9. 代数式 $\dfrac{x}{2x - 3}$ 的值比代数式 $\dfrac{2}{3 - 2x}$ 的值大 $4$，则 $ x =$.

2

10. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\dfrac{a}{x} = b$ 的解为 $ x = \dfrac{1}{a + b}$，我们就说这个方程是和解方程.例如：$\dfrac{2}{x} = -4$ 就是一个和解方程.如果关于 $ x $ 的分式方程 $\dfrac{n}{x} = 3 - n$ 是一个和解方程，那么 $ n =$.

$\frac{3}{4}$

11. 如图，点 $ A,B $ 在数轴上，它们对应的数分别为 $-2,\dfrac{x}{x + 2}$.
(1)若点 $ A,B $ 到原点的距离相等，求 $ x $ 的值；
(2)若点 $ C $ 在数轴上对应的数为 $\dfrac{1}{2x + 4}$，且点 $ A,B $ 到点 $ C $ 的距离相等，求 $ x $ 的值.

解：
$ (1) \because $点A,B在数轴上，它们对应的数分别为$-2,\frac{x}{x+2}$，
$ \therefore $点A到原点的距离为2，点B到原点的距离为$\left$|$\frac{x}{x+2}\right$|。
$ \because $点A,B到原点的距离相等，且由数轴知点B在正半轴，
$ \therefore \frac{x}{x+2}=2$，
$ \begin{aligned}x&=2(x+2)\\x&=2x+4\\x&=4\\x&=-4\end{aligned}$
把x=-4代入原方程：左边$=\frac{-4}{-4+2}=2$，右边=2，左边=右边，
$ \therefore $原方程的解是x=-4，即x=-4。
$ (2) \because $点A,B到点C的距离相等，
$ \therefore $点C必在点A,B之间，
$ \therefore AC=\frac{1}{2x+4}-(-2)$，$BC=\frac{x}{x+2}-\frac{1}{2x+4}$，
$ \therefore \frac{x}{x+2}-\frac{1}{2x+4}=\frac{1}{2x+4}-(-2)$，
方程两边同乘2(x+2)，得
$ \begin{aligned}2x-1&=1+4(x+2)\\2x-1&=1+4x+8\\2x-4x&=10\\2x&=10\\x&=-5\end{aligned}$
把x=-5代入原方程：左边$=\frac{-5}{-5+2}-\frac{1}{2×(-5)+4}=\frac{11}{6}$，右边$=\frac{1}{2×(-5)+4}-(-2)=\frac{11}{6}$，左边=右边，
$ \therefore $原方程的解是x=-5，即x=-5。

12. (2024·玄武区期中)先阅读下面的材料，再解答问题：
材料一：
方程 $ x + \dfrac{1}{x} = 2 + \dfrac{1}{2}$ 的解为 $ x_1 = 2,x_2 = \dfrac{1}{2}$；
方程 $ x + \dfrac{1}{x} = 3 + \dfrac{1}{3}$ 的解为 $ x_1 = 3,x_2 = \dfrac{1}{3}$；
方程 $ x + \dfrac{1}{x} = 4 + \dfrac{1}{4}$ 的解为 $ x_1 = 4,x_2 = \dfrac{1}{4}······$
材料二：在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式(分子为正数)的和(差)的形式.
如：$\dfrac{x - 1}{x + 1} = \dfrac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \dfrac{2}{x + 1}$；
再如：$\dfrac{x^2}{x - 1} = \dfrac{x^2 - 1 + 1}{x - 1} = \dfrac{(x + 1)(x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 + \dfrac{1}{x - 1}$.
(1) 根据上面材料一的规律，猜想关于 $ x $ 的方程 $ x + \dfrac{1}{x} = a + \dfrac{1}{a}$ 的解是；
(2) 根据材料二将分式 $ x + \dfrac{x + 2}{x + 1}$ 拆分成一个整式与一个分式(分子为正数)的和的形式 $ x + \dfrac{x + 2}{x + 1} =$ $+$，利用(1)的结论得到关于 $ x $ 的方程 $ x + \dfrac{x + 2}{x + 1} = \dfrac{10}{3}$ 的解是；

(3) 利用上述材料及(1)的结论解关于 $ x $ 的方程：$\dfrac{4x^2 - 12x + 10}{2x - 3} = \dfrac{a^2 + 1}{a}$.

$x_1=a$，$x_2=\frac{1}{a}$
x+1
$\frac{1}{x+1}$
$x_1=2$，$x_2=-\frac{2}{3}$
解：$\frac{4x^2-12x+10}{2x-3}=\frac{a^2+1}{a}$，
变形得$\frac{(2x-3)^2+1}{2x-3}=a+\frac{1}{a}$，
即$(2x-3)+\frac{1}{2x-3}=a+\frac{1}{a}$，
根据
(1)的结论，得
2x-3=a或$2x-3=\frac{1}{a}$，
解得$x_1=\frac{3+a}{2}$，$x_2=\frac{1+3a}{2a}$。
把$x_1=\frac{3+a}{2}$，$x_2=\frac{1+3a}{2a}$分别代入原方程：左边$=\frac{a^2+1}{a}$，右边$=\frac{a^2+1}{a}$，左边=右边，
$ \therefore $原方程的解是$x_1=\frac{3+a}{2}$，$x_2=\frac{1+3a}{2a}$。