2. 阅读背景材料,解决问题.
用硬纸板制作无盖纸盒
背景 在一次劳动课上,老师准备了一些长为80 cm,宽为40 cm的长方形硬纸板(如图①),准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒(接头处忽略不计).
第2题图①
素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法,例如:求$-2x^{2}+4x+3$的最大值,过程如下:
$\because -2x^{2}+4x+3=-2(x^{2}-2x+1)+3+2=-2(x-1)^{2}+5,$
$\therefore$当$x=1$时,$-2x^{2}+4x+3$有最大值5.
方案1 如图②,甲活动小组将纸板均分为左右两块,每一块都在四个直角处裁掉四个边长为$x$ cm的正方形,再沿虚线折起来,其中一个纸盒的底面是正方形ABCD.

第2题图②
方案2 如图③,乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为$x$ cm的正方形,再在中间裁掉一块正方形BCFE,分别沿着虚线折起来,其中一个纸盒的底面是矩形ABCD.
第2题图③
任务1 在方案1中,制作的每个无盖纸盒的底面积为________$\mathrm{cm}^2$(用含$x$的代数式表示),并判断底面积能否达到$900\ \mathrm{cm}^2$.
任务2 在方案2中,求制作无盖纸盒的底面AB边的长.
任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等,请比较两种纸盒体积的大小.
任务4 利用配方法求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值.

$(40 - 2x)^2$ ; 解​$：$​任务​$2：$​根据题意，得​$AB=\frac {1}{2}[80−2x−(40−2x)]=\frac {1}{2}×(80−2x−40+2x)=\frac {1}{2}×40=20(\mathrm {cm}). $​任务​$3：$​因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，所以底面积大的方案的纸盒的体积就大. 由任务​$1$​可知方案​$1$​中纸盒的底面积为​$(40−2x)²\mathrm {cm}². $​由任务​$2$​可知方案​$2$​中纸盒的底面积为​$20(40−2x)\mathrm {cm}².$​根据题意，得​$\begin {cases}{40−2x＞0，}\\{x＞0}\end {cases}$​故​$0＜x＜20. $​当​$(40−2x)²＞20(40−2x)$​时​$，$​解得​$0＜x＜10； $​当​$(40−2x)²=20(40−2x)$​时​$，$​解得​$x=10； $​当​$(40−2x)²＜20(40−2x)$​时​$，$​解得​$10＜x＜20. $​故当​$0＜x＜10$​时，方案​$1$​的纸盒体积大​$；$​当​$x=10$​时，方案​$1$​与方案​$2$​的纸盒体积一样大​$；$​当​$10＜x＜20$​时，方案​$2$​的纸盒体积大​$. $​任务​$4：$​方案​$2$​中单个无盖纸盒的体积为​$20(40−2x)x=−40x²+800x=−40(x−10)²+4000， $​当​$x=10$​时，单个无盖纸盒体积的最大值为​$4000\ \mathrm {cm}².$​