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3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AD⊥ BC$于点$D$,$DE⊥ AB$于点$E$,则下列各角中,与$∠ B$一定相等的是(
A.$∠ BAD$
B.$∠ CAD$
C.$∠ BCA$
D.$∠ BDE$
B
)。A.$∠ BAD$
B.$∠ CAD$
C.$∠ BCA$
D.$∠ BDE$
答案
3.B
解析
【分析】
要找出与∠B相等的角，可利用直角三角形中“同角的余角相等”的性质来分析：
1. 首先，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，根据直角三角形两锐角互余，可得∠B + ∠C = 90°；
2. 因为AD⊥BC，所以△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，同理可得∠CAD + ∠C = 90°；
3. 观察这两个等式，∠B和∠CAD都是∠C的余角，根据同角的余角相等，可推出∠B=∠CAD。再逐一分析其他选项，验证它们与∠B的关系：∠BAD与∠B互余，∠BCA（即∠C）与∠B互余，∠BDE与∠B互余，均不相等。
【解析】
在$△ABC$中，$∠ BAC=90°$，根据直角三角形两锐角互余，得：
$∠ B + ∠ C = 90°$，
因为$AD⊥ BC$，所以$∠ ADC=90°$，在$Rt△ ADC$中：
$∠ CAD + ∠ C = 90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ B = ∠ CAD$。
对其他选项分析：
选项A：在$Rt△ ABD$中，$∠ B + ∠ BAD=90°$，故$∠ BAD$与$∠ B$互余，不相等；
选项C：$∠ BCA=∠ C$，由$∠ B + ∠ C=90°$，可知$∠ BCA$与$∠ B$互余，不相等；
选项D：在$Rt△ BDE$中，$∠ B + ∠ BDE=90°$，故$∠ BDE$与$∠ B$互余，不相等。
综上，与$∠ B$一定相等的是$∠ CAD$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题主要考查直角三角形的性质，解题关键是灵活运用“同角的余角相等”这一核心结论，通过分析直角三角形中角的互余关系，推导角的等量关系，需要熟练掌握直角三角形的基本性质并能灵活应用。
【难度系数】
0.6
要找出与∠B相等的角，可利用直角三角形中“同角的余角相等”的性质来分析：
1. 首先，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，根据直角三角形两锐角互余，可得∠B + ∠C = 90°；
2. 因为AD⊥BC，所以△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，同理可得∠CAD + ∠C = 90°；
3. 观察这两个等式，∠B和∠CAD都是∠C的余角，根据同角的余角相等，可推出∠B=∠CAD。再逐一分析其他选项，验证它们与∠B的关系：∠BAD与∠B互余，∠BCA（即∠C）与∠B互余，∠BDE与∠B互余，均不相等。
【解析】
在$△ABC$中，$∠ BAC=90°$，根据直角三角形两锐角互余，得：
$∠ B + ∠ C = 90°$，
因为$AD⊥ BC$，所以$∠ ADC=90°$，在$Rt△ ADC$中：
$∠ CAD + ∠ C = 90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ B = ∠ CAD$。
对其他选项分析：
选项A：在$Rt△ ABD$中，$∠ B + ∠ BAD=90°$，故$∠ BAD$与$∠ B$互余，不相等；
选项C：$∠ BCA=∠ C$，由$∠ B + ∠ C=90°$，可知$∠ BCA$与$∠ B$互余，不相等；
选项D：在$Rt△ BDE$中，$∠ B + ∠ BDE=90°$，故$∠ BDE$与$∠ B$互余，不相等。
综上，与$∠ B$一定相等的是$∠ CAD$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题主要考查直角三角形的性质，解题关键是灵活运用“同角的余角相等”这一核心结论，通过分析直角三角形中角的互余关系，推导角的等量关系，需要熟练掌握直角三角形的基本性质并能灵活应用。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在$△ ABC$中$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$,垂足为$D$,下列结论
