4. 如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,且 AB = AC = 4√{5},BC = 8. 求⊙O 的直径.

4.解:过点A作AD⊥BC于点D,
∵AB=AC,
∴BD=CD.
又
∵AD⊥BC于点D,
∴AD过圆心O.
连接BO,设半径AO=BO=x,OD=y,
则{x²=y²+4²,
(4√5)²=4²+(x+y)².
解得x=5,y=3.
∴⊙O的直径为10.

5. 小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树 A,B,C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.
(1) 请你帮小明把花坛的位置画出来. (尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2) 若在△ABC 中,AB = 8 m,AC = 6 m,∠A = 90°,试求小明家圆形花坛的面积.

5.解:
(1)用尺规作出两边的垂直平分线,以两条垂直平分线的交点O为圆心,点O到点A(或点B或点C)的距离为半径作出的⊙O即为所求作的花坛的位置.(图略)
(2)
∵∠A=90°,AB=8 m,AC=6 m,
∴BC=10 m,
∴△ABC外接圆的半径为5 m,
∴小明家圆形花坛的面积为25π m².

6. 联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心. 例：已知 PA = PB,则点 P 为△ABC 的准外心(如图①).
(1) 如图②,CD 为等边三角形 ABC 的高,准外心 P 在高 CD 上,且$ PD = \frac{1}{2}AB,$求∠APB 的度数.
(2) 如图③,若△ABC 为直角三角形,∠C = 90°,AB = 13,BC = 5,准外心 P 在 AC 边上,试探究 PA 的长.

6.解:
(1)①若PB=PC,则∠PCB=∠PBC.
∵CD为等边三角形的高,
∴AD=BD,∠PCB=30°,
∴∠PBD=∠PBC=30°,
∴PD=tan∠PBD·DB=√3/3 DB=√3/6 AB.
与已知PD=1/2 AB矛盾,故PB≠PC.
由对称性可得PA≠PC.
②若PA=PB,由PD=1/2 AB,得PD=BD,
∴∠BPD=45°,故∠APB=90°.
(2)①若PB=PA,设PA=x,
∵∠C=90°,AB=13,BC=5,
∴AC=12,则CP=12-x,
∴x²=(12-x)²+5²,
解得x=169/24,即PA=169/24.
②若PA=PC,则PA=6.
③若PC=PB,由图知,在Rt△PBC中,不可能.
故PA=169/24或6.