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1. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，则下列结论一定成立的是(
A.$AC⊥ BD$
B.$OA = OC$
C.$AC = AB$
D.$OA = OB$
B
)A.$AC⊥ BD$
B.$OA = OC$
C.$AC = AB$
D.$OA = OB$
答案
1. B
2. 如图，在$□ ABCD$中，$AC$，$BD$相交于点$O$，$∠ ODA = 90^{\circ}$，$AC = 10$，$BD = 6$，则$BC$的长为(
A.4
B.5
C.6
D.8
A
)A.4
B.5
C.6
D.8
答案
2. A
解析
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore OA = \frac{1}{2}AC$，$OD = \frac{1}{2}BD$，$BC = AD$。
$\because AC = 10$，$BD = 6$，
$\therefore OA = 5$，$OD = 3$。
$\because ∠ ODA = 90^{\circ}$，
$\therefore AD = \sqrt{OA^{2}-OD^{2}} = \sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$。
$\therefore BC = AD = 4$。
答案：A
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore OA = \frac{1}{2}AC$，$OD = \frac{1}{2}BD$，$BC = AD$。
$\because AC = 10$，$BD = 6$，
$\therefore OA = 5$，$OD = 3$。
$\because ∠ ODA = 90^{\circ}$，
$\therefore AD = \sqrt{OA^{2}-OD^{2}} = \sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$。
$\therefore BC = AD = 4$。
答案：A
3. 在$□ ABCD$中，$AB = 7$，$AC = 6$，则对角线$BD$长的取值范围是(
A.$8 ＜ BD ＜ 20$
B.$6 ＜ BD ＜ 7$
C.$4 ＜ BD ＜ 10$
D.$1 ＜ BD ＜ 13$
A
)A.$8 ＜ BD ＜ 20$
B.$6 ＜ BD ＜ 7$
C.$4 ＜ BD ＜ 10$
D.$1 ＜ BD ＜ 13$
答案
3. A
解析
在平行四边形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，则$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$。
已知$AC = 6$，所以$AO=\frac{1}{2}×6 = 3$。
在$△ AOB$中，$AB = 7$，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
可得$AB - AO ＜ BO ＜ AB + AO$，即$7 - 3 ＜ BO ＜ 7 + 3$，$4 ＜ BO ＜ 10$。
因为$BD = 2BO$，所以$2×4 ＜ BD ＜ 2×10$，即$8 ＜ BD ＜ 20$。
A
已知$AC = 6$，所以$AO=\frac{1}{2}×6 = 3$。
在$△ AOB$中，$AB = 7$，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
可得$AB - AO ＜ BO ＜ AB + AO$，即$7 - 3 ＜ BO ＜ 7 + 3$，$4 ＜ BO ＜ 10$。
因为$BD = 2BO$，所以$2×4 ＜ BD ＜ 2×10$，即$8 ＜ BD ＜ 20$。
A
4. (教材变式)(2025·湖北)如图，$□ ABCD$的对角线交点在原点.若点$A$的坐标为$(-1,2)$，则点$C$的坐标是
$(1,-2)$
.答案
4. $(1,-2)$
解析
解：因为平行四边形的对角线互相平分，且对角线交点在原点，所以点$A$与点$C$关于原点对称。
已知点$A$的坐标为$(-1,2)$，关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，所以点$C$的坐标是$(1,-2)$。
$(1,-2)$
已知点$A$的坐标为$(-1,2)$，关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，所以点$C$的坐标是$(1,-2)$。
$(1,-2)$
5. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，过点$O$的直线分别交$AD$，$BC$于点$M$，$N$.若$△ CON$的面积为$2$，$△ DOM$的面积为$4$，则$△ AOB$的面积为
6
.答案
5. 6
解析
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$OA=OC$，$OB=OD$，
∴$∠ OAM=∠ OCN$，$∠ OMA=∠ ONC$，
∴$△ AOM≌△ CON$（AAS），
∴$S_{△ AOM}=S_{△ CON}=2$，
∵$S_{△ DOM}=4$，
∴$S_{△ AOD}=S_{△ AOM}+S_{△ DOM}=2+4=6$，
∵$OB=OD$，
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOD}=6$。
6
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$OA=OC$，$OB=OD$，
∴$∠ OAM=∠ OCN$，$∠ OMA=∠ ONC$，
∴$△ AOM≌△ CON$（AAS），
∴$S_{△ AOM}=S_{△ CON}=2$，
∵$S_{△ DOM}=4$，
∴$S_{△ AOD}=S_{△ AOM}+S_{△ DOM}=2+4=6$，
∵$OB=OD$，
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOD}=6$。
6
6. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$BD⊥ AD$，$AB = 10$，$AD = 8$，求$OB$的长及$□ ABCD$的面积.
