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2. 如图5-4-1,已知直线 $ l_1: y = 3x + 1 $ 和直线 $ l_2: y = mx + n $ 交于点 $ P(1, b) $,则关于 $ x $,$ y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}y = 3x + 1,\\y = mx + n\end{cases} $ 的解是
$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=4\end{array}\right. $
。答案
$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=4\end{array}\right. $
3. 如图5-4-2,已知直线 $ y = 2x + 3 $ 与直线 $ y = -2x - 1 $ 相交于点 $ C $,与 $ y $ 轴相交于点 $ A $,直线 $ y = -2x - 1 $ 与 $ y $ 轴相交于点 $ B $,则 $ \triangle ABC $ 的面积是
2
。答案
2
解析
联立方程$\begin{cases}y = 2x + 3 \\ y = -2x - 1\end{cases}$，解得$x=-1$，$y=1$，所以点$C$的坐标为$(-1,1)$。
对于直线$y = 2x + 3$，令$x=0$，得$y=3$，所以点$A$的坐标为$(0,3)$。
对于直线$y = -2x - 1$，令$x=0$，得$y=-1$，所以点$B$的坐标为$(0,-1)$。
$AB$的长度为$|3 - (-1)| = 4$，点$C$到$y$轴的距离为$|-1| = 1$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2} × 4 × 1 = 2$。
2
对于直线$y = 2x + 3$，令$x=0$，得$y=3$，所以点$A$的坐标为$(0,3)$。
对于直线$y = -2x - 1$，令$x=0$，得$y=-1$，所以点$B$的坐标为$(0,-1)$。
$AB$的长度为$|3 - (-1)| = 4$，点$C$到$y$轴的距离为$|-1| = 1$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2} × 4 × 1 = 2$。
2
4. 方程组 $\begin{cases}x + y = 2,\\2x + 2y = 3\end{cases} $ 没有解,因此直线 $ y = -x + 2 $ 和直线 $ y = -x + \dfrac{3}{2} $ 在同一平面直角坐标系中的位置关系是
平行
。答案
平行
5. 已知一次函数 $ y_1 = -2x + 2 $ 与 $ y_2 = x - 4 $。
(1)在同一平面直角坐标系(图5-4-3)中分别画出它们的图象；
(2)直线 $ y_1 = -2x + 2 $,$ y_2 = x - 4 $ 与 $ y $ 轴分别交于点 $ A $,$ B $,请写出 $ A $,$ B $ 两点的坐标；
(3)根据图象,写出方程组 $\begin{cases}2x + y = 2,\\x - y = 4\end{cases} $ 的解。
(1)在同一平面直角坐标系(图5-4-3)中分别画出它们的图象；
(2)直线 $ y_1 = -2x + 2 $,$ y_2 = x - 4 $ 与 $ y $ 轴分别交于点 $ A $,$ B $,请写出 $ A $,$ B $ 两点的坐标；
(3)根据图象,写出方程组 $\begin{cases}2x + y = 2,\\x - y = 4\end{cases} $ 的解。
答案
解：
(1)列表如答表5-4-1，
答表5-4-1
$x$ … -1 0 1 2 …
$y_{1}=-2x+2$ … 4 2 0 -2 …
$y_{2}=x-4$ … -5 -4 -3 -2 …
描点，连线如答图5-4-1，
(2)当$x=0$时，$y_{1}=2$，$y_{2}=-4$，
所以$A(0,2)$，$B(0,-4)$。
(3)根据题图可知，方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x+y=2,\\ x-y=4\end{array}\right. $的解为$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-2\end{array}\right. $。
6. 如
(1)求点 $ A $ 的坐标和直线 $ l_1 $ 对应的函数表达式。
(2)在直线 $ l_2 $ 上是否存在一点 $ P $,使得 $ S_{\triangle OCP} = 2S_{\triangle AOC} $？若存在,请求出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由。
图
5-4-4,在平面直角坐标系中,直线 $ l_1: y = kx + b(k \neq 0) $ 与直线 $ l_2: y = 3x $ 交于点 $ A(1, a) $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,与 $ x $ 轴交于点 $ C\left(\dfrac{5}{2}, 0\right) $。(1)求点 $ A $ 的坐标和直线 $ l_1 $ 对应的函数表达式。
(2)在直线 $ l_2 $ 上是否存在一点 $ P $,使得 $ S_{\triangle OCP} = 2S_{\triangle AOC} $？若存在,请求出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由。
答案
解：
(1)将点$A(1,a)$的坐标代入$y=3x$，得$a=3$，所以点$A$的坐标为$(1,3)$。
将点$A(1,3)$，$C\left( \dfrac{5}{2},0 \right)$的坐标分别代入$y=kx+b$，得$\left\{\begin{array}{l} k+b=3,\\ \dfrac{5}{2}k+b=0\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-2,\\ b=5,\end{array}\right. $
所以直线$l_{1}$对应的函数表达式为$y=-2x+5$。
(2)存在。
由题意知$S_{\triangle AOC}=\dfrac{1}{2}× \dfrac{5}{2}× 3=\dfrac{15}{4}$。
设点$P$的坐标为$(m,3m)$，
则$S_{\triangle OCP}=\dfrac{1}{2}× \dfrac{5}{2}× |3m|=2× \dfrac{15}{4}=\dfrac{15}{2}$，
解得$m=2$或$m=-2$。
所以点$P$的坐标为$(2,6)$或$(-2,-6)$。
(1)将点$A(1,a)$的坐标代入$y=3x$，得$a=3$，所以点$A$的坐标为$(1,3)$。
将点$A(1,3)$，$C\left( \dfrac{5}{2},0 \right)$的坐标分别代入$y=kx+b$，得$\left\{\begin{array}{l} k+b=3,\\ \dfrac{5}{2}k+b=0\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-2,\\ b=5,\end{array}\right. $
所以直线$l_{1}$对应的函数表达式为$y=-2x+5$。
(2)存在。
由题意知$S_{\triangle AOC}=\dfrac{1}{2}× \dfrac{5}{2}× 3=\dfrac{15}{4}$。
设点$P$的坐标为$(m,3m)$，
则$S_{\triangle OCP}=\dfrac{1}{2}× \dfrac{5}{2}× |3m|=2× \dfrac{15}{4}=\dfrac{15}{2}$，
解得$m=2$或$m=-2$。
所以点$P$的坐标为$(2,6)$或$(-2,-6)$。
