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8. （2025·沭阳段考）如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AD = 2BC$，$E$ 是 $AD$ 的中点。请仅用无刻度的直尺画出$△ ACD$ 的边 $AC$ 上的中线 $DM$ 并证明（不写作法，保留作图痕迹）。
答案
8. 如图所示
∵E是AD的中点，
∴AE = DE = $\frac{1}{2}$AD.
∵AD = 2BC，
∴AE = BC. 又
∵AD//BC，
∴四边形ABCE是平行四边形.
∴AM = CM.
∴DM是△ACD的边AC上的中线，则DM即为所求
9. (2024·湖南)如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB// CD$，点 $E$ 在边 $AB$ 上，
请从“① $∠ B = ∠ AED$；② $AE = BE$，$AE = CD$”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解答下面的问题：
(1)求证：四边形 $BCDE$ 为平行四边形；
(2)若 $AD⊥ AB$，$AD = 8$，$BC = 10$，求线段 $AE$ 的长。
①
。请从“① $∠ B = ∠ AED$；② $AE = BE$，$AE = CD$”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解答下面的问题：
(1)求证：四边形 $BCDE$ 为平行四边形；
(2)若 $AD⊥ AB$，$AD = 8$，$BC = 10$，求线段 $AE$ 的长。
答案
9. (1) ①
∵∠B = ∠AED，
∴BC//DE.
∵AB//CD，
∴四边形BCDE为平行四边形（或②
∵AE = BE，AE = CD，
∴BE = CD.
∵AB//CD，
∴四边形BCDE为平行四边形）
(2) 由(1)可知，四边形BCDE为平行四边形，
∴DE = BC = 10.
∵AD⊥AB，
∴∠A = 90°.
∴AE = $\sqrt{DE^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$，即线段AE的长为6
∵∠B = ∠AED，
∴BC//DE.
∵AB//CD，
∴四边形BCDE为平行四边形（或②
∵AE = BE，AE = CD，
∴BE = CD.
∵AB//CD，
∴四边形BCDE为平行四边形）
(2) 由(1)可知，四边形BCDE为平行四边形，
∴DE = BC = 10.
∵AD⊥AB，
∴∠A = 90°.
∴AE = $\sqrt{DE^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$，即线段AE的长为6
10. （2024·浙江）如图①，$E$ 是$□ ABCD$ 的边 $AD$ 上一点（不与点 $A$，$D$ 重合），连接 $CE$。用尺规作 $AF// CE$，其中 $F$ 是边 $BC$ 上一点。小明的作法如下：如图②，以点 $C$ 为圆心，$AE$ 长为半径画弧，交 $BC$ 于点 $F$，连接 $AF$，则 $AF// CE$。小丽的作法如下：以点 $A$ 为圆心，$CE$ 长为半径画弧，交 $BC$ 于点 $F$，连接 $AF$，则 $AF// CE$。小明指出小丽的作法有问题。
（1）根据小明的作法，求证：$AF// CE$；
（2）指出小丽的作法中存在的问题。
（1）根据小明的作法，求证：$AF// CE$；
（2）指出小丽的作法中存在的问题。
答案
10. (1) 根据小明的作法，知CF = AE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC. 又
∵CF = AE，
∴四边形AFCE是平行四边形.
∴AF//CE
(2) 以点A为圆心，CE长为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中一个交点符合题意.
∴小丽的作法有问题
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC. 又
∵CF = AE，
∴四边形AFCE是平行四边形.
∴AF//CE
(2) 以点A为圆心，CE长为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中一个交点符合题意.
∴小丽的作法有问题
