5. (2024·陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥. 桥梁的缆索 $L_{1}$ 与缆索 $L_{2}$ 均呈抛物线型，桥塔 AO 与桥塔 BC 均垂直于桥面，如图所示，以 O 为原点，以直线 $FF'$ 为 x 轴，以桥塔 AO 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系.
已知: 缆索 $L_{1}$ 所在抛物线与缆索 $L_{2}$ 所在抛物线关于 y 轴对称，桥塔 AO 与桥塔 BC 之间的距离 $OC = 100$ m，$AO = BC = 17$ m，缆索 $L_{1}$ 的最低点 P 到 $FF'$ 的距离 $PD = 2$ m. (桥塔的粗细忽略不计)
(1) 求缆索 $L_{1}$ 所在抛物线的函数表达式；
(2) 点 E 在缆索 $L_{2}$ 上，$EF⊥FF'$，且 $EF = 2.6$ m，$FO ＜ OD$，求 FO 的长.
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5.（1）由题意，$\because AO = 17\ m$，$\therefore A(0,17)$．又$OC = 100\ m$，缆索$L_{1}$的最低点$P$到$FF'$的距离$PD = 2\ m$，$\therefore$ 抛物线的顶点$P$为$(50,2)$．故可设抛物线为$y = a(x - 50)^{2}+2$．又将$A$代入抛物线可得，$\therefore 2500a + 2 = 17$，$\therefore a = \frac{3}{500}$，$\therefore$ 缆索$L_{1}$所在抛物线为$y = \frac{3}{500}(x - 50)^{2}+2$．（2）由题意，$\because$ 缆索$L_{1}$所在抛物线与缆索$L_{2}$所在抛物线关于$y$轴对称，又缆索$L_{1}$所在抛物线为$y = \frac{3}{500}(x - 50)^{2}+2$．$\therefore$ 缆索$L_{2}$所在抛物线为$y = \frac{3}{500}(x + 50)^{2}+2$．又令$y = 2.6$，$\therefore 2.6 = \frac{3}{500}(x + 50)^{2}+2$，$\therefore x = - 40$或$x = - 60$．又$FO ＜ OD = 50\ m$，$\therefore x = - 40$，$\therefore FO$的长为$40\ m$．

(1) 由题意得，点$A(0,17)$，抛物线$L_1$的顶点$P(50,2)$，设抛物线$L_1$的表达式为$y = a(x - 50)^2 + 2$，将$A(0,17)$代入得：$17 = a(0 - 50)^2 + 2$，即$2500a = 15$，解得$a = \frac{3}{500}$，所以缆索$L_1$所在抛物线的函数表达式为$y = \frac{3}{500}(x - 50)^2 + 2$。
(2) 因为$L_1$与$L_2$关于$y$轴对称，所以$L_2$的表达式为$y = \frac{3}{500}(x + 50)^2 + 2$。已知$EF = 2.6\ m$，即$y = 2.6$，代入$L_2$表达式得：$2.6 = \frac{3}{500}(x + 50)^2 + 2$，化简得$(x + 50)^2 = 100$，解得$x = - 40$或$x = - 60$。因为$FO ＜ OD = 50\ m$，所以$x = - 40$，故$FO$的长为$40\ m$。

6. 苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图 1，两栋建筑第八层由一条长 60 m 的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥 150 m 处各有一窗户，两窗户的水平距离为 30 m，如图 2，则此抛物线顶端 O 到连桥 AB 距离为()


A.180 m
B.200 m
C.220 m
D.240 m

6. B

解：以抛物线顶端$O$为原点，竖直向下为$y$轴正方向，水平方向为$x$轴建立直角坐标系，设抛物线方程为$y = ax^2$。
连桥$AB$长$60m$，则$A(-30, h)$，$B(30, h)$，代入方程得$h = a · 30^2 = 900a$。
窗户$C$、$D$距连桥$150m$，则其纵坐标为$h + 150$，水平距离$30m$，设$C(-15, h + 150)$，$D(15, h + 150)$，代入方程得$h + 150 = a · 15^2 = 225a$。
联立$\begin{cases}h = 900a \\ h + 150 = 225a\end{cases}$，解得$a = -\frac{1}{5}$，$h = -180$（负号表示方向），顶端$O$到连桥$AB$距离为$180m$。
答案：A

7. (2024·江西)如图，一小球从斜坡 O 点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数 $y = ax^{2}+bx(a ＜ 0)$ 刻画，斜坡可以用一次函数 $y=\frac {1}{4}x$ 刻画，小球飞行的水平距离 x(米)与小球飞行的高度 y(米)的变化规律如表:

(1) ① $m=$，$n=$；
② 小球的落点是 A，求点 A 的坐标.
(2) 小球飞行高度 y(米)与飞行时间 t(秒)满足关系: $y=-5t^{2}+vt$.

① 小球飞行的最大高度为米；
② 求 v 的值.
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7.（1）① 3，6 ② 联立得$\begin{cases}y = -\frac{1}{2}x^{2}+4x\\y = \frac{1}{4}x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 0\\y = 0\end{cases}$或$\begin{cases}x = \frac{15}{2}\\y = \frac{15}{8}\end{cases}$，$\therefore$ 点$A$的坐标是$(\frac{15}{2},\frac{15}{8})$．（2）① 8 ② $y = - 5t^{2}+vt = - 5(t - \frac{v}{10})^{2}+\frac{v^{2}}{20}$，则$\frac{v^{2}}{20}=8$，解得$v = 4\sqrt{10}$（负值舍去）．