10. 如图，点$A$，$B$，$C$，$D$在网格中小正方形的顶点处，$AD$与$BC$相交于点$O$，小正方形的边长均为 1，则$AO$的长为
2
。答案
10.2 解析:如图，连接AE,ED.由勾股定理，易得AD = 5.
∵DE = 5，
∴AD = DE，
∴∠DAE = ∠DEA.由网格的特征，得AE//BC，
∴∠DAE = ∠DOC，∠DEA = ∠DCO，
∴∠DOC = ∠DCO，
∴DO = DC = 3，
∴AO = AD - DO = 5 - 3 = 2.
11. 如图所示为一张三角形纸片$ABC$，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=8cm$，$BC=6cm$。现将纸片折叠，使点$A$与点$B$重合，那么折痕$DE$的长为
$\frac{15}{4}$
$cm$。答案
$11. \frac{15}{4}$
解析
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=8\, cm$，$BC=6\, cm$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{8^2 + 6^2}=10\, cm$。
折叠使点$A$与点$B$重合，折痕为$DE$，则$DE$垂直平分$AB$，设$AB$中点为$D$，则$AD=DB=5\, cm$，$\angle ADE=90^{\circ}$。
设$AE=x\, cm$，则$BE=AE=x\, cm$，$EC=(8 - x)\, cm$。在$Rt\triangle BEC$中，$BE^2=BC^2 + EC^2$，即$x^2=6^2 + (8 - x)^2$，解得$x=\frac{25}{4}\, cm$。
在$Rt\triangle ADE$中，$DE=\sqrt{AE^2 - AD^2}=\sqrt{(\frac{25}{4})^2 - 5^2}=\sqrt{\frac{625}{16} - \frac{400}{16}}=\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}\, cm$。
$\frac{15}{4}$
折叠使点$A$与点$B$重合，折痕为$DE$，则$DE$垂直平分$AB$，设$AB$中点为$D$，则$AD=DB=5\, cm$，$\angle ADE=90^{\circ}$。
设$AE=x\, cm$，则$BE=AE=x\, cm$，$EC=(8 - x)\, cm$。在$Rt\triangle BEC$中，$BE^2=BC^2 + EC^2$，即$x^2=6^2 + (8 - x)^2$，解得$x=\frac{25}{4}\, cm$。
在$Rt\triangle ADE$中，$DE=\sqrt{AE^2 - AD^2}=\sqrt{(\frac{25}{4})^2 - 5^2}=\sqrt{\frac{625}{16} - \frac{400}{16}}=\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}\, cm$。
$\frac{15}{4}$
12. (新情境·现实生活)如图，一只蚂蚁沿着棱长为 1 的正方体表面从点$A$出发，经过 3 个面爬到点$B$。如果它爬行的路径是最短的，那么最短路径的长为
√10
。答案
12. √10
解析
解：将正方体表面展开，使点A和点B所在的三个面共面，此时A、B两点间的最短路径为直角三角形的斜边，两直角边分别为3和1。根据勾股定理，最短路径长为$\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$。
$\sqrt{10}$
$\sqrt{10}$
13. （方程思想）（2023·牡丹江）先将长方形纸片的一端按如图①所示的方法折出一个正方形$ABEF$，然后把纸片展平；再将图①中的长方形纸片按如图②所示的方法折叠，使点$C$恰好落在点$F$处，得到折痕$MN$。若$AB=8$，$AD=12$，求$BM$的长。
答案
13.
∵四边形ABCD是长方形，AB = 8，AD = 12，
∴DC = AB = 8，BC = AD = 12.
∵四边形ABEF是正方形，
∴BE = EF = AB = 8，∠BEF = 90°，
∴在Rt△MEF中，由勾股定理，得EM² + EF² = FM².设BM = x，则EM = 8 - x.
∵MN是折痕，
∴FM = CM，
∴FM = CM = 12 - x，
∴(8 - x)² + 8² = (12 - x)²，解得x = 2，
∴BM的长为2
∵四边形ABCD是长方形，AB = 8，AD = 12，
∴DC = AB = 8，BC = AD = 12.
∵四边形ABEF是正方形，
∴BE = EF = AB = 8，∠BEF = 90°，
∴在Rt△MEF中，由勾股定理，得EM² + EF² = FM².设BM = x，则EM = 8 - x.
∵MN是折痕，
∴FM = CM，
∴FM = CM = 12 - x，
∴(8 - x)² + 8² = (12 - x)²，解得x = 2，
∴BM的长为2
14. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=45^{\circ}$，$CD\perp AB$，$BE\perp AC$，垂足分别为$D$，$E$，$F$为$BC$的中点，$BE$与$DF$，$DC$分别交于点$G$，$H$，$\angle ABE=\angle CBE$。
（1）线段$BH$与$CA$相等吗？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由。
（2）求证：$BG^{2}-GE^{2}=EA^{2}$。
（1）线段$BH$与$CA$相等吗？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由。
（2）求证：$BG^{2}-GE^{2}=EA^{2}$。
答案
14.(1)相等
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC = ∠CDA = ∠BEA = 90°，
∴∠A + ∠DCA = 90°，∠A + ∠ABE = 90°，
∴∠ABE = ∠DCA.又
∵∠ABC = 45°，
∴易得∠BCD = ∠ABC = 45°，
∴DC = DB.在△DBH和△DCA中，
{ ∠DBH = ∠DCA，
DB = DC，
∴ △DBH ≌ △DCA，
∴ BH = CA
∠BDH = ∠CDA，
(2)如图，连接CG.
∵F为BC的中点，DB = DC，
∴DF垂直平分BC，
∴BG = CG.
∵BE⊥AC，
∴∠BEA = ∠BEC = 90°.
在△ABE和△CBE中，{ ∠ABE = ∠CBE，
BE = BE，
∴ △ABE ≌
∠BEA = ∠BEC，
△CBE，
∴EA = EC.
∵在Rt△CGE中，由勾股定理，得CG² - GE² = EC²，
∴BG² - GE² = EA²
