1. (2025 信阳)若方程 $ 3x^{2}-2 = 5x $ 的二次项系数为 3,则一次项系数为____,常数项为____.

-5 -2

2. (2025 长沙)若 $ x = 0 $ 是一元二次方程 $ (a - 6)x^{2}-4x + a^{2}-36 = 0 $ 的一个根,则 $ a $ 的值为____.

-6

3. 解下列方程:
(一)直接开平方法
(1)$ 2(x - 2)^{2}= 98 $;
(二)配方法
(2)$ x^{2}-2x - 5 = 0 $;
(三)公式法
(3)$ 2x^{2}-6x - 1 = 0 $;
(四)因式分解法
(4)$ 2(x - 2)^{2}= 3(2 - x) $.

解：(1)$(x - 2)^2 = 49$，
$x - 2 = \pm 7$，
$\therefore x_1 = 9$，$x_2 = -5$；
(2)$x^2 - 2x + 1 = 6$，
$(x - 1)^2 = 6$，
$x - 1 = \pm \sqrt{6}$，
$\therefore x_1 = 1 + \sqrt{6}$，$x_2 = 1 - \sqrt{6}$；
(3)$\because a = 2$，$b = -6$，$c = -1$，
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 44 ＞ 0$，
$\therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{44}}{2 \times 2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{4}$，
$\therefore x_1 = \frac{3 + \sqrt{11}}{2}$，$x_2 = \frac{3 - \sqrt{11}}{2}$；
(4)$2(x - 2)^2 - 3(2 - x) = 0$，
$2(x - 2)^2 + 3(x - 2) = 0$，
$[2(x - 2) + 3](x - 2) = 0$，
$(2x - 1)(x - 2) = 0$，
$\therefore x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = 2$。

4. (2025 广安)一元二次方程 $ x^{2}+(m + 3)x + m + 2 = 0 $ 的根的情况是____.

有两个实数根

5. 若关于 $ x $ 的方程 $ kx^{2}+2x + 1 = 0 $ 有两个实数根,则 $ k $ 的取值范围是____.

$k \leq 1$且$k \neq 0$

6. (2025 大连)已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+4(m - 1)x + m^{2}= 0 $ 的两实数根为 $ x_{1},x_{2} $,若 $ x_{1}(x_{2}+1)+x_{2}= 0 $,则 $ m $ 的值为____.

2

7. 若 $ a,b $ 是方程 $ x^{2}-6x + 3 = 0 $ 的两根,则 $ a^{2}-\frac{18}{b} $ 的值为____.

-3

8. 关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+kx - 2k - 1 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ m,n $,且 $ m^{2}+n^{2}= 7 $.
(1)求 $ k $ 的值;
(2)求代数式 $ \frac{1}{2}m^{3}+2n $ 的值.

解：(1)$\because m + n = -k$，
$mn = -2k - 1$，
$\therefore m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn$
$= (-k)^2 - 2(-2k - 1)$
$= k^2 + 4k + 2$，
$\therefore k^2 + 4k + 2 = 7$，
$\therefore k_1 = 1$，$k_2 = -5$。
又$\because \Delta \geq 0$，$\therefore k = 1$；
(2)$\because k = 1$，
$\therefore$原方程为$x^2 + x - 3 = 0$，
$m + n = -1$。
由题意，得$m^2 = 3 - m$，
$\therefore m^3 = m(3 - m) = 3m - (3 - m) = 4m - 3$，
$\therefore$原式$= \frac{1}{2}(4m - 3) + 2n$
$= 2(m + n) - \frac{3}{2}$
$= 2 \times (-1) - \frac{3}{2} = -\frac{7}{2}$。