A.$∠ A=∠ 2$
B.$∠ 1$和$∠ B$都是$∠ A$的余角
C.$∠ 1=∠ 2$
D.图中有3个直角三角形
错
误
的是(C
)。A.$∠ A=∠ 2$
B.$∠ 1$和$∠ B$都是$∠ A$的余角
C.$∠ 1=∠ 2$
D.图中有3个直角三角形
答案
4.C
解析
【分析】
首先根据题目给出的$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$的条件，先明确图中的直角，再利用直角三角形中“同角的余角相等”的性质，逐个分析每个选项：
1. 分析选项A：通过$∠A$和$∠2$都与$∠B$互余，判断两者相等；
2. 分析选项B：判断$∠1$、$∠B$分别与$∠A$的和为90°，确定它们都是$∠A$的余角；
3. 分析选项C：$∠1$与$∠B$互余，$∠2$与$∠A$互余，只有当$△ABC$是等腰直角三角形时$∠1=∠2$，题目无此条件，故该结论错误；
4. 分析选项D：找出图中的三个直角三角形，判断该结论正确。
【解析】
已知在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，所以$∠ ADC=∠ BDC=∠ ACB=90°$。
对于选项A：
在$△ABC$中，$∠A+∠B=90°$；在$△BCD$中，$∠2+∠B=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠A=∠2$，故A结论正确。
对于选项B：
因为$∠ACB=90°$，所以$∠A+∠1=90°$；又$∠A+∠B=90°$，因此$∠1$和$∠B$都是$∠A$的余角，故B结论正确。
对于选项C：
由上述推导可知，$∠1=∠B$（同角的余角相等），$∠2=∠A$，只有当$∠A=∠B$（即$△ABC$为等腰直角三角形）时，$∠1=∠2$，但题目中未给出此条件，所以$∠1$与$∠2$不一定相等，故C结论错误。
对于选项D：
图中的直角三角形为$△ABC$、$△ACD$、$△BCD$，共3个，故D结论正确。
综上，错误的结论是C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形性质；余角的性质
【点评】
本题考查直角三角形与余角的综合应用，解题的核心是熟练运用“同角（等角）的余角相等”这一性质，通过逐个分析选项，结合图形中的直角关系进行判断，需要注意题目未给出的条件不能随意假设。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$的条件，先明确图中的直角，再利用直角三角形中“同角的余角相等”的性质，逐个分析每个选项：
1. 分析选项A：通过$∠A$和$∠2$都与$∠B$互余，判断两者相等；
2. 分析选项B：判断$∠1$、$∠B$分别与$∠A$的和为90°，确定它们都是$∠A$的余角；
3. 分析选项C：$∠1$与$∠B$互余，$∠2$与$∠A$互余，只有当$△ABC$是等腰直角三角形时$∠1=∠2$，题目无此条件，故该结论错误；
4. 分析选项D：找出图中的三个直角三角形，判断该结论正确。
【解析】
已知在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，所以$∠ ADC=∠ BDC=∠ ACB=90°$。
对于选项A：
在$△ABC$中，$∠A+∠B=90°$；在$△BCD$中，$∠2+∠B=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠A=∠2$，故A结论正确。
对于选项B：
因为$∠ACB=90°$，所以$∠A+∠1=90°$；又$∠A+∠B=90°$，因此$∠1$和$∠B$都是$∠A$的余角，故B结论正确。
对于选项C：
由上述推导可知，$∠1=∠B$（同角的余角相等），$∠2=∠A$，只有当$∠A=∠B$（即$△ABC$为等腰直角三角形）时，$∠1=∠2$，但题目中未给出此条件，所以$∠1$与$∠2$不一定相等，故C结论错误。
对于选项D：
图中的直角三角形为$△ABC$、$△ACD$、$△BCD$，共3个，故D结论正确。
综上，错误的结论是C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形性质；余角的性质
【点评】
