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6. 下列条件:①$∠ A=90°-∠ B$;②$∠ A=∠ B=2∠ C$;③$∠ A:∠ B:∠ C=5:3:2$;④$∠ A+∠ B=∠ C$,其中能确定$△ ABC$为直角三角形的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
6.C
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，核心思路是利用三角形内角和为180°，结合每个条件给出的角的关系，计算出各内角的度数，看是否存在90°的角。具体思考步骤如下：
1. 对每个条件，先根据角的关系设未知数或直接推导；
2. 结合内角和定理列等式，求出各角的度数；
3. 若有一个角为90°，则该三角形是直角三角形，否则不是。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐个分析条件：
① 由∠A=90°-∠B，可得∠A+∠B=90°，则∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，所以△ABC是直角三角形；
② 设∠C=x，则∠A=∠B=2x，由内角和定理得：2x+2x+x=180°，解得x=36°，则∠A=∠B=72°，三个角均不为90°，不是直角三角形；
③ 设∠A=5x，∠B=3x，∠C=2x，由内角和定理得：5x+3x+2x=180°，解得x=18°，则∠A=5×18°=90°，所以△ABC是直角三角形；
④ 由∠A+∠B=∠C，结合内角和∠A+∠B+∠C=180°，可得2∠C=180°，解得∠C=90°，所以△ABC是直角三角形。
综上，能确定△ABC为直角三角形的条件有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形判定
【点评】
本题主要考查三角形内角和定理的应用及直角三角形的判定，解题关键是通过角的关系结合内角和定理求出各角的度数，判断是否存在直角。需要注意对每个条件逐一分析，避免遗漏或误判。
【难度系数】
0.6
要判断△ABC是否为直角三角形，核心思路是利用三角形内角和为180°，结合每个条件给出的角的关系，计算出各内角的度数，看是否存在90°的角。具体思考步骤如下：
1. 对每个条件，先根据角的关系设未知数或直接推导；
2. 结合内角和定理列等式，求出各角的度数；
3. 若有一个角为90°，则该三角形是直角三角形，否则不是。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐个分析条件：
① 由∠A=90°-∠B，可得∠A+∠B=90°，则∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，所以△ABC是直角三角形；
② 设∠C=x，则∠A=∠B=2x，由内角和定理得：2x+2x+x=180°，解得x=36°，则∠A=∠B=72°，三个角均不为90°，不是直角三角形；
③ 设∠A=5x，∠B=3x，∠C=2x，由内角和定理得：5x+3x+2x=180°，解得x=18°，则∠A=5×18°=90°，所以△ABC是直角三角形；
④ 由∠A+∠B=∠C，结合内角和∠A+∠B+∠C=180°，可得2∠C=180°，解得∠C=90°，所以△ABC是直角三角形。
综上，能确定△ABC为直角三角形的条件有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形判定
【点评】
本题主要考查三角形内角和定理的应用及直角三角形的判定，解题关键是通过角的关系结合内角和定理求出各角的度数，判断是否存在直角。需要注意对每个条件逐一分析，避免遗漏或误判。
【难度系数】
0.6
7. 当三角形中一个内角$α$是另一个内角$β$的2倍时,我们称此三角形为“倍角三角形”,$α$为倍角。如果一个“倍角三角形”中有一个内角为$42°$,那么这个“倍角三角形”的倍角$α$的度数是
$84^{\circ }$或$92^{\circ }$或$42^{\circ }$
。答案
7.$84^{\circ }$或$92^{\circ }$或$42^{\circ }$
解析
【分析】
这道题是“倍角三角形”的定义应用问题，需结合三角形内角和定理，通过分类讨论求解。首先明确“倍角三角形”定义：一个内角α是另一个内角β的2倍，α为倍角。已知三角形有一个内角为42°，需分三种情况讨论该角在倍角关系中的角色：
1. 42°本身就是倍角α；
2. 42°是被倍角β，此时倍角α=2β；
3. 42°是既非α也非β的第三个内角，结合α=2β和三角形内角和为180°列方程求解α。
每种情况都要验证内角和是否符合180°，确保结果成立。
【解析】
分三种情况讨论：
情况1：当42°为倍角α时，
此时α=42°，对应β=21°，三角形第三个内角为180°-42°-21°=117°，内角和为180°，符合条件。
情况2：当42°为被倍角β时，
根据倍角定义，α=2β=2×42°=84°，
三角形第三个内角为180°-84°-42°=54°，内角和为180°，符合条件。
情况3：当42°为三角形的第三个内角时，
设被倍角β=x，则倍角α=2x，
由三角形内角和定理得：2x + x + 42°=180°，
