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课前预习
1 三角形外角定义
(1)三角形一边与
组成的角,叫作三角形的外角。
(2)三角形外角的特点:
顶点在三角形的一个顶点上,一条边是三角形的一条边,另一条边是三角形的。
2 三角形外角性质
(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的
的和。
(2)三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角。
困惑疑问:
1 三角形外角定义
(1)三角形一边与
组成的角,叫作三角形的外角。
(2)三角形外角的特点:
顶点在三角形的一个顶点上,一条边是三角形的一条边,另一条边是三角形的。
2 三角形外角性质
(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的
的和。
(2)三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角。
困惑疑问:
答案
1.(1)另一边的延长线 (2)另一边的延长线
2.(1)两个内角 (2)大于
2.(1)两个内角 (2)大于
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要回忆三角形外角的定义和性质相关知识：
1. 对于三角形外角定义，首先明确外角的形成：是三角形的一边和另一边的延长线组成的角，同时结合外角的特点，它的一条边是三角形的边，另一条边是三角形另一边的延长线。
2. 对于三角形外角性质，要牢记外角和不相邻内角的数量关系：一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，基于这个结论可以推出，外角必然大于其中任意一个不相邻的内角。
【解析】
1. 三角形外角定义：
(1) 根据外角的定义，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角。
(2) 三角形外角的特点：顶点在三角形的一个顶点上，一条边是三角形的一条边，另一条边是三角形的另一边的延长线。
2. 三角形外角性质：
(1) 由三角形外角的性质可知，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
(2) 因为外角等于两个不相邻内角的和，所以三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
【答案】
1.(1)另一边的延长线 (2)另一边的延长线
2.(1)两个内角 (2)大于
【知识点】
三角形外角定义、三角形外角性质
【点评】
本题考查三角形外角的基础定义与性质，是三角形相关知识的重要基础内容，需要准确理解并牢记，为后续学习三角形的相关证明和计算打好基础。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们需要回忆三角形外角的定义和性质相关知识：
1. 对于三角形外角定义，首先明确外角的形成：是三角形的一边和另一边的延长线组成的角，同时结合外角的特点，它的一条边是三角形的边，另一条边是三角形另一边的延长线。
2. 对于三角形外角性质，要牢记外角和不相邻内角的数量关系：一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，基于这个结论可以推出，外角必然大于其中任意一个不相邻的内角。
【解析】
1. 三角形外角定义：
(1) 根据外角的定义，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角。
(2) 三角形外角的特点：顶点在三角形的一个顶点上，一条边是三角形的一条边，另一条边是三角形的另一边的延长线。
2. 三角形外角性质：
(1) 由三角形外角的性质可知，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
(2) 因为外角等于两个不相邻内角的和，所以三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
【答案】
1.(1)另一边的延长线 (2)另一边的延长线
2.(1)两个内角 (2)大于
【知识点】
三角形外角定义、三角形外角性质
【点评】
本题考查三角形外角的基础定义与性质，是三角形相关知识的重要基础内容，需要准确理解并牢记，为后续学习三角形的相关证明和计算打好基础。
【难度系数】
0.9
知识点 三角形外角及其性质
答案
解：
已知在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，∠ACD是∠ACB的外角，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
可得∠ACD = ∠A + ∠B = 50° + 70° = 120°。
已知在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，∠ACD是∠ACB的外角，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
可得∠ACD = ∠A + ∠B = 50° + 70° = 120°。
解析
【分析】