本题考查直角三角形与余角的综合应用，解题的核心是熟练运用“同角（等角）的余角相等”这一性质，通过逐个分析选项，结合图形中的直角关系进行判断，需要注意题目未给出的条件不能随意假设。
【难度系数】
0.7
1. 在为说明“三角形的内角和等于$180°$”时,作了如下四种辅助线,其中不能说明“三角形的内角和等于$180°$”的是(
A.延长$BC$至点$D$过点$C$作$CE// AB$
B.过点$A$作$DE// BC$
C.过点$D$作$DE// BC$
D.过点$P$作$FG// AB$,$DE// BC$,$HI// AC$
C
)。A.延长$BC$至点$D$过点$C$作$CE// AB$
B.过点$A$作$DE// BC$
C.过点$D$作$DE// BC$
D.过点$P$作$FG// AB$,$DE// BC$,$HI// AC$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断哪种辅助线不能说明三角形内角和为$180°$，关键思路是：利用平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），将三角形的三个内角转化为一个平角（和为$180°$）或一组互补的角。我们逐个分析选项：
1. 对于选项A，延长BC作平行线，可将$∠ A$、$∠ B$转化为与$∠ ACB$共顶点的角，三者组成平角，能证明；
2. 选项B，过顶点A作平行线，可将$∠ B$、$∠ C$转化为与$∠ BAC$组成平角的角，能证明；
3. 选项C，过点D作平行线，但D未与三角形建立有效关联，无法通过该平行线把三角形的三个内角转化为和为$180°$的角，不能证明；
4. 选项D，通过多条平行线，可利用角的转化将三个内角整合为和为$180°$的组合，能证明。
【解析】
选项A：延长$BC$至点$D$，过点$C$作$CE// AB$，根据平行线性质，$∠ A=∠ ACE$（内错角相等），$∠ B=∠ DCE$（同位角相等）。因为$∠ ACB+∠ ACE+∠ DCE=180°$（平角的定义），所以$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，可证明三角形内角和为$180°$。
选项B：过点$A$作$DE// BC$，根据平行线性质，$∠ B=∠ DAB$，$∠ C=∠ EAC$（内错角相等）。因为$∠ DAB+∠ BAC+∠ EAC=180°$（平角的定义），所以$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，可证明三角形内角和为$180°$。
选项C：过点$D$作$DE// BC$，点$D$未与三角形的顶点或边建立有效联系，无法通过该平行线将三角形的三个内角转化为和为$180°$的角，不能证明三角形内角和为$180°$。
选项D：过点$P$作$FG// AB$，$DE// BC$，$HI// AC$，利用平行线的同位角、内错角相等的性质，可将三角形的三个内角转化为平角或互补的角，从而证明三角形内角和为$180°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、平行线的性质
【点评】
本题聚焦三角形内角和定理的证明思路，核心考查平行线性质的应用，解题的关键是理解辅助线的作用——通过平行线实现角的转化，将三角形内角整合为和为$180°$的角组合。需要学生熟练掌握平行线的性质及平角的定义，具备一定的几何转化思维。
【难度系数】
0.6
要判断哪种辅助线不能说明三角形内角和为$180°$，关键思路是：利用平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），将三角形的三个内角转化为一个平角（和为$180°$）或一组互补的角。我们逐个分析选项：
1. 对于选项A，延长BC作平行线，可将$∠ A$、$∠ B$转化为与$∠ ACB$共顶点的角，三者组成平角，能证明；
2. 选项B，过顶点A作平行线，可将$∠ B$、$∠ C$转化为与$∠ BAC$组成平角的角，能证明；
3. 选项C，过点D作平行线，但D未与三角形建立有效关联，无法通过该平行线把三角形的三个内角转化为和为$180°$的角，不能证明；
4. 选项D，通过多条平行线，可利用角的转化将三个内角整合为和为$180°$的组合，能证明。
【解析】