解得3x=138°，x=46°，
则α=2x=2×46°=92°，
此时三角形内角和为92°+46°+42°=180°，符合条件。
综上，倍角α的度数为42°或84°或92°。
【答案】
$42^{\circ }$或$84^{\circ }$或$92^{\circ }$
【知识点】
三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题考查“倍角三角形”定义与三角形内角和的综合应用，核心是通过分类讨论覆盖所有可能情况，避免漏解。每种情况需验证内角和是否符合定理，确保结果合理，能培养严谨的逻辑思维。
【难度系数】
0.4
这道题是“倍角三角形”的定义应用问题，需结合三角形内角和定理，通过分类讨论求解。首先明确“倍角三角形”定义：一个内角α是另一个内角β的2倍，α为倍角。已知三角形有一个内角为42°，需分三种情况讨论该角在倍角关系中的角色：
1. 42°本身就是倍角α；
2. 42°是被倍角β，此时倍角α=2β；
3. 42°是既非α也非β的第三个内角，结合α=2β和三角形内角和为180°列方程求解α。
每种情况都要验证内角和是否符合180°，确保结果成立。
【解析】
分三种情况讨论：
情况1：当42°为倍角α时，
此时α=42°，对应β=21°，三角形第三个内角为180°-42°-21°=117°，内角和为180°，符合条件。
情况2：当42°为被倍角β时，
根据倍角定义，α=2β=2×42°=84°，
三角形第三个内角为180°-84°-42°=54°，内角和为180°，符合条件。
情况3：当42°为三角形的第三个内角时，
设被倍角β=x，则倍角α=2x，
由三角形内角和定理得：2x + x + 42°=180°，
解得3x=138°，x=46°，
则α=2x=2×46°=92°，
此时三角形内角和为92°+46°+42°=180°，符合条件。
综上，倍角α的度数为42°或84°或92°。
【答案】
$42^{\circ }$或$84^{\circ }$或$92^{\circ }$
【知识点】
三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题考查“倍角三角形”定义与三角形内角和的综合应用，核心是通过分类讨论覆盖所有可能情况，避免漏解。每种情况需验证内角和是否符合定理，确保结果合理，能培养严谨的逻辑思维。
【难度系数】
0.4
8. 如图,点$D,E$分别在线段$BC,AC$上,连接$AD,BE$。若$∠ A=35°$,$∠ B=25°$,$∠ C=50°$,则$∠ 1$的度数为
$70^{\circ }$
。答案
8.$70^{\circ }$
解析
【分析】
要计算∠1的度数，首先观察图形，∠1是△AEF（F为AD与BE的交点）的内角，可先利用三角形外角性质求出∠AEB的度数，再结合三角形内角和定理计算∠1。具体思路：∠AEB是△BCE的外角，根据外角性质可由∠B和∠C求出∠AEB；再在△AEF中，用三角形内角和为180°，减去∠A和∠AEB的度数，即可得到∠1的度数。
【解析】
1. 计算∠AEB的度数：
因为∠AEB是△BCE的外角，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），已知∠B=25°，∠C=50°，所以：
$∠ AEB = ∠ B + ∠ C = 25° + 50° = 75°$
2. 计算∠1的度数：
在△AEF中，根据三角形内角和定理（三角形内角和为180°），已知∠A=35°，∠AEB=75°，所以：
$∠ 1 = 180° - ∠ A - ∠ AEB = 180° - 35° - 75° = 70°$
【答案】
$\boldsymbol{70°}$
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形外角性质与内角和定理的综合应用，解题的关键是准确识别图形中角的位置关系，灵活运用外角性质快速求出相关角的度数，属于基础几何题，需要学生熟练掌握三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
要计算∠1的度数，首先观察图形，∠1是△AEF（F为AD与BE的交点）的内角，可先利用三角形外角性质求出∠AEB的度数，再结合三角形内角和定理计算∠1。具体思路：∠AEB是△BCE的外角，根据外角性质可由∠B和∠C求出∠AEB；再在△AEF中，用三角形内角和为180°，减去∠A和∠AEB的度数，即可得到∠1的度数。
【解析】
1. 计算∠AEB的度数：
因为∠AEB是△BCE的外角，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），已知∠B=25°，∠C=50°，所以：
$∠ AEB = ∠ B + ∠ C = 25° + 50° = 75°$
2. 计算∠1的度数：
在△AEF中，根据三角形内角和定理（三角形内角和为180°），已知∠A=35°，∠AEB=75°，所以：
$∠ 1 = 180° - ∠ A - ∠ AEB = 180° - 35° - 75° = 70°$
【答案】
$\boldsymbol{70°}$
