登录
8. 徒骇河大桥是一座特大型桥梁，大桥桥体造型新颖，气势恢宏，两条拱肋如长虹卧波，极具时代气息(如图 1). 大桥为中承式悬索拱桥，大桥的主拱肋 ACB 是抛物线的一部分(如图 2)，跨径 AB 为 100 m，拱高 OC 为 25 m，抛物线顶点 C 到桥面的距离为 17 m.
(1) 请建立适当的坐标系，求该抛物线所对应的函数关系式；
(2) 七月份汛期来临，河水水位上涨，假设水位比 AB 所在直线高出 1.96 m，这时位于水面上的拱肋的跨径是多少? 在不计桥面厚度的情况，一条高出水面 4.6 m 的游船是否能够顺利通过大桥?
]
(1) 请建立适当的坐标系，求该抛物线所对应的函数关系式；
(2) 七月份汛期来临，河水水位上涨，假设水位比 AB 所在直线高出 1.96 m，这时位于水面上的拱肋的跨径是多少? 在不计桥面厚度的情况，一条高出水面 4.6 m 的游船是否能够顺利通过大桥?
]
答案
8.（1）以$AB$所在直线为$x$轴，直线$OC$为$y$轴，建立直角坐标系，如图所示；设抛物线所对应的函数关系式为$y = ax^{2}+c$，由题意得$B(50,0)$，$C(0,25)$．$\therefore \begin{cases}25 = 0 + c\\0 = 2500a + c\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{100}\\c = 25\end{cases}$，$\therefore$ 抛物线对应的函数关系式是$y = -\frac{1}{100}x^{2}+25$；（2）当水位比$AB$所在直线高出$1.96\ m$时，将$y = 1.96$代入函数关系式得$1.96 = -\frac{1}{100}x^{2}+25$，得$x = \pm 48$，$\therefore$ 由题意：$48×2 = 96$（m），故位于水面上的拱肋的跨径是$96\ m$．根据题意，游船的最高点到桥面的距离为$(25 - 17)-(1.96 + 4.6)=1.44(m)$，$\therefore$ 游船能顺利通过大桥．
9. (2024·武汉)16 世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖. 火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程. 如图，以发射点为原点，地平线为 x 轴，垂直于地面的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 $y = ax^{2}+x$ 和直线 $y=-\frac {1}{2}x+b$. 其中，当火箭运行的水平距离为 9 km 时，自动引发火箭的第二级.
(1) 若火箭第二级的引发点的高度为 3.6 km，
① 直接写出 a，b 的值；
② 火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 1.35 km，求这两个位置之间的距离.
(2) 直接写出 a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 15 km.
]
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程. 如图，以发射点为原点，地平线为 x 轴，垂直于地面的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 $y = ax^{2}+x$ 和直线 $y=-\frac {1}{2}x+b$. 其中，当火箭运行的水平距离为 9 km 时，自动引发火箭的第二级.
(1) 若火箭第二级的引发点的高度为 3.6 km，
① 直接写出 a，b 的值；
② 火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 1.35 km，求这两个位置之间的距离.
(2) 直接写出 a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 15 km.
]
答案
9.（1）① $\because y = ax^{2}+x$经过点$(9,3.6)$，$\therefore 81a + 9 = 3.6$．解得：$a = -\frac{1}{15}$．$\because y = -\frac{1}{2}x + b$经过点$(9,3.6)$，$\therefore 3.6 = -\frac{1}{2}×9 + b$．解得：$b = 8.1$；② 由①得：$y = -\frac{1}{15}x^{2}+x = -\frac{1}{15}(x^{2}-15x+\frac{225}{4})+\frac{15}{4}=-\frac{1}{15}(x - \frac{15}{2})^{2}+\frac{15}{4}(0≤ x≤ 9)$，$\therefore$ 火箭运行的最高点是$\frac{15}{4}\ km$．$\therefore \frac{15}{4}-1.35 = 2.4(km)$，$\therefore 2.4 = -\frac{1}{15}x^{2}+x$．整理得$x^{2}-15x + 36 = 0$，解得$x_{1}=12 ＞ 9$（不合题意，舍去），$x_{2}=3$．由①得$y = -\frac{1}{2}x + 8.1$，$\therefore 2.4 = -\frac{1}{2}x + 8.1$．解得$x = 11.4$，$\therefore 11.4 - 3 = 8.4(km)$．答：这两个位置之间的距离为$8.4\ km$；（2）当$x = 9$时，$y = 81a + 9$，$\therefore$ 火箭第二级的引发点的坐标为$(9,81a + 9)$．设火箭落地点与发射点的水平距离为$15\ km$，$\therefore y = -\frac{1}{2}x + b$经过点$(9,81a + 9)$，$(15,0)$．$\therefore \begin{cases}-\frac{1}{2}×9 + b = 81a + 9\\-\frac{1}{2}×15 + b = 0\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -\frac{2}{27}\\b = 7.5\end{cases}$．$\therefore -\frac{2}{27} ＜ a ＜ 0$时，火箭落地点与发射点的水平距离超过$15\ km$．
解析
(1)① $\because y=ax^{2}+x$经过点$(9,3.6)$，$\therefore 81a + 9=3.6$，解得$a=-\dfrac{1}{15}$。
$\because y=-\dfrac{1}{2}x + b$经过点$(9,3.6)$，$\therefore 3.6=-\dfrac{1}{2}×9 + b$，解得$b=8.1$。
② 由①得$y=-\dfrac{1}{15}x^{2}+x=-\dfrac{1}{15}(x-\dfrac{15}{2})^{2}+\dfrac{15}{4}(0≤ x≤9)$，最高点高度为$\dfrac{15}{4}\ \mathrm{km}$。
$\dfrac{15}{4}-1.35=2.4\ \mathrm{km}$。
对于抛物线：$2.4=-\dfrac{1}{15}x^{2}+x$，整理得$x^{2}-15x + 36=0$，解得$x_{1}=12$（舍去），$x_{2}=3$。
对于直线：$2.4=-\dfrac{1}{2}x + 8.1$，解得$x=11.4$。
距离为$11.4 - 3=8.4\ \mathrm{km}$。
(2)$-\dfrac{2}{27} ＜ a ＜ 0$
$\because y=-\dfrac{1}{2}x + b$经过点$(9,3.6)$，$\therefore 3.6=-\dfrac{1}{2}×9 + b$，解得$b=8.1$。
② 由①得$y=-\dfrac{1}{15}x^{2}+x=-\dfrac{1}{15}(x-\dfrac{15}{2})^{2}+\dfrac{15}{4}(0≤ x≤9)$，最高点高度为$\dfrac{15}{4}\ \mathrm{km}$。
$\dfrac{15}{4}-1.35=2.4\ \mathrm{km}$。
对于抛物线：$2.4=-\dfrac{1}{15}x^{2}+x$，整理得$x^{2}-15x + 36=0$，解得$x_{1}=12$（舍去），$x_{2}=3$。
对于直线：$2.4=-\dfrac{1}{2}x + 8.1$，解得$x=11.4$。
距离为$11.4 - 3=8.4\ \mathrm{km}$。
(2)$-\dfrac{2}{27} ＜ a ＜ 0$
