1.(2025·宿迁宿城区期末)如图,A,B,C均为$\odot O$上一点,若$∠ ACB=40°$,则$∠ AOB=$ ()

A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$140°$

1.C

【分析】
解题时首先观察∠ACB和∠AOB的位置特征：∠ACB是圆周角，∠AOB是圆心角，二者所对的弧都是弧AB。接下来回忆圆周角定理的内容：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此只需用已知的圆周角度数乘2即可求出圆心角的度数。
【解析】
∵∠ACB是⊙O中弧AB所对的圆周角，∠AOB是⊙O中弧AB所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍
∴∠AOB=2∠ACB
又
∵∠ACB=40°
∴∠AOB=2×40°=80°
故选：C
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；圆心角与圆周角的关系
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，核心考点为圆周角定理的应用，解题的关键是准确识别同弧所对的圆心角和圆周角，熟练掌握定理内容即可快速得出结果，是圆章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.9

2.(2025·宿迁泗洪县期中)如图，AB，AC为$\odot O$的两条弦，连接OB，OC.若$∠ A=50°$，则$∠ B+∠ C=$（）

A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$

2.B

【分析】
解题思路可从圆的基本性质入手：因为同圆的所有半径相等，连接OA后，可得到两个等腰三角形△OAB和△OAC，利用等腰三角形等边对等角的性质，即可将∠B、∠C转化为∠BAC的两个组成部分，直接求和；也可结合圆周角定理和三角形内角和求解，先求劣弧BC对应的圆心角，再通过角度和差关系计算∠B+∠C的度数。
【解析】
连接OA，
∵ OA、OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OB，OA=OC，
∴ ∠B=∠OAB，∠C=∠OAC，
∴ ∠B+∠C=∠OAB+∠OAC=∠BAC，
又
∵ ∠BAC=50°，
∴ ∠B+∠C=50°。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形性质，圆周角定理
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，解题核心是灵活运用同圆半径相等的性质构造等腰三角形，也可结合圆周角定理与三角形内角和关系求解，解题方法灵活，是圆的性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8

3.(2025·宿迁宿城区期中)如图，AB为$\odot O$的直径，C，D为$\odot O$上两点.若$∠ BCD=40°$，则$∠ ABD$的大小为（）

A.$60°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$20°$

3.B

【分析】
解题时可按以下步骤思考：①看到AB是圆的直径，首先联想到“直径所对的圆周角是直角”，因此连接辅助线AD，可得到直角三角形ADB；②已知∠BCD=40°，观察可得∠BCD和∠BAD都是弧BD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可求出∠BAD的度数；③在直角三角形ADB中，利用直角三角形两锐角互余，即可求出∠ABD的大小。
【解析】
解：连接AD，
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∵$∠ BCD$和$∠ BAD$都是弧BD所对的圆周角，
∴$∠ BAD=∠ BCD=40°$（同弧所对的圆周角相等），
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=90°-∠ BAD=90°-40°=50°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角性质；直径所对圆周角特征；直角三角形性质
【点评】
本题是圆中角度计算的常见基础题型，解题核心是熟练运用圆周角的相关性质，通过构造辅助线得到直角三角形，将已知角和待求角转化到同一个直角三角形中求解，解题时要能快速识别同弧对应的圆周角，完成角度的转化。
【难度系数】
0.8

4.如图，CD是$\odot O$的弦，O是圆心，把$\odot O$的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，$∠ CAD=102°$，则$∠ B$的度数是。

4.$78°$

【分析】
解决本题首先利用折叠的性质，确定点A对折前的对应点A'在⊙O上，且∠CA'D=∠CAD=102°；再观察到四边形A'CBD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，即可推出∠B与∠CA'D的和为180°，进而计算出∠B的度数。也可通过圆周角定理，先推导优弧CD的度数，再求劣弧CD对应的圆周角∠B的度数。
【解析】
设点A沿着CD对折前的对应点为A'，则A'在⊙O上，由折叠的性质可得：$∠ CA'D=∠ CAD=102°$。
∵四边形$A'CBD$是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ B+∠ CA'D=180°$（圆内接四边形对角互补），
∴$∠ B=180°-∠ CA'D=180°-102°=78°$。
【答案】
$78°$
【知识点】
折叠的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题型，将折叠变换与圆的性质结合考查，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合圆的相关性质求解，是圆类角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.7

5.如图，A，B，C，D四点均在$\odot O$上，$∠ AOD=68°$，$AO// DC$，则$∠ B$的度数为.

5.$56°$

【分析】
要求圆周角∠B的度数，依据圆周角定理，需先求出∠B所对弧AC对应的圆心角∠AOC的度数。已知∠AOD=68°，因此只需算出∠COD的度数即可：首先利用AO//DC的平行线性质，得到内错角∠ODC=∠AOD；再结合同圆半径相等，可知△ODC为等腰三角形，进而求出∠COD的度数，最后结合圆周角定理即可算出∠B的大小。
【解析】
解：
∵AO//DC，∠AOD=68°
∴∠ODC=∠AOD=68°（两直线平行，内错角相等）
∵OD、OC都是⊙O的半径
∴OD=OC，即△ODC为等腰三角形
∴∠OCD=∠ODC=68°
在△ODC中，∠COD=180°-∠ODC-∠OCD=180°-68°-68°=44°
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=68°+44°=112°
∵∠B是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角
∴根据圆周角定理：∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×112°=56°
【答案】
56°
【知识点】
圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的常规题型，综合了圆、平行线、等腰三角形的相关性质，解题关键是通过已知条件推导得出所求圆周角对应的圆心角度数，解题时需注意圆周角和圆心角对应同一段弧才能使用圆周角定理。
【难度系数】
0.7

6.(2025·宿迁宿城区期末)已知P是$\odot O$上一点,在$\odot O$上作两点A,B,使得$∠ APB$分别满足以下条件:
(1)在图①中,$∠ APB=90°$;
(2)在图②中,$∠ APB=30°$.
(说明:第(1)题只用无刻度的直尺作图,第(2)题只用圆规作图;保留作图痕迹,不写作法.)

6.解:(1)如答图①,点A,B即为所求.
(2)如答图②,点A,B即为所求.

【分析】
(1) 要得到∠APB=90°，回忆圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，因此只需要构造过圆心的直径AB，即可得到90°的圆周角∠APB，用无刻度直尺即可完成直径的绘制。
(2) 要得到∠APB=30°，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，因此只需让∠APB所对的弧AB对应的圆心角为60°即可。60°的圆心角对应的弦长等于圆的半径，因此只用圆规以圆的半径为长度在圆周上截取对应弧段即可完成作图。
【解析】
(1) 用无刻度直尺过圆心O作直线，与⊙O交于A、B两点，AB即为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，此时∠APB=90°，点A、B即为所求。
(2) 根据圆周角定理，30°的圆周角对应其所对弧的圆心角为60°，60°圆心角所对的弦长等于⊙O的半径。用圆规取⊙O的半径长度，在⊙O上截取两点A、B，使得弧AB对应的圆心角∠AOB=60°，此时∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°，点A、B即为所求。
（作图均保留痕迹即可）
【答案】
(1)如答图①，点A,B即为所求.
(2)如答图②，点A,B即为所求.

【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；尺规作图
【点评】
本题考查圆的性质在作图中的应用，需要结合圆周角与圆心角的关系、直径的性质推导作图思路，既考查了对基础性质的理解，也考查了动手作图的能力，掌握相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7