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形外角性质与内角和定理的综合应用，解题的关键是准确识别图形中角的位置关系，灵活运用外角性质快速求出相关角的度数，属于基础几何题，需要学生熟练掌握三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
9. 小亮在学习中遇到这样一个问题:
如图①,在$△ ABC$中,$∠ C＞∠ B$,$AE$平分$∠ BAC$,$AD⊥ BC$于点$D$。猜想$∠ B$,$∠ C$,$∠ EAD$的数量关系,并说明理由。
(1)小亮阅读题目后,没有发现数量关系与解题思路。于是尝试代入$∠ B$,$∠ C$的值求$∠ EAD$值,得到下面几组对应值:
上表中$α=$
(2)猜想$∠ B$,$∠ C$,$∠ EAD$的数量关系,并说明理由;
(3)小亮突发奇想,交换$B,C$两个字母的位置,如图②,过$EA$的延长线上一点$F$作$FD⊥ BC$交$CB$的延长线于点$D$,当$∠ ABC=78°$,$∠ C=22°$时,$∠ F$的度数为
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
如图①,在$△ ABC$中,$∠ C＞∠ B$,$AE$平分$∠ BAC$,$AD⊥ BC$于点$D$。猜想$∠ B$,$∠ C$,$∠ EAD$的数量关系,并说明理由。
(1)小亮阅读题目后,没有发现数量关系与解题思路。于是尝试代入$∠ B$,$∠ C$的值求$∠ EAD$值,得到下面几组对应值:
上表中$α=$
20
;(2)猜想$∠ B$,$∠ C$,$∠ EAD$的数量关系,并说明理由;
(3)小亮突发奇想,交换$B,C$两个字母的位置,如图②,过$EA$的延长线上一点$F$作$FD⊥ BC$交$CB$的延长线于点$D$,当$∠ ABC=78°$,$∠ C=22°$时,$∠ F$的度数为
28
$°$。自我反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
9.解:(1)20;
(2)猜想:$∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
理由:因为$AD⊥ BC$,
所以$∠ DAC=90^{\circ }-∠ C$。
因为$AE$平分$∠ BAC$,$∠ BAC=180^{\circ }-∠ B-∠ C$,
所以$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=90^{\circ }-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$,
所以$∠ EAD=∠ EAC-∠ DAC=90^{\circ }-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$$-(90^{\circ }-∠ C)=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$;
(3)28
(2)猜想:$∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
理由:因为$AD⊥ BC$,
所以$∠ DAC=90^{\circ }-∠ C$。
因为$AE$平分$∠ BAC$,$∠ BAC=180^{\circ }-∠ B-∠ C$,
所以$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=90^{\circ }-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$,
所以$∠ EAD=∠ EAC-∠ DAC=90^{\circ }-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$$-(90^{\circ }-∠ C)=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$;
(3)28
解析
【分析】
1. 第(1)问：已知∠B和∠C的度数，先利用三角形内角和求出∠BAC，再根据角平分线定义得到∠EAC，结合AD⊥BC得出∠DAC=90°-∠C，最后通过∠EAD=∠EAC-∠DAC代入数值计算即可得到α的值。
2. 第(2)问：先从直角三角形ADC入手，用∠C表示出∠DAC；再结合三角形内角和定理与角平分线定义，用∠B和∠C表示出∠EAC；最后通过∠EAD=∠EAC-∠DAC的关系化简推导，得出∠EAD与∠B、∠C的数量关系。
3. 第(3)问：交换B、C位置后，可类比第(2)问的结论，先计算∠BAC的度数，利用角平分线得到相关角的度数，再结合FD⊥BC的直角关系，求出∠F的度数。
【解析】
(1) 当∠B=30°，∠C=70°时：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-70°=80°$，
因为AE平分$∠ BAC$，所以$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=40°$，
又$AD⊥ BC$，所以$∠ DAC=90°-∠ C=90°-70°=20°$，
则$∠ EAD=∠ EAC-∠ DAC=40°-20°=20°$，即$α=20$。
