1. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ A = 100^{\circ}$，$∠ B = 80^{\circ}$，添加下列条件，不能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的为()

A.$∠ C = 100^{\circ}$
B.$∠ D = 80^{\circ}$
C.$AB// CD$
D.$AD// BC$

1. D

解：A.
∵∠A=100°，∠B=80°，∠C=100°，
∴∠D=360°-∠A-∠B-∠C=80°，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B.
∵∠A=100°，∠B=80°，∠D=80°，
∴∠C=360°-∠A-∠B-∠D=100°，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C.
∵∠A=100°，∠B=80°，
∴∠A+∠B=180°，
∴AD//BC，
∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；
D.
∵AD//BC，∠A=100°，∠B=80°，
∴∠A+∠B=180°，符合AD//BC的性质，但仅一组对边平行不能判定是平行四边形，故D符合题意。
答案：D

2. (新考法·条件开放题)如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AE⊥ BD$，$CF⊥ BD$，垂足分别为 $E$，$F$，连接 $AF$，$CE$。请你只添加一个条件：(不另加辅助线)，使得四边形 $AECF$ 为平行四边形。

2. 答案不唯一，如AE=CF

3. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ BAD = 120^{\circ}$，连接 $BD$，过点 $A$ 作 $AE// BD$，交 $CD$ 的延长线于点 $E$，过点 $E$ 作 $EF⊥ BC$，交 $BC$ 的延长线于点 $F$，且 $CF = 1$，则 $AB$ 的长为。

3. 1

解：设$AB = x$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AB = CD = x$，$AD// BC$，$∠ BCD=∠ BAD = 120^{\circ}$。
因为$AE// BD$，$AB// DE$，所以四边形$ABDE$是平行四边形，所以$DE = AB = x$，则$CE=CD + DE=2x$。
因为$∠ BCD = 120^{\circ}$，所以$∠ ECF=180^{\circ}-∠ BCD = 60^{\circ}$。
因为$EF⊥ BC$，所以$∠ EFC = 90^{\circ}$，则$∠ CEF=30^{\circ}$。
在$Rt△ EFC$中，$∠ CEF = 30^{\circ}$，所以$CF=\frac{1}{2}CE$，即$1=\frac{1}{2}×2x$，解得$x = 1$。
故$AB$的长为$1$。

4. 如图，$∠ DBC = 90^{\circ}$，四边形 $ABCD$ 是平行四边形吗？为什么？

4. 四边形ABCD是平行四边形
∵在Rt△DBC中，∠DBC = 90°，
∴DB² + BC² = DC²，即4²+(x - 5)²=(x - 3)²，解得x = 8.
∴DC = 5，BC = 3，AD = 3. 又
∵AB = 5，
∴AD = BC，DC = AB.
∴四边形ABCD是平行四边形

5. 在四边形 $ABCD$ 中，有下列条件：① $AB// CD$；② $AD// BC$；③ $AB = CD$；④ $AD = BC$。从中选择两个条件，使四边形 $ABCD$ 为平行四边形的选法共有()

A.$3$ 种
B.$4$ 种
C.$5$ 种
D.$6$ 种

5. B

要使四边形$ABCD$为平行四边形，可选择的条件组合如下：
1. ①$AB// CD$和②$AD// BC$（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；
2. ③$AB = CD$和④$AD = BC$（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；
3. ①$AB// CD$和③$AB = CD$（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
4. ②$AD// BC$和④$AD = BC$（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
共有4种选法。
B

6. (2024·辽宁)如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$DE// AC$，$CE// BD$，$DE$，$CE$ 相交于点 $E$。若 $AC = 3$，$BD = 5$，则四边形 $OCED$ 的周长为()

A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$16$

6. C

证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OA=OC=\frac{1}{2}AC=1.5$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=2.5$。
∵$DE// AC$，$CE// BD$，
∴四边形$OCED$是平行四边形。
∴$CE=OD=2.5$，$DE=OC=1.5$。
∴四边形$OCED$的周长为$2(OC+OD)=2(1.5+2.5)=8$。
答案：C

7. (分类讨论思想)(2025·宿城期末)在平面直角坐标系中，有四个点 $O(0,0)$，$A(4,0)$，$B(1,3)$，$C(x,3)$，当 $x$ 的值为时，以 $O$，$A$，$B$，$C$ 为顶点的四边形是平行四边形。

7. −3或5

分三种情况讨论：
1. 当OA为平行四边形的边时，OA平行且等于BC。OA的长度为4，B(1,3)，C(x,3)，则|x - 1| = 4，解得x = 5或x = -3。
2. 当OB为平行四边形的边时，OB平行且等于AC。OB的斜率为3，AC的斜率为(3 - 0)/(x - 4) = 3/(x - 4)，则3/(x - 4) = 3，解得x = 5，与情况1重复。
3. 当AB为平行四边形的边时，AB平行且等于OC。AB的斜率为(3 - 0)/(1 - 4) = -1，OC的斜率为3/x，则3/x = -1，解得x = -3，与情况1重复。
综上，x的值为-3或5。