直接代入计算即可求出∠BAD的度数。
(2) 要求∠AED的度数，首先结合已知条件AB=AD和(1)中求出的∠BAD，可作辅助线连接BD构造等腰△ABD，利用等腰三角形两底角相等的性质算出∠ABD的度数；再观察四边形ABDE同样是该圆的内接四边形，∠AED与∠ABD是一组对角，满足对角互补的关系，代入∠ABD的度数即可求出∠AED。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BCD + ∠BAD = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵ ∠BCD = 110°，
∴ ∠BAD = 180° - 110° = 70°。
(2) 连接BD，如答图：
∵ AB = AD，∠BAD = 70°，
∴ $∠ ABD = \frac{180° - ∠ BAD}{2} = \frac{180° - 70°}{2} = 55°$，
∵ 四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABD + ∠AED = 180°（圆内接四边形对角互补），
∴ ∠AED = 180° - 55° = 125°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{70}$
(2) $\boldsymbol{125°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理
【点评】
本题是圆章节的基础常考题，核心考查圆内接四边形对角互补的性质，解题的关键是合理添加辅助线构造等腰三角形，结合等腰三角形的角度计算即可得到结果，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.75
(1) 已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，∠BAD与已知的∠BCD为一组对角，二者之和为180°，直接代入计算即可求出∠BAD的度数。
(2) 要求∠AED的度数，首先结合已知条件AB=AD和(1)中求出的∠BAD，可作辅助线连接BD构造等腰△ABD，利用等腰三角形两底角相等的性质算出∠ABD的度数；再观察四边形ABDE同样是该圆的内接四边形，∠AED与∠ABD是一组对角，满足对角互补的关系，代入∠ABD的度数即可求出∠AED。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BCD + ∠BAD = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵ ∠BCD = 110°，
∴ ∠BAD = 180° - 110° = 70°。
(2) 连接BD，如答图：
∵ AB = AD，∠BAD = 70°，
∴ $∠ ABD = \frac{180° - ∠ BAD}{2} = \frac{180° - 70°}{2} = 55°$，
∵ 四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABD + ∠AED = 180°（圆内接四边形对角互补），
∴ ∠AED = 180° - 55° = 125°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{70}$
(2) $\boldsymbol{125°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理
【点评】
本题是圆章节的基础常考题，核心考查圆内接四边形对角互补的性质，解题的关键是合理添加辅助线构造等腰三角形，结合等腰三角形的角度计算即可得到结果，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.75
13.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ ABC=60°$，对角线DB平分$∠ ADC$。
(1)求证：$△ ABC$是等边三角形；
(2)过点B作$BE // CD$交DA的延长线于点E，若$AD=2$，$DC=3$，求$△ BDE$的面积。
(1)求证：$△ ABC$是等边三角形；
(2)过点B作$BE // CD$交DA的延长线于点E，若$AD=2$，$DC=3$，求$△ BDE$的面积。
答案
13.(1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$,
$\therefore ∠ABC+∠ADC=180°$.
$\because ∠ABC=60°, \therefore ∠ADC=120°$.
$\because DB$平分$∠ADC, \therefore ∠ADB=∠CDB=60°$,
$\therefore ∠ACB=∠ADB=60°,∠BAC=∠CDB=60°$,
$\therefore ∠ABC=∠BCA=∠BAC, \therefore △ABC$是等边三角形.
(2)解:$\because BE// CD, \therefore ∠EBD=∠BDC$.
$\because ∠ADB=∠CDB=60°, \therefore ∠EBD=∠EDB=60°$,
$\therefore △BDE$是等边三角形.
又$\because △ABC$为等边三角形,
$\therefore ∠EBD=∠ABC=60°, \therefore ∠ABE=∠CBD$.
在$△ ABE$和$△ CBD$中,$\begin{cases} BE=BD, \\ ∠ABE=∠CBD, \\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌ △ CBD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AE=CD=3, \therefore DE=AE+AD=5$,
$\therefore △ BDE$的面积为$\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{3}}{2}×5=\frac{25\sqrt{3}}{4}$.
$\therefore ∠ABC+∠ADC=180°$.
$\because ∠ABC=60°, \therefore ∠ADC=120°$.
$\because DB$平分$∠ADC, \therefore ∠ADB=∠CDB=60°$,
$\therefore ∠ACB=∠ADB=60°,∠BAC=∠CDB=60°$,
$\therefore ∠ABC=∠BCA=∠BAC, \therefore △ABC$是等边三角形.
(2)解:$\because BE// CD, \therefore ∠EBD=∠BDC$.
$\because ∠ADB=∠CDB=60°, \therefore ∠EBD=∠EDB=60°$,
$\therefore △BDE$是等边三角形.
又$\because △ABC$为等边三角形,
$\therefore ∠EBD=∠ABC=60°, \therefore ∠ABE=∠CBD$.
