1. (★)王英同学从$A地沿北偏西60^{\circ}方向走100m到B$地,再从$B地向正南方向走200m到C$地,此时王英同学离$A$地【】
A.$50\sqrt{3}m$
B.$100m$
C.$150m$
D.$100\sqrt{3}m$

D

以A为原点，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立坐标系。
A到B：北偏西60°，100m。B点坐标：
向西（x轴负方向）：$100\sin60° = 50\sqrt{3}$ m，
向北（y轴正方向）：$100\cos60° = 50$ m，
故B(-50√3, 50)。
B到C：正南200m，C点y坐标：$50 - 200 = -150$ m，x坐标不变，故C(-50√3, -150)。
A(0,0)到C的距离：
$AC = \sqrt{(-50\sqrt{3} - 0)^2 + (-150 - 0)^2} = \sqrt{(50\sqrt{3})^2 + 150^2} = \sqrt{7500 + 22500} = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3}$ m。

2. (★)如图28.2 - 22,机器人从点$A沿着西南方向行走了4\sqrt{2}$个单位长度,到达点$B后观察到原点O在它的南偏东60^{\circ}$的方向上,则原来点$A$的坐标为(结果保留根号)。

$(0, 4 + \frac{4\sqrt{3}}{3})$

设点$A$的坐标为$(x,y)$。
1. 机器人沿西南方向行走$4\sqrt{2}$个单位到点$B$，西南方向即南偏西$45^{\circ}$，水平和垂直位移均为$4$（由勾股定理得：$a^2 + a^2 = (4\sqrt{2})^2$，解得$a=4$），故$B$点坐标为$(x - 4, y - 4)$。
2. 点$B$观察原点$O$在南偏东$60^{\circ}$方向，即$OB$与正南方向夹角$60^{\circ}$，则$\tan60^{\circ}=\frac{|-m|}{n}=\sqrt{3}$（$m=x-4$，$n=y-4$，$m＜0$，$n＞0$），得$-m = n\sqrt{3}$，即$x - 4 = -(y - 4)\sqrt{3}$。
3. 由图知$A$在$y$轴上（$x=0$），代入得$-4 = -(y - 4)\sqrt{3}$，解得$y = 4 + \frac{4\sqrt{3}}{3}$。

3. (★)某时刻海上点$P$处有一客轮,测得灯塔$A位于点P的北偏东30^{\circ}$方向,且相距$20$海里。客轮以$60$海里/时的速度沿北偏西$60^{\circ}方向航行\frac{2}{3}小时到达B$处,那么$\tan\angle ABP$的值为【】
A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

A

根据题意，客轮从点P沿北偏西60°方向航行，速度60海里/时，时间2/3小时，所以PB=60×(2/3)=40海里。灯塔A在P北偏东30°方向，PA=20海里。由于北偏东30°与北偏西60°方向夹角为30°+60°=90°，即∠APB=90°。在Rt△APB中，∠APB=90°，PA=20海里，PB=40海里，∠ABP的对边为AP，邻边为BP，故tan∠ABP=AP/PB=20/40=1/2。

4. (★)(2023·眉山)如图28.2 - 23,一渔船在海上$A处测得灯塔C在它的北偏东60^{\circ}$方向,渔船向正东方向航行$12海里到达点B$处,测得灯塔$C在它的北偏东45^{\circ}$方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔$C$的最短距离是海里。

$6\sqrt{3} + 6$

设渔船与灯塔C的最短距离为$CD = x$海里（$CD\perp AB$，垂足为D）。在$Rt\triangle ACD$中，$\angle CAD = 30°$，则$AD = \frac{x}{\tan30°} = x\sqrt{3}$。在$Rt\triangle BCD$中，$\angle CBD = 45°$，则$BD = x$。由$AD = AB + BD$得$x\sqrt{3} = 12 + x$，解得$x = 6(\sqrt{3} + 1)$。

5. (★)如图28.2 - 24,在某监测点$B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15^{\circ}方向的A$处,若渔船沿北偏西$75^{\circ}方向以40$海里/时的速度航行,航行半小时后到达$C$处,在$C处观测到监测点B在C的北偏东60^{\circ}$方向上,则$B$,$C$之间的距离为【】

A.$20$海里
B.$10\sqrt{3}$海里
C.$20\sqrt{2}$海里
D.$30$海里

C

由题意，渔船航行速度40海里/时，半小时后到达C处，故AC=40×0.5=20海里。
在B处看A为南偏西15°，则A处看B为北偏东15°；渔船从A沿北偏西75°航行至C，故∠BAC=15°+75°=90°。
在C处看B为北偏东60°，A到C为北偏西75°，则C处CA方向为南偏东75°，CB方向为北偏东60°。过C作南北方向线CN，∠NCA=180°-75°=105°，∠NCB=60°，故∠ACB=∠NCA-∠NCB=105°-60°=45°。
在△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，由正弦定理：AC/sin∠ABC=BC/sin∠BAC。∠ABC=45°，AC=20海里，sin45°=√2/2，sin90°=1，得BC=20/(√2/2)=20√2海里。

6. (★★)如图28.2 - 25,一艘船由$A港沿北偏东65^{\circ}方向航行30\sqrt{2}km至B$港,然后再沿北偏西$40^{\circ}方向航行至C$港,$C港在A港北偏东20^{\circ}$方向,则$A$,$C$两港之间的距离为$km$。

30+10√3

由题意得，∠BAC=65°-20°=45°，∠ABC=75°，则∠ACB=60°。过B作BD⊥AC于D，在Rt△ABD中，AD=BD=AB·sin45°=30√2×(√2/2)=30。在Rt△CBD中，∠CBD=30°，CD=BD·tan30°=30×(√3/3)=10√3。故AC=AD+CD=30+10√3。