选项A：延长$BC$至点$D$，过点$C$作$CE// AB$，根据平行线性质，$∠ A=∠ ACE$（内错角相等），$∠ B=∠ DCE$（同位角相等）。因为$∠ ACB+∠ ACE+∠ DCE=180°$（平角的定义），所以$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，可证明三角形内角和为$180°$。
选项B：过点$A$作$DE// BC$，根据平行线性质，$∠ B=∠ DAB$，$∠ C=∠ EAC$（内错角相等）。因为$∠ DAB+∠ BAC+∠ EAC=180°$（平角的定义），所以$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，可证明三角形内角和为$180°$。
选项C：过点$D$作$DE// BC$，点$D$未与三角形的顶点或边建立有效联系，无法通过该平行线将三角形的三个内角转化为和为$180°$的角，不能证明三角形内角和为$180°$。
选项D：过点$P$作$FG// AB$，$DE// BC$，$HI// AC$，利用平行线的同位角、内错角相等的性质，可将三角形的三个内角转化为平角或互补的角，从而证明三角形内角和为$180°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、平行线的性质
【点评】
本题聚焦三角形内角和定理的证明思路，核心考查平行线性质的应用，解题的关键是理解辅助线的作用——通过平行线实现角的转化，将三角形内角整合为和为$180°$的角组合。需要学生熟练掌握平行线的性质及平角的定义，具备一定的几何转化思维。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=78°$,若沿图中虚线截去$∠ C$,则$∠ 1+∠ 2=$(
A.$282°$
B.$280°$
C.$258°$
D.$268°$
C
)。A.$282°$
B.$280°$
C.$258°$
D.$268°$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这个问题，可从两种思路入手：一是利用四边形内角和，二是利用三角形外角性质。首先根据三角形内角和求出△ABC中∠A与∠B的和；截去∠C后形成四边形，结合四边形内角和即可求出∠1+∠2的度数；也可通过外角性质，将∠1、∠2转化为含∠C的式子，再结合三角形内角和推导。
【解析】
方法一：利用四边形内角和求解
在$△ABC$中，根据三角形内角和定理：$∠ A+∠ B+∠ C=180{}^{\circ }$，已知$∠ C=78{}^{\circ }$，
则$∠ A+∠ B=180{}^{\circ }-78{}^{\circ }=102{}^{\circ }$。
截去$∠ C$后形成四边形，四边形内角和为$360{}^{\circ }$，
因此$∠ 1+∠ 2=360{}^{\circ }-(∠ A+∠ B)=360{}^{\circ }-102{}^{\circ }=258{}^{\circ }$。
方法二：利用三角形外角性质求解
$∠ 1$是$△ CDE$的外角，故$∠ 1=∠ C+∠ CED$；
$∠ 2$是$△ CDE$的外角，故$∠ 2=∠ C+∠ CDE$；
则$∠ 1+∠ 2=∠ C+∠ CED+∠ C+∠ CDE=2∠ C+(∠ CED+∠ CDE)$。
在$△ CDE$中，$∠ CED+∠ CDE=180{}^{\circ }-∠ C$，
代入得$∠ 1+∠ 2=2× 78{}^{\circ }+(180{}^{\circ }-78{}^{\circ })=156{}^{\circ }+102{}^{\circ }=258{}^{\circ }$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，四边形内角和
【点评】
本题考查三角形与四边形的内角相关性质，解题关键是灵活运用内角和定理或外角性质，将所求角与已知角建立联系，属于基础题型，可帮助巩固内角相关概念。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，可从两种思路入手：一是利用四边形内角和，二是利用三角形外角性质。首先根据三角形内角和求出△ABC中∠A与∠B的和；截去∠C后形成四边形，结合四边形内角和即可求出∠1+∠2的度数；也可通过外角性质，将∠1、∠2转化为含∠C的式子，再结合三角形内角和推导。
【解析】
方法一：利用四边形内角和求解
在$△ABC$中，根据三角形内角和定理：$∠ A+∠ B+∠ C=180{}^{\circ }$，已知$∠ C=78{}^{\circ }$，
则$∠ A+∠ B=180{}^{\circ }-78{}^{\circ }=102{}^{\circ }$。