答案
6. $\because BD⊥ AD,\therefore ∠ ADB=90^{\circ}$. 在$Rt△ ADB$中，由勾股定理，得$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$. $\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore OB=\frac{1}{2}BD=3$，$S_{□ ABCD}=AD· BD=8× 6=48$
解析
解：$\because BD ⊥ AD$，$\therefore ∠ ADB = 90°$。
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理，得$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore OB = \frac{1}{2}BD = 3$。
$S_{□ ABCD} = AD · BD = 8 × 6 = 48$。
故$OB$的长为$3$，$□ ABCD$的面积为$48$。
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理，得$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore OB = \frac{1}{2}BD = 3$。
$S_{□ ABCD} = AD · BD = 8 × 6 = 48$。
故$OB$的长为$3$，$□ ABCD$的面积为$48$。
7. 如图，在$□ ABCD$中，$O$是对角线$AC$，$BD$的交点，$AE$平分$∠ BAO$，$AE$与$BD$交于点$E$，$CF$平分$∠ DCO$，$CF$与$BD$交于点$F$.求证：$OE = OF$.
答案
7. $\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore OA=OC$，$AB// CD$. $\therefore ∠ BAC=∠ DCA$. $\because AE$平分$∠ BAO$，$CF$平分$∠ DCO$，$\therefore ∠ EAO=\frac{1}{2}∠ BAO=\frac{1}{2}∠ DCO=∠ FCO$. 又$\because ∠ AOE=∠ COF$，$\therefore △ AOE≌ △ COF$. $\therefore OE=OF$
解析
证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $OA = OC$，$AB // CD$，
∴ $∠ BAC = ∠ DCA$。
∵ $AE$ 平分 $∠ BAO$，$CF$ 平分 $∠ DCO$，
∴ $∠ EAO = \frac{1}{2}∠ BAO$，$∠ FCO = \frac{1}{2}∠ DCO$，
∴ $∠ EAO = ∠ FCO$。
在 $△ AOE$ 和 $△ COF$ 中，
$\begin{cases} ∠ EAO = ∠ FCO, \\OA = OC, \\∠ AOE = ∠ COF,\end{cases}$
∴ $△ AOE ≌ △ COF$（ASA），
∴ $OE = OF$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $OA = OC$，$AB // CD$，
∴ $∠ BAC = ∠ DCA$。
∵ $AE$ 平分 $∠ BAO$，$CF$ 平分 $∠ DCO$，
∴ $∠ EAO = \frac{1}{2}∠ BAO$，$∠ FCO = \frac{1}{2}∠ DCO$，
∴ $∠ EAO = ∠ FCO$。
在 $△ AOE$ 和 $△ COF$ 中，
$\begin{cases} ∠ EAO = ∠ FCO, \\OA = OC, \\∠ AOE = ∠ COF,\end{cases}$
∴ $△ AOE ≌ △ COF$（ASA），
∴ $OE = OF$。
8. 如图，四边形$ABCD$是平行四边形，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$.若$AC = 2AB$，$∠ BAO = 94^{\circ}$，则$∠ AOD$的度数为(
A.$157^{\circ}$
B.$147^{\circ}$
C.$137^{\circ}$
D.$127^{\circ}$
C
)A.$157^{\circ}$
B.$147^{\circ}$
C.$137^{\circ}$
D.$127^{\circ}$
答案
8. C
解析
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO=DO$，$AD// BC$。
∵$AC = 2AB$，
∴$AO = AB$，
∴$∠ AOB=∠ ABO$。
在$△ ABO$中，$∠ BAO = 94^{\circ}$，
$∠ AOB+∠ ABO+∠ BAO=180^{\circ}$，
$2∠ AOB=180^{\circ}-94^{\circ}=86^{\circ}$，
$∠ AOB = 43^{\circ}$。
∵$∠ AOD+∠ AOB=180^{\circ}$，
∴$∠ AOD=180^{\circ}-43^{\circ}=137^{\circ}$。
答案：C
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO=DO$，$AD// BC$。
∵$AC = 2AB$，
∴$AO = AB$，
∴$∠ AOB=∠ ABO$。
在$△ ABO$中，$∠ BAO = 94^{\circ}$，
$∠ AOB+∠ ABO+∠ BAO=180^{\circ}$，
$2∠ AOB=180^{\circ}-94^{\circ}=86^{\circ}$，
$∠ AOB = 43^{\circ}$。
∵$∠ AOD+∠ AOB=180^{\circ}$，
∴$∠ AOD=180^{\circ}-43^{\circ}=137^{\circ}$。
答案：C
