1.(2023·盐城)在平面直角坐标系中，点$A(1,2)$在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1.A
2.(2024·海南)在平面直角坐标系中，将点$A$向右平移$3$个单位长度得到点$A'(2,1)$，则点$A$的坐标是(
A.$(5,1)$
B.$(2,4)$
C.$(-1,1)$
D.$(2,-2)$
C
)A.$(5,1)$
B.$(2,4)$
C.$(-1,1)$
D.$(2,-2)$
答案
2.C
解析
设点$A$的坐标为$(x,y)$。
将点$A$向右平移$3$个单位长度，根据平移规律，横坐标加$3$，纵坐标不变，得到点$A'(x + 3,y)$。
已知$A'(2,1)$，则有：
$x + 3 = 2$，解得$x = 2 - 3 = -1$；
$y = 1$。
所以点$A$的坐标是$(-1,1)$。
C
将点$A$向右平移$3$个单位长度，根据平移规律，横坐标加$3$，纵坐标不变，得到点$A'(x + 3,y)$。
已知$A'(2,1)$，则有：
$x + 3 = 2$，解得$x = 2 - 3 = -1$；
$y = 1$。
所以点$A$的坐标是$(-1,1)$。
C
3.(2023·绍兴改编)在平面直角坐标系中，将点$(m,n)$先向左平移$2$个单位长度，再向上平移$1$个单位长度，最后所得点的坐标是(
A.$(m - 2,n - 1)$
B.$(m - 2,n + 1)$
C.$(m + 2,n - 1)$
D.$(m + 2,n + 1)$
B
)A.$(m - 2,n - 1)$
B.$(m - 2,n + 1)$
C.$(m + 2,n - 1)$
D.$(m + 2,n + 1)$
答案
3.B
解析
在平面直角坐标系中，点的平移规律为：向左平移横坐标减小，向右平移横坐标增大；向上平移纵坐标增大，向下平移纵坐标减小。
将点$(m,n)$向左平移$2$个单位长度，横坐标变为$m - 2$；再向上平移$1$个单位长度，纵坐标变为$n + 1$。
所以最后所得点的坐标是$(m - 2,n + 1)$。
B
将点$(m,n)$向左平移$2$个单位长度，横坐标变为$m - 2$；再向上平移$1$个单位长度，纵坐标变为$n + 1$。
所以最后所得点的坐标是$(m - 2,n + 1)$。
B
4. 在平面直角坐标系中，点$P$关于原点的对称点为$P_1\left(-3,-\dfrac{8}{3}\right)$，点$P$关于$x$轴的对称点为$P_2(a,b)$，则$\sqrt[3]{ab}$的值为(
A.$-2$
B.$2$
C.$4$
D.$-4$
A
)A.$-2$
B.$2$
C.$4$
D.$-4$
答案
4.A
解析
∵点$P$关于原点的对称点为$P_1\left(-3,-\dfrac{8}{3}\right)$，
∴点$P$的坐标为$\left(3,\dfrac{8}{3}\right)$。
∵点$P$关于$x$轴的对称点为$P_2(a,b)$，
∴$a = 3$，$b=-\dfrac{8}{3}$。
∴$ab=3×\left(-\dfrac{8}{3}\right)=-8$。
∴$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{-8}=-2$。
A
5. 在平面直角坐标系中，点$P(m - 3,4 - 2m)$不可能在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
5.A
解析
若点$P(m - 3,4 - 2m)$在第一象限，则$\begin{cases}m - 3＞0\\4 - 2m＞0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m＞3\\m＜2\end{cases}$，不等式组无解。
若点$P(m - 3,4 - 2m)$在第二象限，则$\begin{cases}m - 3＜0\\4 - 2m＞0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m＜3\\m＜2\end{cases}$，即$m＜2$，有解。
若点$P(m - 3,4 - 2m)$在第三象限，则$\begin{cases}m - 3＜0\\4 - 2m＜0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m＜3\\m＞2\end{cases}$，即$2＜m＜3$，有解。
若点$P(m - 3,4 - 2m)$在第四象限，则$\begin{cases}m - 3＞0\\4 - 2m＜0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m＞3\\m＞2\end{cases}$，即$m＞3$，有解。
综上，点$P$不可能在第一象限。A
若点$P(m - 3,4 - 2m)$在第二象限，则$\begin{cases}m - 3＜0\\4 - 2m＞0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m＜3\\m＜2\end{cases}$，即$m＜2$，有解。
若点$P(m - 3,4 - 2m)$在第三象限，则$\begin{cases}m - 3＜0\\4 - 2m＜0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m＜3\\m＞2\end{cases}$，即$2＜m＜3$，有解。