截去$∠ C$后形成四边形，四边形内角和为$360{}^{\circ }$，
因此$∠ 1+∠ 2=360{}^{\circ }-(∠ A+∠ B)=360{}^{\circ }-102{}^{\circ }=258{}^{\circ }$。
方法二：利用三角形外角性质求解
$∠ 1$是$△ CDE$的外角，故$∠ 1=∠ C+∠ CED$；
$∠ 2$是$△ CDE$的外角，故$∠ 2=∠ C+∠ CDE$；
则$∠ 1+∠ 2=∠ C+∠ CED+∠ C+∠ CDE=2∠ C+(∠ CED+∠ CDE)$。
在$△ CDE$中，$∠ CED+∠ CDE=180{}^{\circ }-∠ C$，
代入得$∠ 1+∠ 2=2× 78{}^{\circ }+(180{}^{\circ }-78{}^{\circ })=156{}^{\circ }+102{}^{\circ }=258{}^{\circ }$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，四边形内角和
【点评】
本题考查三角形与四边形的内角相关性质，解题关键是灵活运用内角和定理或外角性质，将所求角与已知角建立联系，属于基础题型，可帮助巩固内角相关概念。
【难度系数】
0.7
3. 如图,延长$△ ABC$的边$BC$至点$D$,过点$D$作$DF⊥ AB$于点$F$,交$AC$于点$E$,若$∠ A=40°$,$∠ D=50°$,则$∠ ACB$的度数为(
A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$105°$
C
)。A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$105°$
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以从已知的垂直条件入手，先利用直角三角形的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角和定理计算∠ACB的度数。具体思路如下：
1. 由DF⊥AB可知△BFD是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可求出∠B的度数；
2. 在△ABC中，已知∠A和求出的∠B，利用三角形内角和为180°，即可算出∠ACB的度数。
也可以通过对顶角相等，先求出△DEC中的角，再利用邻补角的性质得到∠ACB的度数，两种方法都能得到结果。
【解析】
方法一：
∵ $ DF ⊥ AB $，
∴ $ ∠ BFD = 90° $。
在$ △ BFD $中，根据三角形内角和为$ 180° $，可得：
$ ∠ B = 180° - ∠ BFD - ∠ D = 180° - 90° - 50° = 40° $。
在$ △ ABC $中，根据三角形内角和为$ 180° $，可得：
$ ∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 40° - 40° = 100° $。
方法二：
∵ $ DF ⊥ AB $，
∴ $ ∠ AFE = 90° $。
在$ △ AFE $中，$ ∠ AEF = 180° - ∠ A - ∠ AFE = 180° - 40° - 90° = 50° $。
∵ $ ∠ DEC = ∠ AEF $（对顶角相等），
∴ $ ∠ DEC = 50° $。
在$ △ DEC $中，$ ∠ DCE = 180° - ∠ D - ∠ DEC = 180° - 50° - 50° = 80° $。
∵ $ ∠ ACB + ∠ DCE = 180° $（邻补角的性质），
∴ $ ∠ ACB = 180° - 80° = 100° $。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的性质，对顶角相等
【点评】
本题主要考查三角形内角和定理、直角三角形的性质及对顶角的性质，解题关键是理清图形中各角之间的关系，通过已知角逐步推导未知角，需要熟练掌握角的转化方法，属于基础几何题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以从已知的垂直条件入手，先利用直角三角形的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角和定理计算∠ACB的度数。具体思路如下：
