13. 求下列各式中实数 $ x $ 的值:
(1) $ 3(x - 1)^{2} - 75 = 0 $;
(2) $ \frac{1}{2}(x + 3)^{3} = 4 $.

解:(1)∵3(x−1)²−75=0,
　　∴(x−1)²=25.∴x−1=±5.
　　∴x=1+5=6或x=1−5=−4.
　　∴x=6或−4.
　(2)$\frac{1}{2}(x + 3)^3 = 4$.
　　∴(x + 3)^3 = 8.∴x + 3 = 2.∴x = -1.

14. 解方程组: $ \begin{cases} x + y = -1, \\ 3x - y = 5. \end{cases} $

解:$\begin{cases}x + y = -1, ①\\3x - y = 5, ②\end{cases}$
　① + ②,得4x = 4,∴x = 1.
　把x = 1代入①,得1 + y = -1.
　　∴y = -2.
　　∴这个方程组的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = -2.\end{cases}$

15. 解不等式组 $ \begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{1 - 3x}{4} \leq 1, \\ 2x + 1 ＜ 3, \end{cases} $ 并把解集在数轴上表示出来.

解:$\begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{1 - 3x}{4} \leq 1, ①\\2x + 1 ＜ 3, ②\end{cases}$
　解不等式①,得x ≥ -3,
　解不等式②,得x ＜ 1,
　　∴不等式组的解集为 -3 ≤ x ＜ 1.
　在数轴上表示如下:
　　　　　　　　　　　　　

16. 数学家高斯推动了数学科学的发展,被数学界誉为“数学王子”. 据传,他在计算 $ 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 $时,用到了一种方法,将首尾两个数相加,进而得到 $ 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 = \frac{100 × (1 + 100)}{2} $. 人们借助这样的方法,得到 $ 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = \frac{n(1 + n)}{2} $ ( $ n $ 是正整数).
如图所示,在平面直角坐标系中的一系列格点 $ A_{i}(x_{i},y_{i}) $,其中 $ i = 1,2,3,…, n,… $,且 $ x_{i},y_{i} $ 是整数. 记 $ a_{n} = x_{n} + y_{n} $,如 $ A_{1}(0,0) $,即 $ a_{1} = 0,A_{2}(1,0) $,即 $ a_{2} = 1,A_{3}(1,-1) $,即 $ a_{3} = 0,… $,以此类推,则下列结论正确的是 ()

A.$ a_{2023} = 40 $
B.$ a_{2024} = 43 $
C.$ a_{(2n - 1)^{2}} = 2n - 6 $
D.$ a_{(2n - 1)^{2}} = 2n - 4 $

B