首先明确题目已知条件：在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，∠ACD是∠ACB的外角。接下来回忆三角形外角的核心性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，这是解决本题的关键依据。只需将已知的两个不相邻内角的度数相加，即可求出外角∠ACD的度数。
【解析】
已知在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，∠ACD是∠ACB的外角。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
可得∠ACD = ∠A + ∠B = 50° + 70° = 120°。
【答案】
120°
【知识点】
三角形外角性质
【点评】
本题属于基础题型，直接考查三角形外角的核心性质，主要检验学生对该性质的理解与简单应用能力，牢记性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
首先明确题目已知条件：在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，∠ACD是∠ACB的外角。接下来回忆三角形外角的核心性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，这是解决本题的关键依据。只需将已知的两个不相邻内角的度数相加，即可求出外角∠ACD的度数。
【解析】
已知在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，∠ACD是∠ACB的外角。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
可得∠ACD = ∠A + ∠B = 50° + 70° = 120°。
【答案】
120°
【知识点】
三角形外角性质
【点评】
本题属于基础题型，直接考查三角形外角的核心性质，主要检验学生对该性质的理解与简单应用能力，牢记性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
1. 如图,$∠ BDC$是
△ADC
的外角,$∠ BDC=$∠A+∠ACD
;$∠ EFC$是△BFC
的外角,$∠ EFC=$∠FBC+∠FCB
;$∠ BFC$是△BFD或△EFC
的外角,$∠ BFC=$∠DBF+∠BDF或∠FEC+∠ECF
。答案
1.△ADC ∠A+∠ACD △BFC ∠FBC+∠FCB
△BFD或△EFC ∠DBF+∠BDF或∠FEC+∠ECF
△BFD或△EFC ∠DBF+∠BDF或∠FEC+∠ECF
解析
【分析】
首先回忆三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角是三角形的外角，且三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
1. 观察$∠BDC$：它由$△ ADC$的边$AD$延长到$D$，边$DC$组成，因此是$△ ADC$的外角，根据外角性质，等于$△ ADC$中与它不相邻的两个内角$∠A$和$∠ACD$的和；
2. 观察$∠EFC$：它由$△ BFC$的边$BF$延长到$E$，边$FC$组成，因此是$△ BFC$的外角，根据外角性质，等于$△ BFC$中与它不相邻的两个内角$∠FBC$和$∠FCB$的和；
3. 观察$∠BFC$：它可以看作$△ BFD$的外角（边$FD$延长到$C$），也可以看作$△ EFC$的外角（边$FE$延长到$B$），因此分别等于$△ BFD$中不相邻的$∠DBF$和$∠BDF$的和，或者$△ EFC$中不相邻的$∠FEC$和$∠ECF$的和。
【解析】
根据三角形外角的定义和性质：
1. $∠BDC$是$△ ADC$的外角，由三角形外角等于不相邻两内角之和，可得$∠BDC=∠A+∠ACD$；
2. $∠EFC$是$△ BFC$的外角，同理可得$∠EFC=∠FBC+∠FCB$；
3. $∠BFC$是$△ BFD$或$△ EFC$的外角，因此$∠BFC=∠DBF+∠BDF$或$∠FEC+∠ECF$。
【答案】
$△ ADC$；$\boldsymbol{∠A+∠ACD}$；$△ BFC$；$\boldsymbol{∠FBC+∠FCB}$；$△ BFD$或$△ EFC$；$\boldsymbol{∠DBF+∠BDF}$或$\boldsymbol{∠FEC+∠ECF}$
【知识点】
三角形外角定义；三角形外角性质
【点评】
本题主要考查三角形外角的定义和性质，解题关键是准确识别每个外角对应的三角形，明确外角与不相邻内角的关系，需要仔细观察图形，理清角的构成。
【难度系数】
0.6
首先回忆三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角是三角形的外角，且三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
1. 观察$∠BDC$：它由$△ ADC$的边$AD$延长到$D$，边$DC$组成，因此是$△ ADC$的外角，根据外角性质，等于$△ ADC$中与它不相邻的两个内角$∠A$和$∠ACD$的和；
2. 观察$∠EFC$：它由$△ BFC$的边$BF$延长到$E$，边$FC$组成，因此是$△ BFC$的外角，根据外角性质，等于$△ BFC$中与它不相邻的两个内角$∠FBC$和$∠FCB$的和；
3. 观察$∠BFC$：它可以看作$△ BFD$的外角（边$FD$延长到$C$），也可以看作$△ EFC$的外角（边$FE$延长到$B$），因此分别等于$△ BFD$中不相邻的$∠DBF$和$∠BDF$的和，或者$△ EFC$中不相邻的$∠FEC$和$∠ECF$的和。