若点$P(m - 3,4 - 2m)$在第四象限，则$\begin{cases}m - 3＞0\\4 - 2m＜0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m＞3\\m＞2\end{cases}$，即$m＞3$，有解。
综上，点$P$不可能在第一象限。A
6. 点$P(3,-4)$到$x$轴的距离为
4
；点$B(-5,0)$到$y$轴的距离为5
.答案
6.4 5
7.(1)(2023·巴中)已知$a$为正整数，点$P(4,2 - a)$在第一象限，则$a$的值为
(2)若点$P(m,1 + 2m)$在第三象限，则$m$的取值范围是
1
；(2)若点$P(m,1 + 2m)$在第三象限，则$m$的取值范围是
$m＜ -\frac{1}{2}$
.答案
7.(1)1
$(2)m＜ -\frac{1}{2}$
$(2)m＜ -\frac{1}{2}$
8. 在平面直角坐标系中，若点$M(-1,3)$与点$N(x,3)$之间的距离是$5$，则$x$的值是
4或-6
.答案
8.4或-6
解析
因为点$M(-1,3)$与点$N(x,3)$的纵坐标相同，所以$MN$平行于$x$轴，两点间的距离为横坐标差的绝对值。
则$\vert x - (-1)\vert=5$，即$\vert x + 1\vert=5$。
当$x + 1=5$时，$x=4$；
当$x + 1=-5$时，$x=-6$。
故$x$的值是$4$或$-6$。
则$\vert x - (-1)\vert=5$，即$\vert x + 1\vert=5$。
当$x + 1=5$时，$x=4$；
当$x + 1=-5$时，$x=-6$。
故$x$的值是$4$或$-6$。
9. 在平面直角坐标系中，若点$P(a + 1,a - 1)$在坐标轴上，则点$P$的坐标为
(2,0)或(0,-2)
.答案
9.(2,0)或(0,-2)
解析
点$P(a + 1,a - 1)$在坐标轴上，分两种情况：
当点$P$在$x$轴上时，纵坐标为$0$，即$a - 1 = 0$，解得$a = 1$，则横坐标为$a + 1 = 1 + 1 = 2$，此时点$P$的坐标为$(2,0)$；
当点$P$在$y$轴上时，横坐标为$0$，即$a + 1 = 0$，解得$a = -1$，则纵坐标为$a - 1 = -1 - 1 = -2$，此时点$P$的坐标为$(0,-2)$。
综上，点$P$的坐标为$(2,0)$或$(0,-2)$。
当点$P$在$x$轴上时，纵坐标为$0$，即$a - 1 = 0$，解得$a = 1$，则横坐标为$a + 1 = 1 + 1 = 2$，此时点$P$的坐标为$(2,0)$；
当点$P$在$y$轴上时，横坐标为$0$，即$a + 1 = 0$，解得$a = -1$，则纵坐标为$a - 1 = -1 - 1 = -2$，此时点$P$的坐标为$(0,-2)$。
综上，点$P$的坐标为$(2,0)$或$(0,-2)$。
10. 如图，在平面直角坐标系中，点$A$的坐标为$(-2,0)$，点$B$在$y$轴的正半轴上，以点$B$为圆心，$BA$长为半径作弧，交$x$轴的正半轴于点$C$，则点$C$的坐标为
]
(2,0)
.]
答案
10.(2,0)
解析
解：设点$B$的坐标为$(0, b)$（$b ＞ 0$），点$C$的坐标为$(c, 0)$（$c ＞ 0$）。
因为以点$B$为圆心，$BA$长为半径作弧，交$x$轴正半轴于点$C$，所以$BA = BC$。
已知点$A(-2, 0)$，则$BA = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{4 + b^2}$。
$BC = \sqrt{(c - 0)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{c^2 + b^2}$。
因为$BA = BC$，所以$\sqrt{4 + b^2} = \sqrt{c^2 + b^2}$，两边平方得$4 + b^2 = c^2 + b^2$，化简得$c^2 = 4$，解得$c = 2$（$c ＞ 0$）。
故点$C$的坐标为$(2, 0)$。
$(2,0)$
因为以点$B$为圆心，$BA$长为半径作弧，交$x$轴正半轴于点$C$，所以$BA = BC$。
已知点$A(-2, 0)$，则$BA = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{4 + b^2}$。
$BC = \sqrt{(c - 0)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{c^2 + b^2}$。
因为$BA = BC$，所以$\sqrt{4 + b^2} = \sqrt{c^2 + b^2}$，两边平方得$4 + b^2 = c^2 + b^2$，化简得$c^2 = 4$，解得$c = 2$（$c ＞ 0$）。
故点$C$的坐标为$(2, 0)$。
$(2,0)$
11. 如图，在$\triangle ABC$中，点$A$的坐标为$(0,1)$，点$C$的坐标为$(4,3)$.如果要使$\triangle ABD$和$\triangle ABC$全等，那么所有符合条件的点$D$的坐标为
]
(4,-1)或(-1,3)或(-1,-1)
.]
