7. (★★)如图28.2 - 26,台风中心位于点$P$,并沿东北方向$PQ$移动,已知台风移动的速度为$30$千米/时,受影响区域的半径为$200$千米,$B市位于点P的北偏东75^{\circ}$方向上,与点$P相距320$千米处。
(1) 判断本次台风是否会影响$B$市；
(2) 求这次台风影响$B$市的时间。

(1) 由题意，PQ为东北方向（北偏东45°），B市在P北偏东75°方向，故∠BPQ=75°-45°=30°。过B作BC⊥PQ于C，BC=PB·sin∠BPQ=320·sin30°=320×0.5=160千米。∵160＜200，∴本次台风会影响B市。
(2) 以B为圆心，200千米为半径作圆交PQ于M、N，BC=160千米。在Rt△BMC中，MC=√(200²-160²)=√14400=120千米，MN=2MC=240千米。影响时间t=240÷30=8小时。
答：(1) 会影响；(2) 8小时。

8. (★)一艘轮船由海平面上的$A地出发向南偏西40^{\circ}的方向行驶40海里到达B$地,再由$B地向北偏西20^{\circ}方向行驶40海里到达C$地,则$A$,$C$两地相距【】
A.$30$海里
B.$40$海里
C.$50$海里
D.$60$海里

B

根据题意，轮船从A到B南偏西40°，则B相对于A的方向为北偏东40°；从B到C北偏西20°，故BA方向（北偏东40°）与BC方向（北偏西20°）的夹角∠ABC=40°+20°=60°。已知AB=40海里，BC=40海里，所以△ABC中AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC为等边三角形，因此AC=AB=40海里。

9. (★★)某段笔直的限速公路上,规定汽车的最高行驶速度不能超过$60km/h$(即$\frac{50}{3}m/s$)。交通管理部门在离该公路$100m处设置了一速度监测点A$,在如图28.2 - 27的坐标系中,点$A位于y$轴上,测速路段$BC在x$轴上,点$B在点A的北偏西60^{\circ}$方向上,点$C在点A的北偏东45^{\circ}$方向上。
(1) 请在图中画出表示北偏东$45^{\circ}方向的射线AC$,并标出点$C$的位置；
(2) 点$B$的坐标为__________,点$C$的坐标为__________；
(3) 一辆汽车从点$B行驶到点C所用的时间为15s$,请通过计算判断该汽车在限速公路上是否超速行驶。(参考数据：$\sqrt{3}\approx1.7$)

(1) 如图所示

(2) $(-100\sqrt{3},0)$；$(100,0)$
(3) 解：由题意得，$OA=100\ m$
在$Rt\triangle AOB$中，$\tan60^{\circ}=\frac{OB}{OA}$
$\therefore OB=OA·\tan60^{\circ}=100\sqrt{3}\ m$
在$Rt\triangle AOC$中，$\tan45^{\circ}=\frac{OC}{OA}$
$\therefore OC=OA·\tan45^{\circ}=100×1=100\ m$
$\therefore BC=OB+OC=100\sqrt{3}+100\approx100×1.7+100=270\ m$
汽车速度$v=\frac{BC}{t}=\frac{270}{15}=18\ m/s$
$\because\frac{50}{3}\approx16.67\ m/s$，$18＞\frac{50}{3}$
$\therefore$该汽车超速行驶。