【解析】
根据三角形外角的定义和性质：
1. $∠BDC$是$△ ADC$的外角，由三角形外角等于不相邻两内角之和，可得$∠BDC=∠A+∠ACD$；
2. $∠EFC$是$△ BFC$的外角，同理可得$∠EFC=∠FBC+∠FCB$；
3. $∠BFC$是$△ BFD$或$△ EFC$的外角，因此$∠BFC=∠DBF+∠BDF$或$∠FEC+∠ECF$。
【答案】
$△ ADC$；$\boldsymbol{∠A+∠ACD}$；$△ BFC$；$\boldsymbol{∠FBC+∠FCB}$；$△ BFD$或$△ EFC$；$\boldsymbol{∠DBF+∠BDF}$或$\boldsymbol{∠FEC+∠ECF}$
【知识点】
三角形外角定义；三角形外角性质
【点评】
本题主要考查三角形外角的定义和性质，解题关键是准确识别每个外角对应的三角形，明确外角与不相邻内角的关系，需要仔细观察图形，理清角的构成。
【难度系数】
0.6
2. 写出下列各图中$∠ 1$和$∠ 2$的度数。
答案
①∠1=40°,∠2=140°;②∠1=80°,∠2=40°。
解析
【分析】
对于图①：先利用三角形内角和为180°，结合已知的两个内角求出∠1的度数；再根据邻补角的和为180°，计算出∠2的度数。
对于图②：先通过大三角形的内角和求出其右下角的角度，再结合已知的20°角算出∠2；最后利用三角形外角的性质（或三角形内角和）求出∠1的度数。
【解析】
图①：
1. 计算$∠ 1$的度数：
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ 1 = 180° - 80° - 60° = 40°$
2. 计算$∠ 2$的度数：
因为$∠ 1$与$∠ 2$是邻补角，和为$180°$，所以：
$∠ 2 = 180° - ∠ 1 = 180° - 40° = 140°$
图②：
1. 计算$∠ 2$的度数：
先求大三角形右下角的角度，根据三角形内角和为$180°$，大三角形的两个内角为$60°$，则右下角角度为：
$180° - 60° - 60° = 60°$
该角被分为$20°$和$∠ 2$，因此：
$∠ 2 = 60° - 20° = 40°$
2. 计算$∠ 1$的度数：
根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），$∠ 1$是下方小三角形的外角，可得：
$∠ 1 = 60° + 20° = 80°$
或利用三角形内角和：在上方小三角形中，$∠ 1 = 180° - 60° - 40° = 80°$
【答案】
①$\boldsymbol{∠1=40°,∠2=140°}$；②$\boldsymbol{∠1=80°,∠2=40°}$
【知识点】
三角形内角和定理，邻补角性质，三角形外角性质
【点评】
本题主要考查几何基本性质的应用，解题核心是熟练掌握三角形内角和、邻补角、三角形外角的相关性质，通过已知角度逐步推导未知角度，培养逻辑推理和角度计算能力。
【难度系数】
0.7
对于图①：先利用三角形内角和为180°，结合已知的两个内角求出∠1的度数；再根据邻补角的和为180°，计算出∠2的度数。
对于图②：先通过大三角形的内角和求出其右下角的角度，再结合已知的20°角算出∠2；最后利用三角形外角的性质（或三角形内角和）求出∠1的度数。
【解析】
图①：
1. 计算$∠ 1$的度数：
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ 1 = 180° - 80° - 60° = 40°$
2. 计算$∠ 2$的度数：
因为$∠ 1$与$∠ 2$是邻补角，和为$180°$，所以：
$∠ 2 = 180° - ∠ 1 = 180° - 40° = 140°$
图②：
1. 计算$∠ 2$的度数：
先求大三角形右下角的角度，根据三角形内角和为$180°$，大三角形的两个内角为$60°$，则右下角角度为：
$180° - 60° - 60° = 60°$
该角被分为$20°$和$∠ 2$，因此：
$∠ 2 = 60° - 20° = 40°$
2. 计算$∠ 1$的度数：
根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），$∠ 1$是下方小三角形的外角，可得：
$∠ 1 = 60° + 20° = 80°$
或利用三角形内角和：在上方小三角形中，$∠ 1 = 180° - 60° - 40° = 80°$
【答案】
①$\boldsymbol{∠1=40°,∠2=140°}$；②$\boldsymbol{∠1=80°,∠2=40°}$
【知识点】
三角形内角和定理，邻补角性质，三角形外角性质
【点评】
本题主要考查几何基本性质的应用，解题核心是熟练掌握三角形内角和、邻补角、三角形外角的相关性质，通过已知角度逐步推导未知角度，培养逻辑推理和角度计算能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图,$∠ 1$,$∠ 2$,$∠ 3$是三角形的不同的三个外角,则$∠ 1+∠ 2+∠ 3=$
360
°。答案
3.360
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以从三角形外角与内角的关系入手：每个外角都和相邻的内角互补（和为180°），先计算三个外角与三个内角的总和，再减去三角形的内角和，就能得到三个外角的和。首先回忆三角形内角和是180°，每个外角和相邻内角的和是180°，三个这样的和就是$3×180°=540°$，用这个总和减去三角形内角和180°，即可得到三个外角的和。