在$△ ABE$和$△ CBD$中,$\begin{cases} BE=BD, \\ ∠ABE=∠CBD, \\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌ △ CBD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AE=CD=3, \therefore DE=AE+AD=5$,
$\therefore △ BDE$的面积为$\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{3}}{2}×5=\frac{25\sqrt{3}}{4}$.
解析
【分析】
(1)要证明△ABC是等边三角形，已知∠ABC=60°，只需证明另外两个内角也为60°即可。先利用圆内接四边形对角互补求出∠ADC的度数，结合角平分线的性质得到∠ADB和∠CDB的度数，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到∠BAC、∠ACB的度数，完成证明。
(2)首先根据平行线的性质和已知的60°角，证明△BDE是等边三角形，再通过角度推导得到∠ABE=∠CBD，结合等边三角形边相等的条件，证明△ABE≌△CBD，将CD的长度转化为AE的长度，求出DE的长，最后代入等边三角形的面积公式计算即可。
【解析】
(1)证明：$\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
$\therefore ∠ABC+∠ADC=180°$。
$\because ∠ABC=60°, \therefore ∠ADC=120°$。
$\because DB$平分$∠ADC, \therefore ∠ADB=∠CDB=60°$，
根据同弧所对的圆周角相等，得$∠ACB=∠ADB=60°,∠BAC=∠CDB=60°$，
$\therefore ∠ABC=∠BCA=∠BAC, \therefore △ABC$是等边三角形。
(2)解：$\because BE// CD, \therefore ∠EBD=∠BDC$。
$\because ∠ADB=∠CDB=60°, \therefore ∠EBD=∠EDB=60°$，
$\therefore △BDE$是等边三角形，$\therefore BE=BD$。
又$\because △ABC$为等边三角形，$\therefore AB=CB,∠ABC=60°$，
$\therefore ∠EBD=∠ABC=60°, \therefore ∠EBD-∠ABD=∠ABC-∠ABD$，即$∠ABE=∠CBD$。
在$△ ABE$和$△ CBD$中,
$\begin{cases} BE=BD, \\ ∠ABE=∠CBD, \\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌ △ CBD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=CD=3, \therefore DE=AE+AD=3+2=5$，
$\therefore △ BDE$的面积为$\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{3}}{2}×5=\frac{25\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
(1)△ABC是等边三角形，证明成立；
(2)$\frac{25\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了圆的相关性质和三角形的判定、性质应用，第一问侧重基础知识点的直接运用，第二问需要通过全等三角形完成线段长度的转化，对逻辑推理能力有一定的考查。
【难度系数】
0.6
(1)要证明△ABC是等边三角形，已知∠ABC=60°，只需证明另外两个内角也为60°即可。先利用圆内接四边形对角互补求出∠ADC的度数，结合角平分线的性质得到∠ADB和∠CDB的度数，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到∠BAC、∠ACB的度数，完成证明。
(2)首先根据平行线的性质和已知的60°角，证明△BDE是等边三角形，再通过角度推导得到∠ABE=∠CBD，结合等边三角形边相等的条件，证明△ABE≌△CBD，将CD的长度转化为AE的长度，求出DE的长，最后代入等边三角形的面积公式计算即可。
【解析】
(1)证明：$\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
$\therefore ∠ABC+∠ADC=180°$。
$\because ∠ABC=60°, \therefore ∠ADC=120°$。
$\because DB$平分$∠ADC, \therefore ∠ADB=∠CDB=60°$，
根据同弧所对的圆周角相等，得$∠ACB=∠ADB=60°,∠BAC=∠CDB=60°$，
$\therefore ∠ABC=∠BCA=∠BAC, \therefore △ABC$是等边三角形。
(2)解：$\because BE// CD, \therefore ∠EBD=∠BDC$。
$\because ∠ADB=∠CDB=60°, \therefore ∠EBD=∠EDB=60°$，
$\therefore △BDE$是等边三角形，$\therefore BE=BD$。
又$\because △ABC$为等边三角形，$\therefore AB=CB,∠ABC=60°$，
$\therefore ∠EBD=∠ABC=60°, \therefore ∠EBD-∠ABD=∠ABC-∠ABD$，即$∠ABE=∠CBD$。
在$△ ABE$和$△ CBD$中,
$\begin{cases} BE=BD, \\ ∠ABE=∠CBD, \\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌ △ CBD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=CD=3, \therefore DE=AE+AD=3+2=5$，
$\therefore △ BDE$的面积为$\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{3}}{2}×5=\frac{25\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
(1)△ABC是等边三角形，证明成立；
(2)$\frac{25\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了圆的相关性质和三角形的判定、性质应用，第一问侧重基础知识点的直接运用，第二问需要通过全等三角形完成线段长度的转化，对逻辑推理能力有一定的考查。
【难度系数】
0.6