1. 由DF⊥AB可知△BFD是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可求出∠B的度数；
2. 在△ABC中，已知∠A和求出的∠B，利用三角形内角和为180°，即可算出∠ACB的度数。
也可以通过对顶角相等，先求出△DEC中的角，再利用邻补角的性质得到∠ACB的度数，两种方法都能得到结果。
【解析】
方法一：
∵ $ DF ⊥ AB $，
∴ $ ∠ BFD = 90° $。
在$ △ BFD $中，根据三角形内角和为$ 180° $，可得：
$ ∠ B = 180° - ∠ BFD - ∠ D = 180° - 90° - 50° = 40° $。
在$ △ ABC $中，根据三角形内角和为$ 180° $，可得：
$ ∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 40° - 40° = 100° $。
方法二：
∵ $ DF ⊥ AB $，
∴ $ ∠ AFE = 90° $。
在$ △ AFE $中，$ ∠ AEF = 180° - ∠ A - ∠ AFE = 180° - 40° - 90° = 50° $。
∵ $ ∠ DEC = ∠ AEF $（对顶角相等），
∴ $ ∠ DEC = 50° $。
在$ △ DEC $中，$ ∠ DCE = 180° - ∠ D - ∠ DEC = 180° - 50° - 50° = 80° $。
∵ $ ∠ ACB + ∠ DCE = 180° $（邻补角的性质），
∴ $ ∠ ACB = 180° - 80° = 100° $。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的性质，对顶角相等
【点评】
本题主要考查三角形内角和定理、直角三角形的性质及对顶角的性质，解题关键是理清图形中各角之间的关系，通过已知角逐步推导未知角，需要熟练掌握角的转化方法，属于基础几何题。
【难度系数】
0.8
4. 下列条件中,可以确定$△ ABC$是直角三角形的是(
A.$∠ A+∠ B+∠ C=180°$
B.$∠ A=∠ B=∠ C$
C.$∠ A=∠ B=2∠ C$
D.$∠ A=∠ C-∠ B$
D
)。A.$∠ A+∠ B+∠ C=180°$
B.$∠ A=∠ B=∠ C$
C.$∠ A=∠ B=2∠ C$
D.$∠ A=∠ C-∠ B$
答案
4.D
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，关键是看三角形中是否有一个角为90°，我们可以结合三角形内角和定理（三角形内角和为180°），对每个选项逐一分析：
1. 先看选项A，所有三角形的内角和都是180°，这是三角形的基本性质，无法由此确定是直角三角形；
2. 选项B，三个角相等，结合内角和可算出每个角都是60°，是等边三角形，不是直角三角形；
3. 选项C，通过设未知数，利用内角和定理计算出三个角的度数，发现没有90°的角，不是直角三角形；
4. 选项D，通过移项得到∠A+∠B=∠C，再结合内角和定理，可算出∠C=90°，从而确定是直角三角形。
【解析】
选项A：任意三角形的内角和都为180°，该条件是所有三角形共有的性质，不能确定△ABC是直角三角形；
选项B：若∠A=∠B=∠C，根据三角形内角和定理∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=∠B=∠C=60°，△ABC是等边三角形，不是直角三角形；
选项C：设∠C=x，则∠A=∠B=2x，由内角和定理得：2x+2x+x=180°，解得x=36°，则∠A=∠B=72°，∠C=36°，不存在90°的角，不是直角三角形；
选项D：由∠A=∠C-∠B变形得∠A+∠B=∠C，又因为∠A+∠B+∠C=180°，将∠A+∠B=∠C代入得∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的判定
【点评】
本题重点考查三角形内角和定理的应用以及直角三角形的判定方法，解题核心是通过内角和公式结合选项条件，计算出三角形内角的度数，判断是否存在直角。题目难度较低，侧重基础概念的理解与运用。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC是否为直角三角形，关键是看三角形中是否有一个角为90°，我们可以结合三角形内角和定理（三角形内角和为180°），对每个选项逐一分析：
1. 先看选项A，所有三角形的内角和都是180°，这是三角形的基本性质，无法由此确定是直角三角形；
