1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是边$BC$上的高，$AE$平分$\angle BAC$，$\angle B = 50^{\circ}$，$\angle C = 80^{\circ}$。
(1) 求$\angle DAC$的度数；
(2) 求$\angle AED$的度数。

(1) 在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-50^{\circ}-80^{\circ}=50^{\circ}$。
$AD$是$BC$上的高，$\angle ADC=90^{\circ}$，在$\triangle ADC$中，$\angle DAC=180^{\circ}-\angle ADC-\angle C=180^{\circ}-90^{\circ}-80^{\circ}=10^{\circ}$。
(2) $AE$平分$\angle BAC$，$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}×50^{\circ}=25^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle BAD=180^{\circ}-\angle ADB-\angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$。
$\angle DAE=\angle BAD-\angle BAE=40^{\circ}-25^{\circ}=15^{\circ}$。
在$\triangle ADE$中，$\angle AED=180^{\circ}-\angle ADE-\angle DAE=180^{\circ}-90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}$。
(1) $\angle DAC=10^{\circ}$；(2) $\angle AED=75^{\circ}$。

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$CD \perp AB$于点$D$，$DE // BC$交$AC$于点$E$，$EF \perp CD$于点$G$，交$BC$于点$F$。
(1) 判断$\angle ADE$与$\angle EFC$是否相等，并说明理由；
(2) 若$\angle ACB = 72^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，求$\angle DCB$的度数。

(1) 相等。
理由：
因为 $DE // BC$，
所以 $\angle ADE = \angle ABC$（两直线平行，同位角相等）。
因为 $CD \perp AB$，$EF \perp CD$，
所以 $AB // EF$（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
所以 $\angle EFC = \angle ABC$（两直线平行，同位角相等），
所以 $\angle ADE = \angle EFC$。
(2)
因为 $\angle ACB = 72^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，
在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 180^{\circ} - \angle A - \angle ACB = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 72^{\circ} = 48^{\circ}$。
因为 $CD \perp AB$，
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle DCB = 90^{\circ} - \angle ABC = 90^{\circ} - 48^{\circ} = 42^{\circ}$。
综上，$\angle DCB$的度数为$42^{\circ}$。

3. 在$\triangle ABC$中，$\angle B = 2\angle C$，$AE$平分$\angle BAC$。
(1) 如图(1)，若$AD \perp BC$于点$D$，$\angle C = 35^{\circ}$，求$\angle DAE$的大小；
(2) 如图(2)，若$EF \perp AE$交$AC$于点$F$，求证：$\angle C = 2\angle FEC$。

(1)
在$\triangle ABC$中，$\angle B = 2\angle C$，$\angle C = 35^{\circ}$，则$\angle B=70^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C=180^{\circ}-70^{\circ}-35^{\circ}=75^{\circ}$。
因为$AE$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC = 37.5^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle BAD = 90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
则$\angle DAE=\angle BAE-\angle BAD=37.5^{\circ}-20^{\circ}=17.5^{\circ}$。
(2)
因为$AE$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAE=\angle CAE$。
设$\angle C = x$，则$\angle B = 2x$，$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C=180^{\circ}-2x - x=180^{\circ}-3x$，$\angle CAE=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-3x)=90^{\circ}-\frac{3}{2}x$。
在$\triangle AEC$中，$\angle AEC = 180^{\circ}-\angle C-\angle CAE=180^{\circ}-x-(90^{\circ}-\frac{3}{2}x)=90^{\circ}+\frac{1}{2}x$。
因为$EF\perp AE$，所以$\angle AEF = 90^{\circ}$。
则$\angle FEC=\angle AEC-\angle AEF=(90^{\circ}+\frac{1}{2}x)-90^{\circ}=\frac{1}{2}x$。
所以$\angle C = 2\angle FEC$。
综上，答案为：(1)$17.5^{\circ}$；(2)证明过程如上述。