【解析】
设三角形的三个内角分别为$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$，对应的外角为$∠ 1$、$∠ 2$、$∠ 3$。
1. 根据外角与相邻内角互补的性质：
$∠ 1 + ∠ A = 180°$，$∠ 2 + ∠ B = 180°$，$∠ 3 + ∠ C = 180°$。
2. 将三个等式左右两边分别相加：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° × 3 = 540°$。
3. 因为三角形内角和$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，代入上式得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 540° - 180° = 360°$。
【答案】
360
【知识点】
三角形外角和定理、三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形外角和的计算，通过利用外角与内角的互补关系，结合三角形内角和定理进行推导，属于基础题型，需要熟练掌握角度间的基本关系。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以从三角形外角与内角的关系入手：每个外角都和相邻的内角互补（和为180°），先计算三个外角与三个内角的总和，再减去三角形的内角和，就能得到三个外角的和。首先回忆三角形内角和是180°，每个外角和相邻内角的和是180°，三个这样的和就是$3×180°=540°$，用这个总和减去三角形内角和180°，即可得到三个外角的和。
【解析】
设三角形的三个内角分别为$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$，对应的外角为$∠ 1$、$∠ 2$、$∠ 3$。
1. 根据外角与相邻内角互补的性质：
$∠ 1 + ∠ A = 180°$，$∠ 2 + ∠ B = 180°$，$∠ 3 + ∠ C = 180°$。
2. 将三个等式左右两边分别相加：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° × 3 = 540°$。
3. 因为三角形内角和$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，代入上式得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 540° - 180° = 360°$。
【答案】
360
【知识点】
三角形外角和定理、三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形外角和的计算，通过利用外角与内角的互补关系，结合三角形内角和定理进行推导，属于基础题型，需要熟练掌握角度间的基本关系。
【难度系数】
0.8
1. 如图,$∠ CBD$是$△ ABC$的一个外角,$∠ CBD=80°$,$∠ A=35°$,则$∠ C=$(
A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$55°$
C
)。A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$55°$
答案
1.C
解析
【分析】
首先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。题目中∠CBD是△ABC的外角，它与∠A、∠C的关系是∠CBD=∠A+∠C，已知∠CBD和∠A的度数，要求∠C，只需用∠CBD的度数减去∠A的度数即可。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
∠CBD = ∠A + ∠C
将∠CBD=80°，∠A=35°代入上式，得：
∠C = ∠CBD - ∠A = 80° - 35° = 45°
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题考查三角形外角性质的基础应用，题目较为简单，只要熟练掌握三角形外角与内角的关系，就能快速计算出结果，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.8
首先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。题目中∠CBD是△ABC的外角，它与∠A、∠C的关系是∠CBD=∠A+∠C，已知∠CBD和∠A的度数，要求∠C，只需用∠CBD的度数减去∠A的度数即可。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
∠CBD = ∠A + ∠C
将∠CBD=80°，∠A=35°代入上式，得：
∠C = ∠CBD - ∠A = 80° - 35° = 45°
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题考查三角形外角性质的基础应用，题目较为简单，只要熟练掌握三角形外角与内角的关系，就能快速计算出结果，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.8
