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17. 如图所示,线段 $ AB $ 和直线 $ AD $ 交于点 $ A $. $ C $ 为 $ AD $ 上一点(不与点 $ A,D $ 重合). 过点 $ C $ 在 $ BC $ 的右侧作射线 $ CE \perp BC $,过点 $ D $ 作直线 $ DF // AB $,交 $ CE $ 于点 $ G(G $ 与 $ D $ 不重合).
(1) 如图所示,若点 $ C $ 在线段 $ AD $ 上,且 $ \angle BCA $ 为钝角.
① 按要求补全图形;
② 判断 $ \angle B $ 与 $ \angle CGD $ 的数量关系,并证明.
(2) 若点 $ C $ 在线段 $ DA $ 的延长线上,请直接写出 $ \angle B $ 与 $ \angle CGD $ 的数量关系.
(1) 如图所示,若点 $ C $ 在线段 $ AD $ 上,且 $ \angle BCA $ 为钝角.
① 按要求补全图形;
② 判断 $ \angle B $ 与 $ \angle CGD $ 的数量关系,并证明.
(2) 若点 $ C $ 在线段 $ DA $ 的延长线上,请直接写出 $ \angle B $ 与 $ \angle CGD $ 的数量关系.
答案
解:(1)①补全图形如图所示.
②判断:∠CGD - ∠B = 90°.
证明:如图所示，过点C作CH//AB，
∴∠1 = ∠B(两直线平行,内错角相等).
∵AB//DF(已知)，
∴CH//DF(平行于同一直线的两直线平行).
∴∠CGD + ∠HCG = 180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵CE⊥BC(已知)，
∴∠1 + ∠HCG = 90°(垂直的定义).
∴∠HCG = 90° - ∠1 = 90° - ∠B.
∴∠CGD + (90° - ∠B) = 180°,即∠CGD - ∠B = 90°.
(2)∠CGD + ∠B = 90°.
18. 某家具店经销 $ \mathrm{A},\mathrm{B} $ 两种品牌的儿童床,已知每张 $ \mathrm{A} $ 品牌儿童床的售价为 4200 元,利润率为 $ 20\% $,每张 $ \mathrm{B} $ 品牌儿童床的成本价为 4200 元,而每张 $ \mathrm{B} $ 品牌儿童床的售价在成本的基础上增加了 $ \frac{1}{4} $.
(1) 该店销售记录显示,四月份销售 $ \mathrm{A},\mathrm{B} $ 两种儿童床共 20 张,且销售 $ \mathrm{A} $ 品牌儿童床的总利润与 $ \mathrm{B} $ 品牌儿童床的总利润相同,求该店四月份售出 $ \mathrm{A},\mathrm{B} $ 两种品牌的儿童床的数量.
(2) 根据市场调研,该店五月份计划购进这两种儿童床共 30 张,要求购进 $ \mathrm{B} $ 品牌儿童床的张数不低于 $ \mathrm{A} $ 品牌儿童床张数的 $ 70\% $,而用于购买这两种儿童床的资金不超过 115000 元,请通过计算设计所有可能的进货方案.
(3) 在(2)的条件下,该店打算将五月份按计划购进的 30 张儿童床全部售出后,所获得利润的 $ 10\% $ 用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学. 已知购买甲款仪器每台 300 元,购买乙款仪器每台 130 元,且所捐的钱恰好用完,求该店捐赠甲、乙两款仪器的数量.
(1) 该店销售记录显示,四月份销售 $ \mathrm{A},\mathrm{B} $ 两种儿童床共 20 张,且销售 $ \mathrm{A} $ 品牌儿童床的总利润与 $ \mathrm{B} $ 品牌儿童床的总利润相同,求该店四月份售出 $ \mathrm{A},\mathrm{B} $ 两种品牌的儿童床的数量.
(2) 根据市场调研,该店五月份计划购进这两种儿童床共 30 张,要求购进 $ \mathrm{B} $ 品牌儿童床的张数不低于 $ \mathrm{A} $ 品牌儿童床张数的 $ 70\% $,而用于购买这两种儿童床的资金不超过 115000 元,请通过计算设计所有可能的进货方案.
(3) 在(2)的条件下,该店打算将五月份按计划购进的 30 张儿童床全部售出后,所获得利润的 $ 10\% $ 用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学. 已知购买甲款仪器每台 300 元,购买乙款仪器每台 130 元,且所捐的钱恰好用完,求该店捐赠甲、乙两款仪器的数量.
答案
解:每张A品牌儿童床的成本价为4200÷(1+20%)=3500(元),每张B品牌儿童床的售价为4200×(1+$\frac{1}{4}$)=5250(元).
(1)设该店四月份售出A品牌儿童床的数量为x张，
则(4200−3500)x=(5250−4200)(20−x),解得x=12.
∴20−x=8(张).
答:该店四月份售出A品牌儿童床12张，B品牌儿童床8张.
(2)设该店五月份计划购进A品牌儿童床a张，则$\begin{cases}30 - a \geq 0.7a,\\3500a + 4200(30 - a) \leq 115000,\end{cases}$
解得15$\frac{5}{7}$≤a≤17$\frac{11}{17}$.
∴a的正整数解为16,17.
∴有两种进货方案:
①购进A品牌儿童床16张,B品牌儿童床14张;
②购进A品牌儿童床17张，B品牌儿童床13张.
(3)设该店捐赠甲款仪器m台，乙款仪器n台.
当按照方案①进货时,0.1×[(4200−3500)×16+(5250−4200)×14]=300m+130n,方程的正整数解为$\begin{cases}m = 3,\\n = 13;\end{cases}$
当按照方案②进货时,0.1×[(4200−3500)×17+(5250−4200)×13]=300m+130n,方程无正整数解，
∴该店捐赠甲款仪器3台，乙款仪器13台.
(1)设该店四月份售出A品牌儿童床的数量为x张，
则(4200−3500)x=(5250−4200)(20−x),解得x=12.
∴20−x=8(张).
答:该店四月份售出A品牌儿童床12张，B品牌儿童床8张.
(2)设该店五月份计划购进A品牌儿童床a张，则$\begin{cases}30 - a \geq 0.7a,\\3500a + 4200(30 - a) \leq 115000,\end{cases}$
解得15$\frac{5}{7}$≤a≤17$\frac{11}{17}$.
∴a的正整数解为16,17.
∴有两种进货方案:
①购进A品牌儿童床16张,B品牌儿童床14张;
②购进A品牌儿童床17张，B品牌儿童床13张.
(3)设该店捐赠甲款仪器m台，乙款仪器n台.
当按照方案①进货时,0.1×[(4200−3500)×16+(5250−4200)×14]=300m+130n,方程的正整数解为$\begin{cases}m = 3,\\n = 13;\end{cases}$
当按照方案②进货时,0.1×[(4200−3500)×17+(5250−4200)×13]=300m+130n,方程无正整数解，
∴该店捐赠甲款仪器3台，乙款仪器13台.
