7. 如图，AB是$\odot O$的直径，M，N分别是AO，BO的中点，$CM⊥ AB$，$DN⊥ AB$。
求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。

7.证明:连接OC,OD,如答图.

∵AB是$\odot O$的直径,M,N分别是AO,BO的中点,
∴OM=ON.
∵$CM⊥AB,DN⊥AB$,
∴$∠OMC=∠OND=90°$.
在$Rt△OMC$和$Rt△OND$中,$\begin{cases} OM=ON, \\ OC=OD, \end{cases}$
∴$Rt△OMC≌Rt△OND(HL)$,
∴$∠COM=∠DON$,$\therefore\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.

8.(2025·苏州期末)如图,在△ABC中,AB=AC,以腰AB为直径作半圆O,分别交BC,AC于点D,E.
(1)求证:BD=DC;
(2)若∠BAC=40°,求$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角的度数.

8.(1)证明:如答图,连接AD,
∵AB是半圆O的直径,
∴$∠ADB=90°$,$\therefore AD⊥BC$.
又
∵AB=AC,
∴BD=DC.
(2)解:如答图,连接OD,OE,
∵AB=AC,$AD⊥BC$,$∠BAC=40°$,
∴$∠BAD=∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC=20°$,
∴$∠DOE=2∠DAC=40°$,
$\therefore\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角的度数为$40°$.

9. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$∠ ABC＞90°$，$∠ BAC$处的外角$∠ EAC$的平分线交$\odot O$于点$D$，连接$DB$，$DC$，$DB$交$AC$于点$F$.
(1)若$∠ EAD=75°$，求$\overset{\frown}{BC}$的度数；
(2)求证：$DB=DC$；
(3)若$DA=DF$，$∠ ABC=α$，求$∠ DFC$的度数.(用含$α$的代数式表示)

9.(1)解:
∵$∠EAD=75°$,AD平分$∠EAC$,
∴$∠EAC=2∠EAD=150°$,
∴$∠BAC=180°-∠EAC=30°$,
$\therefore\overset{\frown}{BC}$的度数为$30°×2=60°$.
(2)证明:
∵四边形ABCD内接于$\odot O$,
∴$∠BCD+∠BAD=180°$.
∵$∠DAB+∠EAD=180°$,$\therefore∠EAD=∠BCD$.
∵AD平分$∠EAC$,$\therefore∠EAD=∠DAC$,$\therefore∠CAD=∠BCD$.
∵$∠CAD=∠CBD$,$\therefore∠BCD=∠CBD$,$\therefore DB=DC$.
(3)解:
∵$DA=DF$,$\therefore∠DAF=∠DFA$.
由(2)知$∠DBC=∠DCB$,
∴$∠DAF=∠DFA=∠CBD=∠BCD$,
∴$∠ADF=∠BDC$.
∵$∠ABC=α$,$\therefore∠ADC=180°-α$,
∴$∠ADF=\frac{1}{2}∠ADC=90°-\frac{α}{2}$,
∴$∠DAF=∠DFA=(180°-∠ADF)÷2=45°+\frac{α}{4}$,
∴$∠DFC=180°-∠DFA=135°-\frac{α}{4}$.