(2) 猜想：$\boldsymbol{∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)}$。
理由如下：
因为$AD⊥ BC$，所以$∠ ADC=90°$，则$∠ DAC=90°-∠ C$。
因为$AE$平分$∠ BAC$，且$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C$，
所以$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)=90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$，
因此$∠ EAD=∠ EAC-∠ DAC$
$=90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C-(90°-∠ C)$
$=90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C-90°+∠ C$
$=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
(3) 当$∠ ABC=78°$，$∠ C=22°$时：
根据第(2)问的结论类比可得，$∠ F=\frac{1}{2}(∠ ABC-∠ C)$，
代入数值：$∠ F=\frac{1}{2}(78°-22°)=28°$。
【答案】
(1) 20；
(2) $∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$；
(3) 28
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题综合考查三角形的核心性质，需要灵活运用内角和定理、角平分线定义及直角三角形的角的关系进行角的推导，既巩固了基础知识点，又锻炼了逻辑推理与知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：已知∠B和∠C的度数，先利用三角形内角和求出∠BAC，再根据角平分线定义得到∠EAC，结合AD⊥BC得出∠DAC=90°-∠C，最后通过∠EAD=∠EAC-∠DAC代入数值计算即可得到α的值。
2. 第(2)问：先从直角三角形ADC入手，用∠C表示出∠DAC；再结合三角形内角和定理与角平分线定义，用∠B和∠C表示出∠EAC；最后通过∠EAD=∠EAC-∠DAC的关系化简推导，得出∠EAD与∠B、∠C的数量关系。
3. 第(3)问：交换B、C位置后，可类比第(2)问的结论，先计算∠BAC的度数，利用角平分线得到相关角的度数，再结合FD⊥BC的直角关系，求出∠F的度数。
【解析】
(1) 当∠B=30°，∠C=70°时：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-70°=80°$，
因为AE平分$∠ BAC$，所以$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=40°$，
又$AD⊥ BC$，所以$∠ DAC=90°-∠ C=90°-70°=20°$，
则$∠ EAD=∠ EAC-∠ DAC=40°-20°=20°$，即$α=20$。
(2) 猜想：$\boldsymbol{∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)}$。
理由如下：
因为$AD⊥ BC$，所以$∠ ADC=90°$，则$∠ DAC=90°-∠ C$。
因为$AE$平分$∠ BAC$，且$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C$，
所以$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)=90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$，
因此$∠ EAD=∠ EAC-∠ DAC$
$=90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C-(90°-∠ C)$
$=90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C-90°+∠ C$
$=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
(3) 当$∠ ABC=78°$，$∠ C=22°$时：
根据第(2)问的结论类比可得，$∠ F=\frac{1}{2}(∠ ABC-∠ C)$，
代入数值：$∠ F=\frac{1}{2}(78°-22°)=28°$。
【答案】
(1) 20；
(2) $∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$；
(3) 28
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题综合考查三角形的核心性质，需要灵活运用内角和定理、角平分线定义及直角三角形的角的关系进行角的推导，既巩固了基础知识点，又锻炼了逻辑推理与知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