2. 选项B，三个角相等，结合内角和可算出每个角都是60°，是等边三角形，不是直角三角形；
3. 选项C，通过设未知数，利用内角和定理计算出三个角的度数，发现没有90°的角，不是直角三角形；
4. 选项D，通过移项得到∠A+∠B=∠C，再结合内角和定理，可算出∠C=90°，从而确定是直角三角形。
【解析】
选项A：任意三角形的内角和都为180°，该条件是所有三角形共有的性质，不能确定△ABC是直角三角形；
选项B：若∠A=∠B=∠C，根据三角形内角和定理∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=∠B=∠C=60°，△ABC是等边三角形，不是直角三角形；
选项C：设∠C=x，则∠A=∠B=2x，由内角和定理得：2x+2x+x=180°，解得x=36°，则∠A=∠B=72°，∠C=36°，不存在90°的角，不是直角三角形；
选项D：由∠A=∠C-∠B变形得∠A+∠B=∠C，又因为∠A+∠B+∠C=180°，将∠A+∠B=∠C代入得∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的判定
【点评】
本题重点考查三角形内角和定理的应用以及直角三角形的判定方法，解题核心是通过内角和公式结合选项条件，计算出三角形内角的度数，判断是否存在直角。题目难度较低，侧重基础概念的理解与运用。
【难度系数】
0.7
5. 把一副三角板($∠ A=∠ B=45°$,$∠ D=60°$,$∠ E=30°$)按如图所示摆放,若$DE// BC$,则$∠ 1$的度数为(
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$120°$
C
)。A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$120°$
答案
5.C
解析
【分析】
要解决本题，我们可以利用平行线的性质结合三角板的已知角度来推导∠1的度数：
1. 首先观察图形，已知$DE// BC$，根据平行线的同旁内角互补性质，可得到∠E与∠ECB的和为$180°$；
2. 已知三角板中$∠E=30°$，由此可算出∠ECB的度数；
3. 再结合三角板中$∠ACB=90°$，用∠ECB减去∠ACB，即可得到∠1的度数。
【解析】
1. 因为$DE// BC$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：
$∠ E + ∠ ECB = 180°$
2. 已知$∠ E=30°$，代入上式得：
$∠ ECB = 180° - 30° = 150°$
3. 由三角板的性质可知$∠ ACB=90°$，因此：
$∠ 1 = ∠ ECB - ∠ ACB = 150° - 90° = 60°$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，三角板角度特征
【点评】
本题是平行线性质与三角板角度的综合应用，解题关键是准确识别图形中角的位置关系，利用平行线性质建立已知角和所求角的联系，难度适中，需要学生具备一定的图形观察和角度计算能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，我们可以利用平行线的性质结合三角板的已知角度来推导∠1的度数：
1. 首先观察图形，已知$DE// BC$，根据平行线的同旁内角互补性质，可得到∠E与∠ECB的和为$180°$；
2. 已知三角板中$∠E=30°$，由此可算出∠ECB的度数；
3. 再结合三角板中$∠ACB=90°$，用∠ECB减去∠ACB，即可得到∠1的度数。
【解析】
1. 因为$DE// BC$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：
$∠ E + ∠ ECB = 180°$
2. 已知$∠ E=30°$，代入上式得：
$∠ ECB = 180° - 30° = 150°$
3. 由三角板的性质可知$∠ ACB=90°$，因此：
$∠ 1 = ∠ ECB - ∠ ACB = 150° - 90° = 60°$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，三角板角度特征
【点评】
本题是平行线性质与三角板角度的综合应用，解题关键是准确识别图形中角的位置关系，利用平行线性质建立已知角和所求角的联系，难度适中，需要学生具备一定的图形观察和角度计算能力。
【难度系数】
0.6
