1. (2023·沈阳)二次函数 $ y = -(x + 1)^2 + 2 $ 图像的顶点所在的象限是 ()

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

1. B

二次函数$y=-(x + 1)^2 + 2$的顶点式为$y=a(x - h)^2 + k$，其中顶点坐标为$(h,k)$。
在此函数中，$h=-1$，$k=2$，所以顶点坐标为$(-1,2)$。
因为$-1＜0$，$2＞0$，所以顶点$(-1,2)$在第二象限。
B

2. (2023·徐州)在平面直角坐标系中，将二次函数 $ y = (x + 1)^2 + 3 $ 的图像向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为 ()

A.$ y = (x + 3)^2 + 2 $
B.$ y = (x - 1)^2 + 2 $
C.$ y = (x - 1)^2 + 4 $
D.$ y = (x + 3)^2 + 4 $

2. B

原二次函数为$y=(x + 1)^2 + 3$。
向右平移2个单位长度，根据“左加右减”原则，$x$变为$x - 2$，得到$y=(x - 2 + 1)^2 + 3=(x - 1)^2 + 3$。
再向下平移1个单位长度，根据“上加下减”原则，常数项减1，得到$y=(x - 1)^2 + 3 - 1=(x - 1)^2 + 2$。
B

3. 对于二次函数 $ y = -\dfrac{1}{4}x^2 + x - 4 $，下列说法正确的是 ()

A.当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
B.当 $ x = 2 $ 时，$ y $ 有最大值 $ -3 $
C.图像的顶点坐标为 $ (-2, -7) $
D.图像与 $ x $ 轴有两个交点

3. B

对于二次函数$y = -\dfrac{1}{4}x^2 + x - 4$：
对称轴为$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{1}{2×(-\dfrac{1}{4})} = 2$，因为$a = -\dfrac{1}{4} ＜ 0$，抛物线开口向下，所以当$x = 2$时，$y$有最大值。
最大值为$y = -\dfrac{1}{4}×2^2 + 2 - 4 = -\dfrac{1}{4}×4 + 2 - 4 = -1 + 2 - 4 = -3$，顶点坐标为$(2, -3)$。
当$x ＞ 2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x ＜ 2$时，$y$随$x$的增大而增大。
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×(-\dfrac{1}{4})×(-4) = 1 - 4 = -3 ＜ 0$，图像与$x$轴无交点。
综上，正确的是B。

4. 小嘉说：将二次函数 $ y = x^2 $ 的图像平移或翻折后经过点 $ (2, 0) $ 有 4 种方法：
① 向右平移 2 个单位长度
② 向右平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
③ 向下平移 4 个单位长度
④ 沿 $ x $ 轴翻折，再向上平移 4 个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有 ()

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

4. D

①向右平移2个单位长度，得$y=(x-2)^2$，当$x=2$时，$y=0$，正确；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得$y=(x-1)^2-1$，当$x=2$时，$y=(2-1)^2-1=0$，正确；
③向下平移4个单位长度，得$y=x^2-4$，当$x=2$时，$y=2^2-4=0$，正确；
④沿$x$轴翻折，再向上平移4个单位长度，得$y=-x^2+4$，当$x=2$时，$y=-2^2+4=0$，正确。
正确的个数有4个。
D

5. 下表中列出的是一个二次函数的自变量 $ x $ 与函数 $ y $ 的几组对应值：

下列各选项中，正确的是 ()

A.这个函数的图像开口向下
B.这个函数的图像与 $ x $ 轴无交点
C.这个函数的最小值小于 $ -6 $
D.当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大

5. C

解：设二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c$，将$(0,-4)$，$(1,-6)$，$(3,-4)$代入得：
$\begin{cases}c=-4 \\a+b+c=-6 \\9a+3b+c=-4\end{cases}$
解得$a=1$，$b=-3$，$c=-4$，故解析式为$y=x^2-3x-4$。
A. $a=1＞0$，图像开口向上，A错误；
B. $\Delta=(-3)^2-4×1×(-4)=25＞0$，与$x$轴有两个交点，B错误；
C. 对称轴为$x=\frac{3}{2}$，当$x=\frac{3}{2}$时，$y=(\frac{3}{2})^2-3×\frac{3}{2}-4=-\frac{25}{4}=-6.25＜-6$，C正确；
D. 对称轴$x=\frac{3}{2}$，当$x＞\frac{3}{2}$时，$y$随$x$增大而增大，D错误。
答案：C

6. (2024·宁夏)若二次函数 $ y = 2x^2 - x + m $ 的图像与 $ x $ 轴有交点，则 $ m $ 的取值范围是.

