14. 在平面直角坐标系中，点$A$，$B$的坐标分别是$(a,0)$，$(b,0)$，且$\sqrt{a + 4}+|b - 2| = 0$.
（1）求$a$，$b$的值.
（2）在$y$轴上是否存在一点$C$，使$\triangle ABC$的面积是$12$？若存在，请求出点$C$的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）已知$P$是$y$轴的正半轴上一点，且到$x$轴的距离为$3$.若点$Q$从点$P$出发沿$x$轴的负半轴方向以每秒$1$个单位长度的速度运动，当运动时间为多少秒时，四边形$ABPQ$的面积$S$为$15$？写出此时点$Q$的坐标.

14.(1)a=-4,b=2 (2)存在 设点C到x轴的距离为h.
由题意,得OA=4,OB=2,则AB=OA+OB=6.
∴S△ABC=
$\frac{1}{2}AB·h=\frac{1}{2}×6h=12,$解得h=4,
∴点C的坐标为(0,4)或
(0,-4) (3)设运动时间为t秒.由题意,得点P的坐标为(0,
3),PQ=t.
∴四边形ABPQ的面积$S=\frac{1}{2}(6+t)×3=15,$解
得t=4,
∴点Q的坐标为(-4,3),
∴当运动时间为4秒时,四
边形ABPQ的面积S为15,此时点Q的坐标为(-4,3)

15. 在同一平面内，若一个点到一条直线的距离不大于$1$，则称这个点是该直线的“伴侣点”.在平面直角坐标系中，已知点$M(1,0)$，过点$M$作直线$l$平行于$y$轴，点$A$，$B$，$C$的坐标分别为$(-1,a)$，$(b,2a)$，$\left(-\dfrac{1}{2},a - 1\right)$，将$\triangle ABC$进行平移，平移后点$A$的对应点为$D$，点$B$的对应点为$E$，点$C$的对应点为$F$.
（1）试判断$A$是否是直线$l$的“伴侣点”，并说明理由；
（2）若点$F$刚好落在直线$l$上，点$F$的纵坐标为$a + b$，点$E$落在$x$轴上，且$\triangle MFD$的面积为$\dfrac{1}{12}$，试判断$B$是否是直线$l$的“伴侣点”，并说明理由.

15.(1)A不是直线l的“伴侣点” 理由：
∵A(-1,a),
∴易
得点A到直线l的距离为2.
∵2＞1,
∴A不是直线l的“伴侣
点”. (2)B是直线l的“伴侣点” 理由：
∵$C(-\frac{1}{2},a-1),$
且由题意,得F(1,a+b),
∴横坐标加$\frac{3}{2},$纵坐标加b+1,
∴$D(\frac{1}{2},a+b+1),E(b+\frac{3}{2},2a+b+1). $
∵点E落在x轴
上,
∴2a+b+1=0.
∵△MFD的面积为$\frac{1}{12},$
∴$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×$
|a+b|$=\frac{1}{12},$
∴$a+b=±\frac{1}{3}. ①$当$a+b=\frac{1}{3}$时,与2a+b+
1=0联立,解得$a=-\frac{4}{3},b=\frac{5}{3},$此时$B(\frac{5}{3},-\frac{8}{3}). $
∵$\frac{5}{3}-$
$1=\frac{2}{3}＜1,$
∴B是直线l的“伴侣点”. ②当$a+b=-\frac{1}{3}$时,同
理,可得$a=-\frac{2}{3},b=\frac{1}{3},$此时$B(\frac{1}{3},-\frac{4}{3}). $
∵$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}＜$
1,
∴B是直线l的“伴侣点”. 综上所述,B是直线l的“伴
侣点”.