一、选择题（每小题5分，共25分）

1. (2024·北京)若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 4x + c = 0$有两个相等的实数根，则实数$c$的值为（ ）
A. $-16$
B. $-4$
C. $4$
D. $16$

C

2.若$a+b+c=0$,则一元二次方程$ax^2 - bx + c = 0(a≠0)$必有一个根是 （ ）
A. 0
B. 1
C. $-1$
D. $a$

C

3.(2024·河北)淇淇在计算正数$a$的平方时,误算成$a$与2的积,求得的答案比正确答案小1,则$a=$（ ）
A. $1$
B. $\sqrt{2}-1$
C. $\sqrt{2}+1$
D. $1$或$\sqrt{2}+1$

C

4.若一个菱形的两条对角线长分别是关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 10x + m = 0 $的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 （ ）
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{14}$
D.$2\sqrt{14}$

C

5. 关于 $ x $ 的方程 $ \frac{x^2}{2} + (m+1)x + m^2 + m + 1 = 0 $ 的根的情况是 （ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定

C

二、填空题（每小题5分，共15分）

6.(2024·乐山改编)若关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$的两根为$x_1,x_2$，且$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$，则$p$的值为______．

$-\frac{2}{3}$

7.若关于 $ x $ 的一元二次方程 $(k - 1)x^2 + x + 1 = 0$ 有实数根，则 $ k $ 的最大整数值是 ______．

0

8.(2024·凉山州)已知$y^2 - x = 0$，$x^2 - 3y^2 + x - 3 = 0$，则$x$的值为______．

3

三、解答题(共 60 分)
9.(16分)解下列方程:
(1)$9x^2 + 6x + 1 = 0$;
(2)$x(x + 8) = 25$;
(3)$2x^2 - 3x + 5 = 0$;
(4)$(x - 3)^2 + 2x(x - 3) = 0$.

解：对于方程$9x^{2}+6x + 1 = 0，$ 因为$9x^{2}+6x + 1=(3x + 1)^{2}，$ 所以$(3x + 1)^{2}=0，$ 则$3x+1 = 0，$ 解得$x_{1}=x_{2}=-\frac{1}{3}。$ ; 解：对于方程$x(x + 8)=25，$ 将其化为一般形式为$x^{2}+8x - 25 = 0，$ 其中$a = 1，$$b = 8，$$c=-25，$ 根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，$ 可得$x=\frac{-8\pm\sqrt{8^{2}-4×1×(-25)}}{2×1}=\frac{-8\pm\sqrt{64 + 100}}{2}=\frac{-8\pm\sqrt{164}}{2}=\frac{-8\pm2\sqrt{41}}{2}=-4\pm\sqrt{41}，$ 所以$x_{1}=\sqrt{41}-4，$$x_{2}=-\sqrt{41}-4。$ ; 解：对于方程​$2x^2-3x + 5 = 0，$​​$ $​其中​$a = 2，$​​$b=-3，$​​$c = 5，$​​$ ∆=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×5=9 - 40$​​$=-31<0，$​ 所以该方程无实数解。 ; 解：对于方程$(x - 3)^{2}+2x(x - 3)=0，$ 提取公因式$(x - 3)$得$(x - 3)(x - 3 + 2x)=0，$ 即$(x - 3)(3x - 3)=0，$ 则$x - 3 = 0$或$3x - 3 = 0，$ 当$x - 3 = 0$时，$x = 3；$ 当$3x - 3 = 0$时，$3x=3，$$x = 1，$ 所以$x_{1}=3，$$x_{2}=1。$