5.(2024·崇川区月考)小明大学毕业后和同学创业,合伙开了一家网店,在暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫.已知每件T恤衫的成本价为60元,当销售价为100元时,每天能售出20件;经过一段时间销售发现,当销售价每降低1元时,每天就能多售出2件.
(1)若降价8元,则每天销售T恤衫的利润为多少元?
(2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大,则每件T恤衫的销售价应该定为多少元?
(3)为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%,小明能否每天获得1200元的利润?若能,求出定价;若不能,请说明理由.$(利润率=\frac{利润}{成本}×100\%)$

解：​$(1)(100 - 8 - 60)(20 + 2×8)=1152($​元​$).$​ 答：若降价​$8$​元，则每天销售​$T$​恤衫的利润为​$1152$​元​$.$​​$ (2)$​设每件​$T$​恤衫降价​$x$​元， 根据题意，得​$(100 - x - 60)(20 + 2x)=1050，$​解得​$x₁ = 5，$​​$x₂ = 25.$​又∵优惠最大， ∴​$x = 25，$​​$ $​则​$100 - 25 = 75($​元​$).$​ 答：每件​$T$​恤衫的销售价应该定为​$75$​元​$.$​​$ (3)$​小明不能每天获得​$1200$​元的利润，理由如下：​$ $​设每件​$T$​恤衫降价​$y$​元，根据题意，​$ $​得​$(100 - y - 60)(20 + 2y)=1200，$​​$ $​解得​$y₁ = 10，$​​$y₂ = 20.$​ ∵每件​$T$​恤衫的利润率不低于​$55\%，$​ ∴​$100 - y - 60≥60×55\%，$​ ∴​$y≤7，$​ ∴小明不能每天获得​$1200$​元的利润​$.$​

6. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=6$,$BC=4$,点$P$从点$A$出发,以每秒2个单位长度的速度沿$AB$向终点$B$运动,同时点$Q$从点$B$出发,以每秒1个单位长度的速度沿$BC$向终点$C$运动,设点$P,Q$的运动时间为$t$秒,连接$PQ$,当$△ PBQ$的面积为$\frac{3}{2}$时,$t$的值为 （ ）
A. $\frac{3+\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{3-\sqrt{6}}{2}$
C. $\frac{3+\sqrt{3}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{3+\sqrt{6}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{6}}{2}$

C

7.(2023·吴中区期中)如图,在矩形ABCD中,BC=20 cm,点P,Q,M,N分别从点A,B,C,D出发,沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=x cm(x≠0),则AP=2x cm,CM=3x cm,DN=x² cm.
(1)当x为何值时,点P,N重合?
(2)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形?

解：​$(1)$​∵点​$P，$​​$N$​重合， ∴​$2x + x² = 20，$​​$ $​解得​$x₁ = \sqrt {21}-1，$​​$x₂ = -\sqrt {21}-1($​舍去​$)，$​ ∴当​$x = \sqrt {21}-1$​时，点​$P，$​​$N$​重合​$.$​​$ (2)$​∵当点​$N$​到达点​$A$​时，​$x = 2\sqrt {5}，$​此时点​$M$​和点​$Q $​还未相遇， ∴点​$Q $​只能在点​$M$​的左侧​$.$​​$ ①$​当点​$P $​在点​$N$​的左侧时，根据题意，得​$ 20 - (x + 3x)=20 - (2x + x²)，$​​$ $​解得​$x₁ = 0($​舍去​$)，$​​$x₂ = 2.$​ ∴当​$x = 2$​时，四边形​$PQMN$​是平行四边形​$.$​​$ ②$​当点​$P $​在点​$N$​的右侧时，根据题意，得​$ 20 - (x + 3x)=(2x + x²) - 20，$​​$ $​解得​$x₁ = - 10($​舍去​$)，$​​$x₂ = 4，$​ ∴当​$x = 4$​时，四边形​$NQMP $​是平行四边形​$.$​ 综上，当​$x = 2$​或​$x = 4$​时，以​$P，$​​$Q，$​​$M，$​​$N$​为顶点的四边形是平行四边形​$.$​