7. (2024·大庆)“尔滨”火了,带动了黑龙江省的经济发展,农副产品也随之畅销全国. 某村民在网上直播推销某种农副产品,在试销售的 30 天中,第 $ x $ 天 $ (1 ≤ x ≤ 30 $ 且 $ x $ 为整数) 的售价为 $ y $ (元/千克),当 $ 1 ≤ x ≤ 20 $ 时, $ y = kx + b $;当 $ 20 ＜ x ≤ 30 $ 时, $ y = 15 $. 销量 $ z $ (千克) 与 $ x $ 的函数关系式为 $ z = x + 10 $, 已知该产品第 10 天的售价为 20 元/千克,第 15 天的售价为 15 元/千克,设第 $ x $ 天的销售额为 $ M $ (元).
(1) $ k = $, $ b = $;
(2) 写出第 $ x $ 天的销售额 $ M $ 与 $ x $ 之间的函数关系式;
(3) 求在试销售的 30 天中,共有多少天销售额超过 500 元?

7. (1)-1 30
(2)由题意,当 1≤x≤20 时,由(1)得 y=-x+30,
∴ M=(x+10)(-x+30)=-x²+20x+300.当 20≤x≤30 时,M=15(x+10)=15x+150,
∴ M=$\begin{cases} -x²+20x+300(1≤x≤20), \\ 15x+150(20＜x≤30). \end{cases}$
(3)由题意,当 1≤x≤20 时,M=-x²+20x+300=-(x-10)²+400.
∵ -1＜0,
∴ 当 x=10 时,M 取最大值为 400.
∴ 此时销售额不超过 500 元.当 20＜x≤30 时,令 M=15x+150＞500,
∴ x＞23$\frac{1}{3}$,
∴ 共有 7 天销售额超过 500 元.

8. (2024·新疆)某公司销售一批产品,经市场调研发现,当销售量在 0.4 吨至 3.5 吨之间时,销售额 $ y_{1} $ (万元) 与销售量 $ x $ (吨) 的函数解析式为: $ y_{1} = 5x $; 成本 $ y_{2} $ (万元) 与销售量 $ x $ (吨) 的函数图像是如图所示的抛物线的一部分,其中 $ ( \frac{1}{2}, \frac{7}{4} ) $ 是其顶点.
(1) 求出成本 $ y_{2} $ 关于销售量 $ x $ 的函数解析式;
(2) 当成本最低时,销售产品所获利润是多少?
(3) 当销售量是多少吨时,可获得最大利润? 最大利润是多少?
(注:利润 $ = $ 销售额 $ - $ 成本)

8. (1)由题意,
∵ 顶点为($\frac{1}{2}$,$\frac{7}{4}$),
∴ 可设抛物线为 y₂=a(x-$\frac{1}{2}$)²+$\frac{7}{4}$.又抛物线过(2,4),
∴ a×$\frac{9}{4}$+$\frac{7}{4}$=4,
∴ a=1,
∴ y₂=(x-$\frac{1}{2}$)²+$\frac{7}{4}$.
(2)由题意,当销售量 x=$\frac{1}{2}$时,成本最低为$\frac{7}{4}$,又销售量在 0.4 吨至 3.5 吨之间时,销售额 y₁(万元)与销售量 x(吨)的函数解析式为:y₁=5x,
∴ 当 x=$\frac{1}{2}$时,销售额为 y₁=5x=5×$\frac{1}{2}$=2.5,
∴ 此时利润为 2.5-$\frac{7}{4}$=0.75(万元).答:当成本最低时,销售产品所获利润是 0.75 万元.
(3)由题意,利润=y₁-y₂=5x-[(x-$\frac{1}{2}$)²+$\frac{7}{4}$]=-x²+6x-2=-(x-3)²+7.
∵ -1＜0,
∴ 当 x=3 时,利润取最大值,最大值为 7.答:当销售量是 3 吨时,可获得最大利润,最大利润是 7 万元.