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9. (2025·沭阳段考)已知$□ ABCD$的周长为$52\mathrm{cm}$，两条对角线$AC$和$BD$交于点$O$，$△ BOC$和$△ DOC$的周长差为$6\mathrm{cm}$，则这个平行四边形的两邻边长分别为
$16cm$，$10cm$
.答案
9. $16cm$，$10cm$
解析
设平行四边形$ABCD$的两邻边长分别为$a\ \mathrm{cm}$和$b\ \mathrm{cm}$（$a ＞ b$）。
因为平行四边形的对边相等，周长为$52\ \mathrm{cm}$，所以$2(a + b)=52$，即$a + b=26$。
由于平行四边形的对角线互相平分，所以$OB = OD$，$OC$为$△ BOC$和$△ DOC$的公共边。
$△ BOC$的周长为$OB + OC + BC$，$△ DOC$的周长为$OD + OC + CD$，已知它们的周长差为$6\ \mathrm{cm}$，则$(OB + OC + BC)-(OD + OC + CD)=6$，即$BC - CD=6$，所以$a - b=6$。
联立方程组$\begin{cases}a + b=26\\a - b=6\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=16\\b=10\end{cases}$。
$16\ \mathrm{cm}$，$10\ \mathrm{cm}$
因为平行四边形的对边相等，周长为$52\ \mathrm{cm}$，所以$2(a + b)=52$，即$a + b=26$。
由于平行四边形的对角线互相平分，所以$OB = OD$，$OC$为$△ BOC$和$△ DOC$的公共边。
$△ BOC$的周长为$OB + OC + BC$，$△ DOC$的周长为$OD + OC + CD$，已知它们的周长差为$6\ \mathrm{cm}$，则$(OB + OC + BC)-(OD + OC + CD)=6$，即$BC - CD=6$，所以$a - b=6$。
联立方程组$\begin{cases}a + b=26\\a - b=6\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=16\\b=10\end{cases}$。
$16\ \mathrm{cm}$，$10\ \mathrm{cm}$
10. 如图，$O$是$□ ABCD$对角线的交点，$E$是$CD$的中点，连接$AE$，交$BD$于点$F$，连接$OE$.若$S_{△ AOE} = 4$，则$S_{△ AOB} =$
8
.答案
10. 8 解析：$\because O$是$□ ABCD$对角线的交点，$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ COD}$，$O$是$AC$的中点. $\therefore S_{△ COE}=S_{△ AOE}=4$. $\because E$是$CD$的中点，$\therefore S_{△ COE}=S_{△ DOE}=\frac{1}{2}S_{△ COD}$. $\therefore S_{△ COD}=2S_{△ COE}=2× 4=8$. $\therefore S_{△ AOB}=S_{△ COD}=8$.
解析
证明：
∵ $O$ 是 $□ABCD$ 对角线的交点，
∴ $O$ 是 $AC$ 的中点，且 $S_{△AOB} = S_{△COD}$。
∵ $O$ 是 $AC$ 的中点，
∴ $S_{△AOE} = S_{△COE} = 4$。
∵ $E$ 是 $CD$ 的中点，
∴ $S_{△COE} = S_{△DOE} = \frac{1}{2}S_{△COD}$。
∴ $S_{△COD} = 2S_{△COE} = 2×4 = 8$。
∵ $S_{△AOB} = S_{△COD}$，
∴ $S_{△AOB} = 8$。
8
∵ $O$ 是 $□ABCD$ 对角线的交点，
∴ $O$ 是 $AC$ 的中点，且 $S_{△AOB} = S_{△COD}$。
∵ $O$ 是 $AC$ 的中点，
∴ $S_{△AOE} = S_{△COE} = 4$。
∵ $E$ 是 $CD$ 的中点，
∴ $S_{△COE} = S_{△DOE} = \frac{1}{2}S_{△COD}$。
∴ $S_{△COD} = 2S_{△COE} = 2×4 = 8$。
∵ $S_{△AOB} = S_{△COD}$，
∴ $S_{△AOB} = 8$。
8
11. （2024·沭阳段考）如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$EF$过点$O$且与$AB$，$CD$分别相交于点$E$，$F$，连接$EC$.
（1）求证：$OE = OF$；
（2）若$EF⊥ AC$，$△ BEC$的周长是$10$，求四边形$ABCD$的周长.
（1）求证：$OE = OF$；
（2）若$EF⊥ AC$，$△ BEC$的周长是$10$，求四边形$ABCD$的周长.
答案
11. （1）$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore OD=OB$，$DC// AB$. $\therefore ∠ FDO=∠ EBO$. 在$△ DFO$和$△ BEO$中，$\{\begin{array}{l}∠ FDO=∠ EBO,\\ OD=OB,\\ ∠ FOD=∠ EOB,\end{array} $ $\therefore △ DFO≌ △ BEO$. $\therefore OE=OF$ （2）$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB=CD$，$AD=BC$，$OA=OC$. $\because EF⊥ AC$，$\therefore AE=CE$. $\because △ BEC$的周长是$10$，$\therefore BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10$. $\therefore$ 四边形$ABCD$的周长$=2(BC+AB)=20$
12. 如图①所示为$□ ABCD$.
（1）试用三种不同的方法用一条直线$MN$将$□ ABCD$分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）由上述方法，你能得到什么结论？
（3）（新考法·操作实践）如图②，若兄弟两人共同承包了一块平行四边形田地$ABCD$，现要拉一条直线将田地进行平均划分，在这块田地里有一口井$P$，为了兄弟两人都能方便使用这口井，请你帮他们解决这个问题（保留作图痕迹，不写作法）.
（1）试用三种不同的方法用一条直线$MN$将$□ ABCD$分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）由上述方法，你能得到什么结论？
（3）（新考法·操作实践）如图②，若兄弟两人共同承包了一块平行四边形田地$ABCD$，现要拉一条直线将田地进行平均划分，在这块田地里有一口井$P$，为了兄弟两人都能方便使用这口井，请你帮他们解决这个问题（保留作图痕迹，不写作法）.
答案
12. （1）答案不唯一，如图①所示 （2）过平行四边形对角线交点的任意一条直线都将该平行四边形分成面积相等的两部分
（3）如图②所示