答案
11.(4,-1)或(-1,3)或(-1,-1)
解析
解：已知点$A(0,1)$，$B(3,1)$，$C(4,3)$。
情况一：当$\triangle ABD \cong \triangle ABC$（$AB$为公共边，$AC=AD$，$BC=BD$）时，点$D$与点$C$关于$AB$对称，$D(4,-1)$；
情况二：当$\triangle ABD \cong \triangle BAC$（$AB$为公共边，$AB=BA$，$AC=BD$，$BC=AD$）时，通过计算可得$D(-1,3)$；
情况三：当$\triangle ABD \cong \triangle CBA$（$AB$为公共边，$AB=CB$，$AC=DB$，$BC=AD$）时，通过计算可得$D(-1,-1)$。
所有符合条件的点$D$的坐标为$(4,-1)$或$(-1,3)$或$(-1,-1)$。
$(4,-1)$或$(-1,3)$或$(-1,-1)$
情况一：当$\triangle ABD \cong \triangle ABC$（$AB$为公共边，$AC=AD$，$BC=BD$）时，点$D$与点$C$关于$AB$对称，$D(4,-1)$；
情况二：当$\triangle ABD \cong \triangle BAC$（$AB$为公共边，$AB=BA$，$AC=BD$，$BC=AD$）时，通过计算可得$D(-1,3)$；
情况三：当$\triangle ABD \cong \triangle CBA$（$AB$为公共边，$AB=CB$，$AC=DB$，$BC=AD$）时，通过计算可得$D(-1,-1)$。
所有符合条件的点$D$的坐标为$(4,-1)$或$(-1,3)$或$(-1,-1)$。
$(4,-1)$或$(-1,3)$或$(-1,-1)$
12. 在平面直角坐标系中，已知点$A(0,2)$，$P(x,0)$为$x$轴上的一个动点.当$x =$
0
时，线段$PA$的长取得最小值，为2
.答案
12.0 2
13.(2023·青岛改编)如图，在平面直角坐标系中，点$A(-2,1)$，$B(-1,4)$，$C(-1,1)$，将$\triangle ABC$先向右平移$3$个单位长度得到$\triangle A_1B_1C_1$，再绕点$C_1$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$得到$\triangle A_2B_2C_1$，则点$A_2$的坐标是
]
(2,2)
.]
答案
13.(2,2)
解析
解：
1. 平移得到$\triangle A_1B_1C_1$：
$A(-2,1)$向右平移3个单位得$A_1(1,1)$；
$B(-1,4)$向右平移3个单位得$B_1(2,4)$；
$C(-1,1)$向右平移3个单位得$C_1(2,1)$。
2. 绕$C_1$顺时针旋转$90°$得到$\triangle A_2B_2C_1$：
点$A_1(1,1)$绕$C_1(2,1)$旋转：
向量$C_1A_1=(1-2,1-1)=(-1,0)$；
顺时针旋转$90°$后向量为$(0,1)$；
$A_2=C_1+(0,1)=(2+0,1+1)=(2,2)$。
结论：点$A_2$的坐标是$(2,2)$。
$(2,2)$
1. 平移得到$\triangle A_1B_1C_1$：
$A(-2,1)$向右平移3个单位得$A_1(1,1)$；
$B(-1,4)$向右平移3个单位得$B_1(2,4)$；
$C(-1,1)$向右平移3个单位得$C_1(2,1)$。
2. 绕$C_1$顺时针旋转$90°$得到$\triangle A_2B_2C_1$：
点$A_1(1,1)$绕$C_1(2,1)$旋转：
向量$C_1A_1=(1-2,1-1)=(-1,0)$；
顺时针旋转$90°$后向量为$(0,1)$；
$A_2=C_1+(0,1)=(2+0,1+1)=(2,2)$。
结论：点$A_2$的坐标是$(2,2)$。
$(2,2)$
