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1. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m，若水面下降 2.5 m，那么水面宽度为(
A.3 m
B.6 m
C.8 m
D.9 m
B
)A.3 m
B.6 m
C.8 m
D.9 m
答案
1. B
解析
以抛物线顶点为原点，竖直向下为y轴正方向建立直角坐标系。设抛物线方程为$y=ax^2$。
当拱顶离水面2m时，水面宽4m，此时水面上一点坐标为$(2,2)$，代入方程得$2=a×2^2$，解得$a=\frac{1}{2}$，故抛物线方程为$y=\frac{1}{2}x^2$。
水面下降2.5m后，此时$y=2 + 2.5=4.5$，代入方程$4.5=\frac{1}{2}x^2$，解得$x^2=9$，$x=\pm3$。
水面宽度为$3 - (-3)=6$m。
B
当拱顶离水面2m时，水面宽4m，此时水面上一点坐标为$(2,2)$，代入方程得$2=a×2^2$，解得$a=\frac{1}{2}$，故抛物线方程为$y=\frac{1}{2}x^2$。
水面下降2.5m后，此时$y=2 + 2.5=4.5$，代入方程$4.5=\frac{1}{2}x^2$，解得$x^2=9$，$x=\pm3$。
水面宽度为$3 - (-3)=6$m。
B
2. (2024·广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点 P 处)的高度 OP 是 $\frac {7}{4}$ m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 5 m，高度是 4 m. 若实心球落地点为 M，则 $OM=$
]
$\frac{35}{3}$
m.]
答案
2. $\frac{35}{3}$
解析
解：设抛物线的顶点式为$y=a(x-5)^2 + 4$。
因为点$P(0,\frac{7}{4})$在抛物线上，代入可得：
$\frac{7}{4}=a(0 - 5)^2+4$
$\frac{7}{4}=25a + 4$
$25a=\frac{7}{4}-4=\frac{7}{4}-\frac{16}{4}=-\frac{9}{4}$
$a=-\frac{9}{4}÷25=-\frac{9}{100}$
所以抛物线解析式为$y=-\frac{9}{100}(x - 5)^2+4$。
令$y = 0$，则：
$0=-\frac{9}{100}(x - 5)^2+4$
$\frac{9}{100}(x - 5)^2=4$
$(x - 5)^2=\frac{400}{9}$
$x - 5=\pm\frac{20}{3}$
解得$x_1=5+\frac{20}{3}=\frac{35}{3}$，$x_2=5-\frac{20}{3}=-\frac{5}{3}$（舍去）。
故$OM=\frac{35}{3}$。
$\frac{35}{3}$
因为点$P(0,\frac{7}{4})$在抛物线上，代入可得：
$\frac{7}{4}=a(0 - 5)^2+4$
$\frac{7}{4}=25a + 4$
$25a=\frac{7}{4}-4=\frac{7}{4}-\frac{16}{4}=-\frac{9}{4}$
$a=-\frac{9}{4}÷25=-\frac{9}{100}$
所以抛物线解析式为$y=-\frac{9}{100}(x - 5)^2+4$。
令$y = 0$，则：
$0=-\frac{9}{100}(x - 5)^2+4$
$\frac{9}{100}(x - 5)^2=4$
$(x - 5)^2=\frac{400}{9}$
$x - 5=\pm\frac{20}{3}$
解得$x_1=5+\frac{20}{3}=\frac{35}{3}$，$x_2=5-\frac{20}{3}=-\frac{5}{3}$（舍去）。
故$OM=\frac{35}{3}$。
$\frac{35}{3}$
3. (2024·甘肃)如图 1 为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图 2 是棚顶的竖直高度 y(单位:m)与距离停车棚支柱 AO 的水平距离 x(单位:m)近似满足函数关系 $y=-0.02x^{2}+0.3x+1.6$ 的图像，点 $B(6,2.68)$ 在图像上. 若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长 $CD = 4$ m，高 $DE = 1.8$ m 的矩形，则可判定货车
]
能
(填“能”或“不能”)完全停到车棚内.]