6. $m ≤ \frac{1}{8}$

解：二次函数 $ y = 2x^2 - x + m $ 的图像与 $ x $ 轴有交点，即方程 $ 2x^2 - x + m = 0 $ 有实数根。
对于一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $（$ a ≠ 0 $），判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac ≥ 0 $ 时方程有实数根。
在方程 $ 2x^2 - x + m = 0 $ 中，$ a = 2 $，$ b = -1 $，$ c = m $，则：
$ \Delta = (-1)^2 - 4 × 2 × m = 1 - 8m $
令 $ \Delta ≥ 0 $，即 $ 1 - 8m ≥ 0 $
解得 $ 8m ≤ 1 $，$ m ≤ \frac{1}{8} $
$ m ≤ \frac{1}{8} $

7. (2023·娄底)如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A(1, 0) $、点 $ B(3, 0) $，与 $ y $ 轴相交于点 $ C $，点 $ D $ 在抛物线上，当 $ CD // x $ 轴时，$ CD = $.

7. 4

解：设抛物线的解析式为$y=a(x-1)(x-3)$。
令$x=0$，则$y=a(0 - 1)(0 - 3)=3a$，所以点$C$的坐标为$(0,3a)$。
因为$CD// x$轴，所以点$D$的纵坐标与点$C$相同，即$y=3a$。
令$a(x - 1)(x - 3)=3a$，因为$a≠0$，方程两边同时除以$a$得：$(x - 1)(x - 3)=3$。
展开得$x^2 - 4x + 3=3$，即$x^2 - 4x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$。
所以点$D$的坐标为$(4,3a)$，则$CD=4 - 0=4$。
4

8. (2024·扬州)如图，已知二次函数 $ y = -x^2 + bx + c $ 的图像与 $ x $ 轴交于 $ A(-2, 0) $，$ B(1, 0) $ 两点.
(1) 求 $ b $，$ c $ 的值；
(2) 若点 $ P $ 在该二次函数的图像上，且 $ △ PAB $ 的面积为 6，求点 $ P $ 的坐标.

8. (1) 把$A(-2,0),B(1,0)$代入$y=-x^{2}+bx+c$得$\{\begin{array}{l} -4-2b+c=0,\\ -1+b+c=0,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} b=-1,\\ c=2;\end{array} $ (2) 由(1)知,二次函数解析式为$y=-x^{2}-x+2$,设点 P 坐标为$(m,-m^{2}-m+2),\because △PAB$的面积为6,$AB=1-(-2)=3,\therefore S_{△PAB}=\frac {1}{2}AB· |y_{P}|=\frac {1}{2}×3×|-m^{2}-m+2|=6,$$\therefore |m^{2}+m-2|=4$,即$m^{2}+m-2=4$或$m^{2}+m-2=-4$,解得$m=-3$或$m=2,\therefore P(-3,-4)$或$(2,-4).$

(1) 解：将 $ A(-2,0) $，$ B(1,0) $ 代入 $ y=-x^2+bx+c $，得
$\begin{cases}-(-2)^2 + b(-2) + c = 0 \\-(1)^2 + b(1) + c = 0\end{cases}$
即
$\begin{cases}-4 - 2b + c = 0 \\-1 + b + c = 0\end{cases}$
解得
$\begin{cases}b = -1 \\c = 2\end{cases}$
(2) 解：由(1)知二次函数解析式为 $ y=-x^2 - x + 2 $。设点 $ P $ 的坐标为 $ (m, -m^2 - m + 2) $。
$ AB = 1 - (-2) = 3 $，$ S_{△ PAB} = 6 $，则
$\frac{1}{2} × AB × |y_P| = 6$
即
$\frac{1}{2} × 3 × |-m^2 - m + 2| = 6$
化简得
$|-m^2 - m + 2| = 4$
即
$|m^2 + m - 2| = 4$
则 $ m^2 + m - 2 = 4 $ 或 $ m^2 + m - 2 = -4 $。
当 $ m^2 + m - 2 = 4 $ 时，$ m^2 + m - 6 = 0 $，解得 $ m = -3 $ 或 $ m = 2 $；
当 $ m^2 + m - 2 = -4 $ 时，$ m^2 + m + 2 = 0 $，$\Delta = 1 - 8 = -7 ＜ 0$，无实数解。
当 $ m = -3 $ 时，$ y = -(-3)^2 - (-3) + 2 = -9 + 3 + 2 = -4 $；
当 $ m = 2 $ 时，$ y = -(2)^2 - 2 + 2 = -4 - 2 + 2 = -4 $。
所以点 $ P $ 的坐标为 $ (-3, -4) $ 或 $ (2, -4) $。