专题(3) 一元二次方程 综合与实践
1.综合与实践
| | 制定某品牌新能源汽车的销售方案 |
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| 背景 | 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少汽车尾气的排放，从而达到保护环境的目的.在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升. |
| 素材1 | 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月增加，3月份的销售量达到5.07万辆. |
| 素材2 | 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量. |
| 素材3 | 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周能售出8辆；售价每降低0.5万元/辆，平均每周能多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元. |
| | 问题解决 |
| 任务1 | 求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率. |
| 任务2 | 若按此月平均增长率，从几月份开始，该品牌新能源汽车销售量会超过1月份销售量的两倍. |
| 任务3 | 根据素材3，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价. |
图1

解：任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为$x，$ 根据题意，得$3(1 + x)^2 = 5.07，$ $(1 + x)^2 = 1.69，$ $1 + x=\pm1.3，$ 解得$x_1 = 0.3 = 30\%，$$x_2 = - 2.3$（不符合题意，舍去）. 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为$30\%.$ 任务2：根据题意，得4月份的销售量是$5.07×(1 + 30\%) = 6.591$（万辆）. $∵6.591＞3×2，$ $∴$从4月份开始，该品牌新能源汽车销售量会超过1月份销售量的两倍. 任务3：设下调后每辆汽车的售价为$y$万元， 根据题意，得$(y - 15)(8+\frac{25 - y}{0.5}) = 96，$ 展开括号得$(y - 15)(8 + 50 - 2y)=96，$ $(y - 15)(58 - 2y)=96，$ $58y-2y^{2}-870 + 30y = 96，$ 整理，得$y^{2}-44y + 483 = 0，$ 对于一元二次方程$y^{2}-44y + 483 = 0，$其中$a = 1，$$b=-44，$$c = 483，$ $∆=b^{2}-4ac=(-44)^{2}-4×1×483=1936 - 1932 = 4，$ $y=\frac{-b\pm\sqrt{∆}}{2a}=\frac{44\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{44\pm2}{2}，$ 解得$y_1 = 21，$$y_2 = 23.$ 又$∵$要尽量让利于顾客， $∴y = 21.$ 答：下调后每辆汽车的售价为​$21$​万元​$.$​