1. 计算：$\frac {2x}{x+4}+\frac {8}{x+4}=()$
A. 2
B. 4
C. $\frac {2}{x+4}$
D. $\frac {4}{x+4}$

A

2. 如图，$\triangle ABC$的顶点在格点上，若将$\triangle ABC$绕格点O顺时针旋转角$\alpha (0^{\circ }＜\alpha ＜360^{\circ })$，使旋转后所得三角形的顶点也在格点上，则当旋转前后的图形成轴对称图形时，符合条件的角α的度数有()


A. 1个
B. 3个
C. 4个
D. 6个

B

3. 在$\square ABCD$中，$AD=8$，AE平分$∠BAD$交BC于点E，DF平分$∠ADC$交BC于点F，且$EF=2$，则AB的长为()
A. 3
B. 5
C. 3或5
D. 2或3

C

4. 某商家搞优惠促销，决定每袋粽子降价2元销售.小夏发现，降价后用240元购买的粽子比降价前多10袋，每袋粽子的原价是多少元？若设每袋粽子的原价是x元，则可列方程为________.

$\dfrac{240}{x - 2}-\dfrac{240}{x}=10$

5. 如图，在$\square ABCD$中，点E在BC上，AE平分$∠BAD$.若$AB=4,AD=7$，则EC的长为______.

$3$

6. 在$\triangle ABC$中，$∠A=30^{\circ },AC=8,∠B=90^{\circ }$，点D在AB上，$BD=\sqrt {3}$，点P在$\triangle ABC$的边上.当$AP=2PD$时，PD的长为______.

$\sqrt{3}$或$\sqrt{15}$或$3$

7. 如图，在$\square ABCD$中，$∠ABC,∠BCD$的平分线BE，CF分别交AD于点E，F，BE与CF相交于点O.
(1)求证：$∠BOC=90^{\circ }.$
(2)当AD与AB之间满足什么数量关系时，点O在平行四边形的内部？(直接写出结果即可)

【解析】：
1. （1）证明$\angle BOC = 90^{\circ}$：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质，$AB// CD$。
由两直线平行，同旁内角互补，可得$\angle ABC+\angle BCD = 180^{\circ}$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，$CF$平分$\angle BCD$，所以$\angle EBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle FCB=\frac{1}{2}\angle BCD$。
则$\angle EBC+\angle FCB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle BCD)$。
把$\angle ABC+\angle BCD = 180^{\circ}$代入上式，可得$\angle EBC+\angle FCB=\frac{1}{2}\times180^{\circ}=90^{\circ}$。
在$\triangle BOC$中，根据三角形内角和定理$\angle BOC + \angle EBC+\angle FCB = 180^{\circ}$，所以$\angle BOC=180^{\circ}-(\angle EBC + \angle FCB)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$。
2. （2）分析点$O$在平行四边形内部时$AD$与$AB$的数量关系：
因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABE=\angle EBC$。
又因为$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle AEB=\angle EBC$。
所以$\angle ABE=\angle AEB$，根据等角对等边，可得$AB = AE$。
同理，$CF$平分$\angle BCD$，$AD// BC$，可得$\angle DCF=\angle FCB$，$\angle DFC=\angle FCB$，所以$\angle DCF=\angle DFC$，$DC = DF$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，$AB = DC$，所以$AB = AE=DF$。
要使点$O$在平行四边形$ABCD$的内部，则$EF\gt0$。
因为$AD=AE + EF+FD$，$AE = AB$，$FD = AB$，所以$AD\gt2AB$。
【答案】：（1）证明过程如上述解析；（2）$AD\gt2AB$