10.(10分)已知一元二次方程$ax^2+bx+2=0(a＜0)$.
(1)求证:该方程总有两个不相等的实数根;
(2)设该方程两个不相等的实数根分别为$x_1,x_2$,且$x_2=-2x_1$,求证:$a+b^2=0$.

证明：​$(1)$​∵​$b^2-4a×2=b^2-8a，$​​$a<0，$​ ∴​$b^2-8a>0，$​ ∴该方程总有两个不相等的实数根。​$ (2)$​∵​$x_{1}，$​​$x_{2}$​是方程​$ax^2+bx + 2 = 0(a<0)$​的两根， ∴​$x_{1}+x_{2}=-\frac {b}{a}，$​​$x_{1}x_{2}=\frac {2}{a}。$​ ∵​$x_{2}=-2x_{1}，$​∴​$x_{1}+(-2x_{1})=-\frac {b}{a}，$​​$x_{1}(-2x_{1})=\frac {2}{a}，$​​$ $​即​$x_{1}=\frac {b}{a}，$​​$x_{1}^2=-\frac {1}{a}，$​ ∴​$(\frac {b}{a})^2=-\frac {1}{a}，$​即​$a + b^2=0。$​

11.(10分)某农户为了提高经济收入,购买了33 m的铁栅栏,准备用这些铁栅栏靠墙(墙长15 m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示).
(1)若要建的矩形养鸡场面积为90 m²,求养鸡场的长(AB)和宽(BC);
(2)该农户想要建一个100 m²的矩形养鸡场,这一想法能实现吗?请说明理由.

解：​$(1)$​设​$BC=x\ \mathrm {m}，$​则​$AB=(33 - 3x)\ \mathrm {m}，$​ 根据题意，得​$x(33 - 3x)=90，$​​$ $​整理得​$3x^2-33x + 90 = 0，$​即​$x^2-11x + 30 = 0，$​​$ $​因式分解得​$(x - 5)(x - 6)=0，$​​$ $​则​$x - 5 = 0$​或​$x - 6 = 0，$​​$ $​解得​$x_{1}=5，$​​$x_{2}=6。$​​$ $​当​$x = 6$​时，​$33 - 3x=33 - 3×6 = 15，$​符合题意。​$ $​当​$x = 5$​时，​$33 - 3x=33 - 3×5 = 18，$​​$18>15，$​不合题意，舍去。 答：养鸡场的长​$(\mathrm {AB})$​为​$15\ \mathrm {m}，$​宽​$(\mathrm {BC})$​为​$6\ \mathrm {m}。$​​$ (2)$​不能。理由如下：​$ $​设​$BC=y\ \mathrm {m}，$​则​$AB=(33 - 3y)\ \mathrm {m}，$​ 根据题意，得​$y(33 - 3y)=100，$​ 整理，得​$3y^2-33y + 100 = 0。$​ ∵​$b^2-4ac=(-33)^2-4×3×100=-111<0，$​ ∴该方程无实数解，即该农户不能建成一个​$100\ \mathrm {m^2}$​的矩形养鸡场。

12.(12分)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件,每件的利润为6元,每提高一个档次,每件的利润增加2元,但一天产量减少5件.若生产的产品一天的总利润为1120元,且同一天所生产的产品为同一档次,求该产品的质量档次.

解：设该产品的质量档次是第$x$档次，则每天的产量为$[95 - 5(x - 1)]$件，每件的利润是$[6 + 2(x - 1)]$元， 根据题意，得$[6 + 2(x - 1)][95 - 5(x - 1)]=1120，$ 展开括号得$(6 + 2x - 2)(95 - 5x + 5)=1120，$ 即$(4 + 2x)(100 - 5x)=1120，$ $400-20x + 200x-10x^{2}=1120，$ 整理得$x^{2}-18x + 72 = 0，$ 因式分解得$(x - 6)(x - 12)=0，$ 则$x - 6 = 0$或$x - 12 = 0，$ 解得$x_{1}=6，$$x_{2}=12。$ 因为档次为$1 - 10$档，所以舍去$x_{2}=12。$ 答：该产品的质量档次为第$6$档次。

13.(12分)已知关于$x$的方程$mx^2+(4m-2)x+4m-4=0$($m$为常数,且$m≠0$).
(1)求证:方程总有实数根.
(2)若该方程有两个实数根.
①不论$m$取何实数,该方程总有一个不变的实数根为______;
②若$m$为整数,且方程的两个实数根都是整数,求$m$的值.

$-2$ ; 证明​$：(1)$​∵​$m≠0，$​∴方程为一元二次方程 ∵​$b²−4ac=(4m−2)²−4m(4m−4)=4＞0， $​∴方程总有实数根.​$(2)②$​∵​$x=\frac {−(4m−2)±2}{2m}$​∴​$x_{1}=−2，x_{2}=−2+\frac {2}{m}.$​∵当​$m=±1$​或​$m=±2$​时​$，−2+\frac {2}{m}$​为整数， ∴​$m $​的值为​$±1，±2$​时，方程的两个实数根都是整数.