答案
3. 能
解析
解：要判断货车能否完全停到车棚内，需货车截面矩形的最高点E到抛物线的竖直距离不小于0，即当货车停在车棚内时，矩形CDDE的上底边EF对应的抛物线上的点的纵坐标应不小于DE的高度1.8m。
设货车停在距离支柱AO水平距离为$x$处，此时C点坐标为$(x,0)$，D点坐标为$(x + 4,0)$，则F点坐标为$(x, y_F)$，E点坐标为$(x + 4, y_E)$，其中$y_F$和$y_E$为抛物线上对应点的纵坐标。
货车能完全停入的条件是抛物线上在区间$[x, x + 4]$内的所有点的纵坐标均不小于1.8m。为确保货车能停入，只需抛物线在该区间内的最小值不小于1.8m。
抛物线$y = -0.02x^2 + 0.3x + 1.6$的对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.3}{2×(-0.02)} = 7.5$，开口向下，在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减。
假设货车停在使矩形中心与抛物线对称轴尽可能接近的位置，此时区间$[x, x + 4]$的中点为$x + 2$，当$x + 2 = 7.5$，即$x = 5.5$时，区间为$[5.5, 9.5]$。
计算区间端点的函数值：
当$x = 5.5$时，$y = -0.02×(5.5)^2 + 0.3×5.5 + 1.6 = -0.02×30.25 + 1.65 + 1.6 = -0.605 + 1.65 + 1.6 = 2.645$
当$x = 9.5$时，$y = -0.02×(9.5)^2 + 0.3×9.5 + 1.6 = -0.02×90.25 + 2.85 + 1.6 = -1.805 + 2.85 + 1.6 = 2.645$
由于抛物线在$[5.5, 9.5]$上先增后减，最小值在端点处取得，为2.645m，大于货车高度1.8m。
因此，货车能完全停到车棚内。
能
设货车停在距离支柱AO水平距离为$x$处，此时C点坐标为$(x,0)$，D点坐标为$(x + 4,0)$，则F点坐标为$(x, y_F)$，E点坐标为$(x + 4, y_E)$，其中$y_F$和$y_E$为抛物线上对应点的纵坐标。
货车能完全停入的条件是抛物线上在区间$[x, x + 4]$内的所有点的纵坐标均不小于1.8m。为确保货车能停入，只需抛物线在该区间内的最小值不小于1.8m。
抛物线$y = -0.02x^2 + 0.3x + 1.6$的对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.3}{2×(-0.02)} = 7.5$，开口向下，在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减。
假设货车停在使矩形中心与抛物线对称轴尽可能接近的位置，此时区间$[x, x + 4]$的中点为$x + 2$，当$x + 2 = 7.5$，即$x = 5.5$时，区间为$[5.5, 9.5]$。
计算区间端点的函数值：
当$x = 5.5$时，$y = -0.02×(5.5)^2 + 0.3×5.5 + 1.6 = -0.02×30.25 + 1.65 + 1.6 = -0.605 + 1.65 + 1.6 = 2.645$
当$x = 9.5$时，$y = -0.02×(9.5)^2 + 0.3×9.5 + 1.6 = -0.02×90.25 + 2.85 + 1.6 = -1.805 + 2.85 + 1.6 = 2.645$
由于抛物线在$[5.5, 9.5]$上先增后减，最小值在端点处取得，为2.645m，大于货车高度1.8m。
因此，货车能完全停到车棚内。
能
4. (2024·兰州)在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图 1 是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线. 为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究. 如图 2 建立直角坐标系. 水火箭发射后落在水平地面 A 处. 科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面 OA 的竖直高度 y(m)与离发射点 O 的水平距离 x(m)的几组关系数据如下:
(1) 根据如表，请确定抛物线的表达式；
(2) 请计算当水火箭飞行至离发射点 O 的水平距离为 5 m 时，水火箭距离地面的竖直高度.
]
(1) 根据如表，请确定抛物线的表达式；
(2) 请计算当水火箭飞行至离发射点 O 的水平距离为 5 m 时，水火箭距离地面的竖直高度.
]答案
4.（1）由题意可得，抛物线的对称轴是直线$x=\frac{10+20}{2}=15$，$\therefore$ 抛物线的顶点为$(15,9)$．$\therefore$ 可设抛物线为$y=a(x - 15)^{2}+9$．又抛物线过$(10,8)$，$\therefore 25a = - 1$，$\therefore a = -\frac{1}{25}$．$\therefore$ 抛物线的表达式为$y = -\frac{1}{25}(x - 15)^{2}+9$．（2）由题意，结合(1)$y = -\frac{1}{25}(x - 15)^{2}+9$，$\therefore$ 令$x = 5$，则$y = -\frac{1}{25}(5 - 15)^{2}+9 = 5$．$\therefore$ 水火箭距离地面的竖直高度为5m．
