7. (2024昆明官渡区期末)数学实践是学习数学的重要途径. 某数学兴趣小组的同学们在学校操场上进行实地测量. 如图，在A处测得建筑物C在偏西57°的方向上，在B处测得建筑物C在南偏西20°的方向上，在建筑物C处测得A，B两处的视角∠C的度数为().

A.67°
B.57°
C.47°
D.37°

D

过A、B两点分别作正南方向射线AM、BN，由方向角定义知AM//BN（均为正南方向）。
∵C在A南偏西57°，∴∠MAC=57°；C在B南偏西20°，∴∠NBC=20°。
延长CB交AM于点D，∵AM//BN，∴∠ADB=∠NBC=20°（两直线平行，同位角相等）。
在△ACD中，∠MAC是外角，∴∠MAC=∠ADB+∠ACB（三角形外角等于不相邻两内角和）。
即57°=20°+∠ACB，解得∠ACB=37°。

8. 如图，在三角形纸片ABC中，∠A = 65°，∠B = 70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处. 若∠1 = 20°，则∠2的度数为().

A.80°
B.90°
C.100°
D.110°

D

在△ABC中，∠A=65°，∠B=70°，由三角形内角和定理得∠C=180°-65°-70°=45°。折叠后∠C'=∠C=45°，且∠CED=∠C'ED（折叠性质）。设∠CED=∠C'ED=β，∠CDE=∠C'DE=α，在△CDE中，α+β+∠C=180°，即α+β=135°。
E在BC上，∠BEC=180°，则∠DEB=180°-β。由∠1=20°及外角性质得∠C'ED=∠DEB+∠1，即β=(180°-β)+20°，解得β=100°，故α=135°-β=35°。
D在AC上，∠ADC=180°，∠CDC'=α+α=70°，则∠2=∠ADC-∠CDC'=180°-70°=110°。

9. 将一副三角尺按如图方式摆放，则∠ABE = °，∠ACD = °.

45；120

一副三角尺的角度分别为：含30°、60°、90°的三角尺和含45°、45°、90°的三角尺。由图可知，∠ABC=90°，∠EBD=45°，因为∠ABE+∠EBC=∠ABC=90°，∠EBC=∠EBD=45°（对顶角相等），所以∠ABE=90°-45°=45°；∠ACB=60°，∠ECD=30°，∠ACD是△ECD的外角，所以∠ACD=∠E+∠ECD=90°+30°=120°。

10. 如图，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线.
（1）求证：∠A = 2∠E；
（2）若∠A = ∠ABC，求证：AB // CE.

（1）证明：
∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=1/2∠ACD（角平分线定义）．
∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=1/2∠ABC（角平分线定义）．
∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC（三角形外角等于不相邻两内角和）．
∵∠ECD是△EBC的外角，∴∠ECD=∠E+∠EBC（三角形外角等于不相邻两内角和）．
∴1/2∠ACD=∠E+1/2∠ABC，即1/2(∠A+∠ABC)=∠E+1/2∠ABC．
化简得1/2∠A=∠E，∴∠A=2∠E．
（2）证明：
∵∠A=∠ABC，且∠A=2∠E（已证），∴∠ABC=2∠E．
∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∴∠E=∠EBC．
∵∠ECD=∠E+∠EBC（三角形外角等于不相邻两内角和），∴∠ECD=2∠EBC=∠ABC．
∵∠ABC=∠ECD（同位角相等），∴AB//CE（同位角相等，两直线平行）．

11. (推理能力)如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CD分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN.
（1）若∠BAC = 70°，求∠BOC的度数；
（2）探究∠BDC与∠A的数量关系.

（1）125°；（2）∠BDC=90°-1/2∠A。

（1）在△ABC中，∠BAC=70°，则∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°。
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠ACB)=55°。
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125°。
（2）∠CBM=180°-∠ABC，∠BCN=180°-∠ACB。
∵BD平分∠CBM，CD平分∠BCN，
∴∠DBC=1/2∠CBM=90°-1/2∠ABC，∠DCB=1/2∠BCN=90°-1/2∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=180°-1/2(∠ABC+∠ACB)。
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠DBC+∠DCB=180°-1/2(180°-∠A)=90°+1/2∠A，
∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=90°-1/2∠A。